cac đê thi vao lop 10

Chú ý:Đây là bản xem thử online, xin hãy chọn download miễn phí bên dưới để xem bản đẹp dạng .doc
Đề thi vào các trường THPT

 
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1992 – 1993
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Xét biểu thức:
P =
1, Rút gọn P.
2, Tìm giá trị nhỏ nhất của  P.
 
Bài 2 (2,5đ):
Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian, xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 40 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau đó 1h thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB.
 
Bài 3 (4đ):
Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó có một điểm M. Trên đường kính AB lấy điểm O sao cho OA ên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông góc với MO cắt Ax tại P; đường thẳng đi qua O vuông góc với OP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của OP và AM, E là giao điểm của OQ và BM.
1, Chứng minh: Các tứ giác AOMP, ODME nội tiếp được.
2, Chứng minh: AB // DE.
3, Chứng minh: Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
4, Ngoài điểm M ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm chung nào nữa không ? Tại sao ?
 
Bài 4 (1đ):
Giải phương trình:
2x4 – x3 – 5x2 + x + 2 = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1994 – 1995
(150 phút)
 
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức:   
P =
1, Rút gọn P.
2, Xét dấu của biểu thức: P.
 
Bài 2 (2,5đ):
Hai ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 1 giờ 20 phút. Tìm khoảng cách giữa hai bến A, B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng là bằng nhau.
 
Bài 3 (4đ):
Cho tam giác ABC cân tại A (góc A o). Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB và IK, Q là giao điểm của MC và IH.
1, Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được.
2, Chứng minh: Tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.
3, Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ // BC.
4, Gọi (O1) là đường tròn đi qua M, P, K; (O2) là đường tròn đi qua M, Q, H. Gọi N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M, N, D thẳng hàng.
 
Bài 4 (1đ):
Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình sau:


Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1995 – 1996
(150 phút)
 
Bài 1 (2đ):
Cho các biểu thức:
A = ;                           B =
1, Rút gọn A và B.
2, Tìm giá trị của x để A = B.
 
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0    (x là ẩn)
1, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = – 1 và tìm nghiệm còn lại.
2, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
3, Với giá trị nào của m thì x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
 
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C nằm trên đường tròn (C khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC, P là giao điểm của AC và BM. Tia BC cắt các tia AM, Ax lần lượt tại N và Q.
1, Chứng minh: Tam giác ABN cân.
2, Tứ giác APNO là hình gì ? Tại sao ?
3, Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C. Hỏi có thể xảy ra ba điểm Q, M, K thẳng hàng được không ? Tại sao ?
 
Bài 4 (1đ):
Giải phương trình:


Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1996 – 1997
(150 phút)
 
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức:
P =
1, Rút gọn P.
2, Tìm a để  
3, Tìm các giá trị của a N sao cho P N
 
Bài 2 (2đ):
Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng, Nhưng do mỗi tuân trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?
 
Bài 3 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB và điểm N nằm giữa A và B. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD và MBEF. Hai đường thẳng AF và BC cắt nhau ở N.
1, Chứng minh: AF BC. Suy ra điểm N nằm trên hai đường ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF.
2, Chứng minh: Ba điểm D, N, E thẳng hàng và MN vuông góc DE tại N.
3, Cho A, B cố định, M di động trên đoạn AB. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.
4, Tìm vị trí điểm M sao cho MN có độ dài lớn nhất.
 
Bài 4 (2đ):
Cho hai phương trình:
ax2 + bx + c = 0    (1)
         cx2 + bx + a = 0    (2)
Với ac ọi m và n tương ứnh là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình (2), chứng minh rằng: m + n  ≥ 2

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1997 – 1998
(150 phút)
 
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức:
P =
1, Rút gọn P.
2, Tìm x để P .
 
Bài 2 (2,5đ):
Một máy bơm dùng để bơm đầy một bể nước có thể tích 60m3 với thời gian dự định trước. Khi đã bơm được 1/2 bể thì mất điện trong 48 phút. Đến khi có điện trở lại người ta sử dụng thêm một máy bơm có công suất 10m3/h. Cả hai máy bơm cùng hoạt động để bơm đầy bể trong đúng thời gian dự kiến.
Tính công suất của máy bơm thứ nhất và thời gian hoạt động của máy bơm đó.
 
Bài 3 (4đ):
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác trong của góc B cắt đường tròn tại D, tia phân giác của góc C cắt đường tròn tại E, hai tia phân giác này cắt nhau tại F. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC.
1, Chứng minh ∆EBF và ∆DAF cân.
2, Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB.
3, Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?
4, Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp ba lần diện tích tứ giác AIFK.
 
Bài 4 (1đ):
Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức:


Trường Chu Văn An & Amsterdam
Năm học 1998 – 1999
(120 phút)
 
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
P =
1, Rút gọn P.
2, Cho . Hãy tìm giá trị lớn nhất của P.
 
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
(x + 1)4 – (m – 1)(x + 1)2 – m2 + m – 1 = 0    (*)
1, Giải phương trình với m = – 1.
2, Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của tham số m.
3, Tìm các giá trị của m để
 
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một điểm P (AP > R). Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đường tròn tại M
1, Tứ giác OBMP là hình gì ? Tại sao ?
2, Cho AP = R. Chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn (O; R).
3, Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của tam giác PAM chạy tren một cung tròn cố định.
4, Dựng hình chữ nhật PACN. Chứng minh B, M, N thẳng hàng.

THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)
Năm học 1998 – 1999
(120 phút)
 
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức:
A =
1, Rút gọn A.
2, Tìm m để phương trình A = m – 1, có nghiệm x, y thoả mãn
 
Bài 2 (2,5đ):
1, Tìm m để  phương trình sau:
x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0
Có nghiệm x1, x2 sao cho: x12 + x22 = 5
2, Cho hàm số:
y = x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0.
  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thoả mãn:
x1 2 > 0 và x1 > ׀ ׀2 x
 
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O) và điểm A cố định thuộc (O). Hai điểm B và C chuyển động trên đường tròn (O) sao cho góc BAC = không đổi ( > 90o). Qua B dựng một tia song song với tia AC, qua C dựng một tia song song với tia AB, hai tia này cắt nhau ở D. Gọi E là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
1, Độ dài dây BC không đổi.
2, Điểm E cố định.
3, Ba điểm I, E, F thẳng hàng.
4, Điểm I thuộc một đường tròn cố định.
 
Bài 4 (1đ):
Cho các số dương x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 ≥ 1. Chứng minh:
 

THPT Chuyên Ngoại ngữ  – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
 
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
P =
1, Tìm điều kiện của x để P có ý nghĩa và hãy rút gọn P.
2, Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức Q = cũng là số nguyên.
 
Bài 2 (2đ):
Cho phương trình:
(m – 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0     (m là tham số)
1, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc và m.
2, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức:

Bài 3 (2đ):
Cho hàm số:
y = mx2 + 3(m – 1)x + 2m + 1   ( l )
1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C).
2, Chứng minh đồ thị ( l ) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Đường thẳng xy là tiếp tuyến với đường tròn tại B. Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và không vuông góc với AB). Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với xy.
1, Chứng minh rằng: Tứ giác MNDC nội tiếp được đường tròn.
2, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm của CD. Chứng minh: Tứ giác AOIK là hình bình hành.
3, Gọi H là trực tâm tam giác MCD. Chúng minh H thuộc một đường tròn cố định.
 
Bài 5 (1đ):
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
 
Bài 1 (2đ):
Giải phương trình:

 
Bài 2 (2đ):
Tìm tham số m để hai bất phương trình sau không có nghiệm chung:
mx + 1 > 4m  (1)       ;         x2 – 9
 
Bài 3 (3đ):
Tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, bán kính đường tròn nội tiếp là r. Gọi d, d, d lần lượt là khoảng cách từ O đến 3 cạnh BC, CA, AB.
1, Chứng minh: HA + HB + HC = 2(d + d + d)
2, Giả sử tam giác ABC nhọn. Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r  (*)
3, Khi tam giác ABC có góc A, bất đẳng thức (*) còn đúng không ? Tại sao ?
 
Bài 4 (1,5đ):
   BTT
        8
BYTE
 
Tìm các chữ số biểu thị bởi các chữ cái trong phép nhân sau.
Biết rằng: T = 2E và các chữ cái khác nhau ứng với các chữ khác
nhau.
 
 
 
Bài 5 (1,5đ):
Người ta kẻ n đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào đồng quy và 3 đường thẳng nào song song để chia mặt phẳng thành các miền con. Gọi Sn là số miền con tìm được từ n đường thẳng đó.
1, Tìm S3, S4.
2, Chứng minh: Sn = Sn – 1 + n
3, Chứng minh: Sn = 

THPT Chuyên – ĐHKHTN (ĐHQGHN)
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
 
Bài 1 (1,5đ):
Cho các số a, b, c thoả mãn điều kiện:

Hãy tính giá trị của biểu thức:
P = 1 + a4 + b4 + c4
 
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:

2, Giải hệ phương trình:

 
Bài 3 (1,5đ):
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho   n2 + 9n – 2 chia hết cho  n + 11.
 
Bài 4 (3,5đ):
Cho đường tròn (T ) và điểm I ở trong đường tròn. Qua I dựng hai dây cung bất kỳ MIN và EIF. Gọi M’, N’, E’, F’ là lần lượt là trung điểm của IM, IN, IE, IF.
1, Chứng minh rằng: Tứ giác M’E’N’F’ nội tiếp.
2, Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính không đổi.
3, Giả sử I thay đổi, Các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng vuông góc với nhau. Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M’E’N’F’có diện tích lớn nhất.
 
Bài 5 (1,5đ):
Cho các số dương x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: x + y = 1
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =

THPT Chuyên toán – ĐHSPHN
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
 
Ngày thứ nhất:
 
Bài 1 (2đ):
1, Tính:
A =
2, Cho a là số tự nhiên đựoc viết thành 222 chữ số 9. Hãy tính tổng các chữ số của:
 n – an + 1
 
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:

2, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

 
Bài 3 (2đ):
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y, z > 0:

 
Bài 4 (4đ):
Trên cùng mặt phẳng toạ độ xOy cho hai điẻm A(- 3; 0) và B(- 1; 0). Xét hai điểm M và N thay đổi trên trục tung sao cho AM, BN luôn vuông góc với nhau.
1, Chứng minh AN, BM vuông góc với nhau và tích OM. ON không đổi khi M, N biến thiên. Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua 2 điểm cố định. Tìm toạ độ hai điểm cố định này.
2, Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Xác định vị trí M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 2000 – 2001
(150 phút)
 
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
P =
1, Rút gọn P.
2, So sánh P với 5.
3, Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức chỉ nhận một giá trị nguyên.
 
Bài 2 (3đ):
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = x2
1, Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) khi  m = 1.
2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định và luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
3, Tìm giá trị của tham số m để S∆ABC bằng 2 (đơn vị diện tích).
 
Bài 3 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở N sao cho luôn có AM. BN = a2
1, Chứng minh ∆AOM đồng dạng với ∆BNO và góc MON = 90o.
2, Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố định tại H.
3, Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MON chạy trên một tia cố định.
4, Tìm vị trí của đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AHB đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a.

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 2001 – 2002
(150 phút)
 
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
P =
1, Rút gọn P.
2, Tìm x để P
 
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
   (1)
1, Tìm tham số m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất, tính nghiệm đó với
m =
2, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) nhận x = là nghiệm.
3, Gọi m1, m2 là hai nghiệm của phương trình (1) (ẩn m). Tìm x để m1, m2 là số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng .
 
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; ) tiếp xúc ngoài tại A. Trên đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai N. Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB tại Q và cắt đường tròn (O’).
1, Chứng minh ∆OAM đồng dạng với ∆O’AN.
2, Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
3, Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao ?
4, Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó theo R.
Bài 4 (1đ):
Cho biểu thức:
A =  – x2 – y2 + xy + 2x +2y
Tìm cặp số (x; y) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

THPT Chuyên – ĐHKHTN (ĐHQGHN)
Năm học 2001 – 2002
(150 phút)
 
Bài 1 (2đ):
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức:
(y + 2)x2 + 1 = y2
 
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:

2, Giải hệ phương trình:

 
Bài 3 (3,5đ):
Cho nửa vòng tròn đường kính AB = 2a. Trên đoạn AB lấy điểm M. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn ta kẻ hai tia Mx, My sao cho góc AMx = góc Bmy = 30o. Tia Mx cắt nửa vòng tròn tại E, tia My cắt nửa vòng tròn tại F. Kẻ EE’, FF’ vuông góc xuống AB.
1, Cho AM = Tính diện tích hình thang vuông EFE’F’ theo a.
2, Khi M di động trên AB chứng minh EF luôn tiếp xúc với một vòng tròn cố định.
 
Bài 4 (1,5đ):
Giả sử x, y, z là các số thực khác không thoả mãn hệ đẳng thức:

Hãy tính giá trị biểu thức:
P =
 
Bài 5 (1đ):
Với x, y, z là những số thực dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M =
                                
Đề thi chung
Năm học 1998 – 1999
(150 phút)
 
Bài 1 (1,5đ):
Cho - 1 ãy rút gọn biểu thức:
A =
 
Bài 2 (2,5đ):
1, Giải và biện luận theo a hệ phương trình sau:
  (*)
2, Trong trường hợp hệ (*) có nghiệm duy nhất (x0; y0). Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để  x0, y0 đều là các giá trị nguyên.
 
Bài 3 (1,5đ):
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 1 = 0. Không giải phương trình hãy chứng tỏ:
A =  x17  +  x27   là một số nguyên & hãy phân tích số A thành các thừa số nguyên tố.
Đề thi chung
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
1, Chứng minh hằng đẳng thức:
    (với x > 0)
2, Xét biểu thức:
A =         (với x > 0)
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm x để A = 4
Bài 2 (2đ)
Cho hệ phương trình:
        (I)  (m là tham số)
1, Giải hệ phương trình khi m = - 1   
2, Tìms m để hệ (I) có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức:
                     S = x – y + 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 (2đ): 
Cho phương trình bậc hai ẩn x (a, b là tham số):
     (1)
1, Chứng minh rằng vói mọi giá trị của a, b thì phương trình (1) không thể có hai nghiệm phân biệt.
2, Tìm a và b để phương trình (1) có nghiệm kép = 1
 
Bài 4 (4đ):
Cho (O; 3cm) và hai điểm B, C nằm trên đường tròn sao cho góc BOC = 90o. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A bất kỳ (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với M, N là hai tiếp điểm và M nằm trên cung nhỏ BC. Gọi I là trung điểm của dây BC, tia MI cắt đường tròn tại K (K khác M).
1, Chứng minh 5 điểm ; A, M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
2, Tứ giác ABKN là hình gì ? vì sao ?
3, Xác định vị trí điểm A để tứ giác ABKN là hình bình hành.
4, Trong trường hợp ABKN là hình bình hành hãy tính các góc của hình bình hành đó và tính độ dài đoạn MN.

Đề thi chuyên toán + toán tin
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
1, Chứng minh rằng x ≠ 0 thì ta có hằng đẳng thức:

2, Xét biểu thức:
P =   (với x ≠ 0)
Chứng minh rằng:
a, Với x ì P là hằng số
b, Với x > 0 thì P  , dấu bằng xảy ra khi nào ?
 
Bài 2 (2,5đ)
1, Cho đa thức:
P(x) = x2 + 3(a + b)x + 2a2 + 2b2 + 5ab
a, CMR với mọi giá trị của a, b phương trình P(x) = 0 luôn có nghiệm
b, Tìm a và b biết rằng:
P() = P() = 0
2, Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
                     3x.(y + z) + y.(3z + 2x) + z2 + 2(x2 + y2)
 
Bài 3 (2đ):
Cho hai đường tròn  (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc trong với nhau tại điểm A (R’ ên đường tròn (O; R) lấy 1 điểm B (B ≠ A), từ B kẻ tiếp tuyến BC với đường tròn (O’; R’) (C là tiếp điểm). Đoạn thẳng AB cắt đường tròn (O’; R’) tại điểm D khác A
1, Chứng minh:
2, Cho biết BC = a, hãy tính độ dài đoạn thẳng AB theo R, R’, và a.
 
Bài 4 (3đ):
Cho tam giác ABC cân ở B, góc ABC > 60o nội tiếp trong đường tròn (O; R). Trong hình tròn (O) lấy một điểm D (D và A nằm cùng phía so với BC) sao cho tam giác BCD là tam giác đều. Tia AD cắt đường tròn (O) tại điểm E khác A.
1, Tam giác OCE là tam giác gì ? vì sao ?
2, Biết rằng BC = , hãy tính độ dài đoạn DE và DA theo R.
 
 
Đề thi chung
Năm 2000 – 2001
(150 phút)
 
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức :
A =   với a ≠ 1 và a ≠
1, Rút gọn biểu thức A
2, Tính giá trị của biểu thức A khi a =
3, Tìm các số nguyên a sao cho A nhận giá trị là số nguyên
 
Bài 2 (2đ):
Cho hệ phương trình:
    (*)  (với m là tham số)
1, Giải hệ phương trình (*) khi m = 1
2, Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (*) có nghiệm
 
Bài 3 (2đ):
Cho phương trình:
   (1) (mlà tham số)
1, Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình bậc hai ?
2, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
 
Bài 4 (4đ):
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD. Trên cạnh BC lấy điểm E bất kì sao cho 0 . Qua M kẻ đường thẳng // với AE cắt cạnh CD tại điểm F.
1, Cmr:  Tứ giác AMEF là hình thang nhưng không thể là hình thang cân.
2, Cmr: ∆ABE đồng dạng với ∆FDM từ đó => hệ thức BE. DF =
3, Đặt CE = x. Hãy tính chu vi ∆CEF theo a và x, nhận xét về kết quả vừa tìm được

Đề thi chuyên toán + toán tin
Năm 2000 – 2001
(150 phút)
 
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức:
A =    (với x  5)
1, Rút gọn biểu thức A.
2, Tính giá trị biểu thức A khi biết   9  x  21
3, Tìm x để A = 4
 
Bài 2 (2đ):
Tìm các số nguyên a, b, c  (a ≠ 0). Biết rằng 4a + 2b + c = 3 đồng thời phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm đều là số nguyên
 
Bài 3 (1,5đ):
Giả sử A = và B = với x  R và x ≠ 0 sao cho A, B nhận giá tri dương.
Hãy tìm x để nhận giá trị nhỏ nhất.
 
Bài 4 (4đ):
Cho ∆ABC vuông tại A; AC = b, Ab = c. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; I và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống các cạnh AB và AC. D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC (D không trùng với các điểm B, C và M). Đường trung trực của đoạn thẳng AD cắt các đường thẳng MI và NK tại các điểm E và F tương ứng.
1, CMR 5 điểm A, E, M, D, F cùng nằm trên một đường tròn.
2, Chứng minh  ∆ABC đồng dạng ∆AEF
3, Đặt AD = x. Hãy tính diện tích ∆AEF theo b, c và x. Xác định vị trí điểm D để diện tích  ∆AEF là nhỏ nhất.

Đề thi chung
Năm 2001 – 2002
(150 phút)
 
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
A =
1, Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và
 
Bài 2 (2,5đ):
1, Cho phương trình:
x2 + (m + 1)x + m = 0  (1)
a,Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b, Gọi x1, x2 là nghiệm của (1). Tìm m để biểu thức:
B = x12x2 + x1x22     đạt giá trị lớn nhất.
c, Tìm m để phương trình (1) và phương trình x2 + (m – 5)x + 7m + 6 = 0 có nghiệm chung.
2, Giải phương trình:
x4 + x2 + 6x + 1 = 0
 
Bài 3 (2đ):
Cho parabol y = ax2 (P) và đường thẳng y = x + m (d) trên cùng một hệ trục toạ độ xOy.
1, Tìm giá trị của a biết parabol đi qua điểm M( - 2; 1).
2, Với giá trị của a tìm được ở câu 1;  tìm giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại điểm N. Xác định toạ độ điểm N.
3, Tính diện tích tam giác OMN (cho đơn  vị độ dài trên Ox và Oy là như nhau).
 
Bài 4 (3,5đ):
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R). Các đường cao BE và CF của tam giác ABC thứ tự cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M, N.
1, Chứng minh EF //MN
2, Chứng minh OA MN
3, Với góc BAC = 47o. Xét vị trí tương đối của điểm O với đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC.
4, Cố định BC = a ứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có bán kính không đổi khi A thay đổi trên cung lớn BC.

Đề thi chung
Năm 2005 – 2006
(150 phút)
 
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức:
B =
1, Rút gọn B
2, So sánh B với 1
 
Bài 2 (2đ):
Cho phương trình ẩn x (m là tham số):
                     x2 – mx + m – 1 = 0
1, Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. Tính nghiệm kép của phương trình (nếu có) và giá trị m tương ứng.
2, Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2
   a, Chứng minh : A = m2 – 8m + 8
   b, Tìm m sao cho A = 8
   c, Tính giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m
 
Bài 3 (2đ):
1, Vẽ đồ thị hàm số sau:
| y | + x =  – 1
2, Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH và phân giác BE. Biết góc AEB = 45o. Tính góc EHC.
 
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R), kẻ hai đưòng kính AB, CD cố định và vuông góc với nhau. Những đường thẳng nối C và D với một điểm M chuyển động trên đường tròn lần lượt cắt AB ở E và F.
1, Chứng minh ∆EOC đồng dạng với ∆DOF và chứng minh tích OE. OF không đổi.
2, Cho I là trung điểm của EF. Tính góc IMO
3, Dựng điểm M sao cho EF = R
 
Bài 5 (1đ):
Tìm các cặp số nguyên không âm x, y thoả mãn:
y2 ( x + 1 ) = 1576 + x2
 
 
 
Đề thi chuyên toán  + toán tin
Năm 2005 – 2006
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):     
Cho phương trình bậc hai:
ax2 + (ab + 1)x + b = 0
1, Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b
2, Xác định a, b để phương trình có nghiệm x1 =  – 2; x2 = 
Bài 2 (2đ):
1, Vẽ đồ thị hàm số:
y = | |
2, Căn cứ vào đồ thị, hãy cho biết nghiệm của phương trình:  = 0 và khẳng định lại kết quả bằng phép tính.
Bài 3 (2đ):
Giải các hệ phương trình sau:
1,                                   2,
Bài 4 (3đ):
Cho tam giác ABC và một diểm M bất kỳ trong tam giác:
1, Các đường thẳng MA, MB, MC theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1, C1. Chứng minh rằng:                     
2, Một đường thẳng qua M và trọng tâm G của tam giác ABC cắt BC, CA, AB thứ tự tại A2, B2, C2. Chứnh minh:        
3, Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh BC kéo dài về phía C và cắt cạnh CA, AB thứ tự tại các điểm A3, B3, C3. Chứng minh:                                  
                                                    
 
Bài 5 (1,5đ):
1, Gọi A là tổng của 10 số thực dương, còn B là tổng của 10 số nghịch đảo của chúng. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích A. B
2, Giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng đều được tô bằng màu đỏ hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tốn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu.
 
 
Đề thi chung
Năm 2006 – 2007
(150 phút)
 
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức:
P =
1, Rút gọn P
2, Tìm a để | P | = 1
3, Tìm các giá trị của a N để  P N
 
Bài 2 (2đ):
Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch, nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?
 
Bài 3 (3,5đ):
Cho đưòng tròn (O) và dây AB, một điểm C ở ngoài đường tròn nằm trên tia AB. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K.
1, Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp
2, Chứng minh hai tam giác CID và CPK đồng dạng
3, Chứng minh IC là tia phân giác ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB
4, Giả sử A, B, C cố định. Chứng minh rằng đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định.
 
Bài 4 (1đ):
Cho hai phương trình: ax2 + bx + c = 0  (1) và cx2 + bx + a = 0  (2)  với a. c
Gọi m và n tương ứng là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình (2).
Chứng minh rằng:   m + n  2
 
Bài 5 (1,5đ):
Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức sau:
         

Đề thi chung
Năm 2008 – 2009
(150 phút)
 
Bài 1 (1,5đ):
1, Giải hệ phương trình: 
2, Giải phương trinh: 
 
Bài 2 (3đ):
1, Cho hàm số: y = f(x) = 2x2 – x + 1
Tính f ;    f
2, Rút gọn biểu thức sau:
A =     với x  ≥  0; x  ≠  1
3, Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0   (*)
a, Tìm m để phương trình (*) có nghiệm kép
b, Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 3 (1,5đ):
Theo kế hoạch một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải nhiều hơn dự định 4 sản phẩm.
Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.
 
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là điểm bất kỳ thuộc đường tròn (B ≠ A, C). Kẻ đường kính BB’. Gọi H là trực tâm của ∆ ABC.
1, Chứng minh: AH // B’C.
2, Chứng minh: HB’ đi qua trung điểm của AC.
3, Khi điểm B chạy trên đường tròn (O) (B ≠ A, C). Chứng minh: H luôn nằm trên 1 đường tròn cố định.
 
Bài 5 (1đ):
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1  (d) và điểm  A (- 2;3).
Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lờn nhất.
 
 
Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)
Năm học 2002 – 2003
(150 phút)
 
Bài 1 (3đ):
 Cho biểu thức:
  A =
 1, Rút gọn biểu thức A.
 2, Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên.
 
Bài 2 (3đ):
 1, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:
  x2 – (2m – 3)x + 1 – m = 0
 Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 + 3x1. x2. (x1 + x2) đạt giá trị lớn nhất
 2, Cho a, b là các số hữu tỉ thoả mãn:
  a2003  +  b2003    =   2. a2003. b2003
 Chứng minh rằng phương trình x2 + 2x + ab  = 0 có hai nghiệm hữu tỉ
 
Bài 3 (3đ):
 1, Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o. Tính tỉ số
 2, Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, Phân giác của góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn ở C.
 Tính góc ACD.
 
Bài 4 (1đ):
 Chứng minh bất đẳng thức:
  
 Với a, b, c là các số thực bất kỳ.

Trường THPT năng khiếu Trần Phú (Hải Phòng)
Năm học
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
 Cho biểu thức:   P(x) =
 1, Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
 2, Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(- x)
Bài 2 (2đ):
 1, Cho phương trình:   
  a, Giải phương trình trên khi m =
  b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:             x1 + 2x2 = 16
 2, Giải phương trình:      
Bài 3 (2đ):
 1, Cho x, y là hai số thực thoả mãn: x2 + 4y2  = 1
 Chứng minh rằng:
 2, Cho phân số: A =
 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1  ≤  n  ≤  2004 sao cho A là phân số chưa tối giản ?
Bài 4 (3đ):
 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P. Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng:
 1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn.
 2, ∆BPR cân
 3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bài 5 (1đ):
 Cho ∆ABC có BC Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE.

Trường THPT Trần Đại Nghĩa (TP HCM)
Năm học 2004 – 2005
(150 phút)
 
Bài 1:
 Cho phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình:
x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1, b2.
 Chứng minh:
  
 
Bài 2:
 Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn:
  
 Chứng minh:
 
Bài 3:
 1, Tìm x, y thoả mãn:
  5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0
 2, Cho các số x, y, z thoả mãn:
  x3  +  y3  +  z3 =  1
 Chứng minh: 
 
Bài 4:
 Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x, y thoả mãn phương trình:
  x3 – y3   =   1993

Trường THPT Chuyên Bà Rịa – Vũng Tàu
Năm học 2004 – 2005
(150 phút)
 
Bài 1:
 1, Giải phương trình:
  
 2, Chứng minh không thể tồn tại các số nguyên x, y, z thoả mãn:
  x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2005
 
Bài 2:
 Cho hệ phương trình:
  
 1, Giải hệ khi a = - 1
 2, Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
 
Bài 3:
 1, Cho x, y, z R thoả mãn:
  x2 + y2 + z2 = 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2xy + yz + zx
 2, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
  x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0
 
Bài 4:
 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh A. Gọi I, K, H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB, AC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn (O) tại N (N  ≠  D); AN cắt BC tại M. Chứng minh:
 1, ∆DKI  đồng dạng với  ∆BAM
 2,

Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)
Năm học 2005 – 2006
(150 phút)
 
Bài 1 (1đ):
 Tính giá trị biểu thức: A =   với
 
Bài 2 (1,5đ):
 Giải phương trình:
 
Bài 3 (3đ):
 Cho hàm số: y = x2 có đồ thị ( P ). Hai điểm  A, B thuộc ( P ) có hoành độ lần lượt là: - 1 và 2.
 1, Viết phương trình đường thẳng AB.
 2, Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho ∆MAB có diện tích lớn nhất.
 
Bài 4 (3,5đ):
 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong của góc A cắt  đường tròn (O) tại M. Kẻ đường cao AK của ∆ABC. Chứng minh:
 1, Đường thẳng OM đi qua trung điểm N của BC.
 2,
 3, AH = 2NO
 
Bài 5 (1đ):
 Tính tổng: S = 1. 2 + 2. 3 + 3. 4 + . . . .+ n. (n + 1)

Trường THPT Chuyên Thái Bình
Môn toán – toán tin năm 2005 – 2006
(150 phút)
 
Bài 1 (3đ):
 1, Giải phương trình:
  
 2, Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm
M(x; y) thoả mãn điều kiện:
  
Bài 2 (2,5đ):
 1, Cho phương trình:
  (m + 1)x2 – (m – 1)x + m + 3 = 0   (m là tham số)
 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm đều là các số nguyên.
 2, Cho ba số x, y, z.
  Đặt a = x + y + z;   b = xy + yz + zx;    c = xyz
 Chứng minh các phương trình sau đều có nghiệm:
  t2 + 2at + 3b = 0;   at2 – 2bt + 3c = 0
Bài 3 (3đ):
 Cho ∆ABC
 1, Gọi M là trung điểm của AC. Biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C.
 Chứng minh: DM    BE.
 2, Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong ∆ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F. Chứng minh:
  a,
  b,
Bài 4 (0,75đ):
 Cho các đa thức:
  P(x)  = x3 + ax2 + bx + c
  Q(x) = x2 + x + 2005
 Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô nghiệm.
 Chứng minh: P(2005) >
Bài 5 (0,75đ):
 Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ 3 điểm nào trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù.
 
Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)
Năm học
(150 phút)
 
Bài 1 (3đ):
 Giải phương trình:
 1,
 2,
 
Bài 2 (1đ):
 Cho ba số a, b, c R+  thoả mãn:  ab > c  và  a3 + b3 = c3 + 1
 Chứng minh rằng: a + b > c + 1
 
Bài 3 (2đ):
 Cho a, b, c, x, y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau:
  
 Tìm đẳng thức liên hệ giữa a, b, c không phụ thuộc vào x, y.
 
Bài 4 (1,5đ):
 Cho phương trình:
  (n + 1)x2 + 2x – n(n + 2)(n + 3) = 0  (*)
 Chứng minh rằng (*) có nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên m.
 
Bài 5 (2,5đ):
 Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua O. M là điểm trên đường tròn sao cho ∆AMB nhọn. Đường phân giác của góc MAB và góc MBA cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ. Chứng minh rằng:
 1, MI    PQ
 2, Tiếp tuyến chung của đường tâm P tiếp xúc với MB và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi.
 
 
 
 
 
 
Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)
Năm học 2002 – 2003
(150 phút)
 
Bài 1 (3đ):
 Cho biểu thức:
  A =
 1, Rút gọn biểu thức A.
 2, Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên.
 
Bài 2 (3đ):
 1, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:
  x2 – (2m – 3)x + 1 – m = 0
 Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 + 3x1. x2. (x1 + x2) đạt giá trị lớn nhất
 2, Cho a, b là các số hữu tỉ thoả mãn:
  a2003  +  b2003    =   2. a2003. b2003
 Chứng minh rằng phương trình x2 + 2x + ab  = 0 có hai nghiệm hữu tỉ
 
Bài 3 (3đ):
 1, Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o. Tính tỉ số
 2, Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, Phân giác của góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn ở C.
 Tính góc ACD.
 
Bài 4 (1đ):
 Chứng minh bất đẳng thức:
  
 Với a, b, c là các số thực bất kỳ.

Trường THPT năng khiếu Trần Phú (Hải Phòng)
Năm học
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
 Cho biểu thức:   P(x) =
 1, Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
 2, Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(- x)
Bài 2 (2đ):
 1, Cho phương trình:   
  a, Giải phương trình trên khi m =
  b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:             x1 + 2x2 = 16
 2, Giải phương trình:      
Bài 3 (2đ):
 1, Cho x, y là hai số thực thoả mãn: x2 + 4y2  = 1
 Chứng minh rằng:
 2, Cho phân số: A =
 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1  ≤  n  ≤  2004 sao cho A là phân số chưa tối giản ?
Bài 4 (3đ):
 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P. Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng:
 1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn.
 2, ∆BPR cân
 3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bài 5 (1đ):
 Cho ∆ABC có BC Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE.

Trường THPT Trần Đại Nghĩa (TP HCM)
Năm học 2004 – 2005
(150 phút)
 
Bài 1:
 Cho phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình:
x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1, b2.
 Chứng minh:
  
 
Bài 2:
 Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn:
  
 Chứng minh:
 
Bài 3:
 1, Tìm x, y thoả mãn:
  5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0
 2, Cho các số x, y, z thoả mãn:
  x3  +  y3  +  z3 =  1
 Chứng minh: 
 
Bài 4:
 Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x, y thoả mãn phương trình:
  x3 – y3   =   1993

Trường THPT Chuyên Bà Rịa – Vũng Tàu
Năm học 2004 – 2005
(150 phút)
 
Bài 1:
 1, Giải phương trình:
  
 2, Chứng minh không thể tồn tại các số nguyên x, y, z thoả mãn:
  x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2005
 
Bài 2:
 Cho hệ phương trình:
  
 1, Giải hệ khi a = - 1
 2, Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
 
Bài 3:
 1, Cho x, y, z R thoả mãn:
  x2 + y2 + z2 = 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2xy + yz + zx
 2, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
  x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0
 
Bài 4:
 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh A. Gọi I, K, H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB, AC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn (O) tại N (N  ≠  D); AN cắt BC tại M. Chứng minh:
 1, ∆DKI  đồng dạng với  ∆BAM
 2,

Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)
Năm học 2005 – 2006
(150 phút)
 
Bài 1 (1đ):
 Tính giá trị biểu thức: A =   với
 
Bài 2 (1,5đ):
 Giải phương trình:
 
Bài 3 (3đ):
 Cho hàm số: y = x2 có đồ thị ( P ). Hai điểm  A, B thuộc ( P ) có hoành độ lần lượt là: - 1 và 2.
 1, Viết phương trình đường thẳng AB.
 2, Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho ∆MAB có diện tích lớn nhất.
 
Bài 4 (3,5đ):
 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong của góc A cắt  đường tròn (O) tại M. Kẻ đường cao AK của ∆ABC. Chứng minh:
 1, Đường thẳng OM đi qua trung điểm N của BC.
 2,
 3, AH = 2NO
 
Bài 5 (1đ):
 Tính tổng: S = 1. 2 + 2. 3 + 3. 4 + . . . .+ n. (n + 1)

Trường THPT Chuyên Thái Bình
Môn toán – toán tin năm 2005 – 2006
(150 phút)
 
Bài 1 (3đ):
 1, Giải phương trình:
  
 2, Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm
M(x; y) thoả mãn điều kiện:
  
Bài 2 (2,5đ):
 1, Cho phương trình:
  (m + 1)x2 – (m – 1)x + m + 3 = 0   (m là tham số)
 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm đều là các số nguyên.
 2, Cho ba số x, y, z.
  Đặt a = x + y + z;   b = xy + yz + zx;    c = xyz
 Chứng minh các phương trình sau đều có nghiệm:
  t2 + 2at + 3b = 0;   at2 – 2bt + 3c = 0
Bài 3 (3đ):
 Cho ∆ABC
 1, Gọi M là trung điểm của AC. Biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C.
 Chứng minh: DM    BE.
 2, Lấy một điểm O bất kỳ nằm trong ∆ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F. Chứng minh:
  a,
  b,
Bài 4 (0,75đ):
 Cho các đa thức:
  P(x)  = x3 + ax2 + bx + c
  Q(x) = x2 + x + 2005
 Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô nghiệm.
 Chứng minh: P(2005) >
Bài 5 (0,75đ):
 Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ 3 điểm nào trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù.
 
Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)
Năm học
(150 phút)
 
Bài 1 (3đ):
 Giải phương trình:
 1,
 2,
 
Bài 2 (1đ):
 Cho ba số a, b, c R+  thoả mãn:  ab > c  và  a3 + b3 = c3 + 1
 Chứng minh rằng: a + b > c + 1
 
Bài 3 (2đ):
 Cho a, b, c, x, y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau:
  
 Tìm đẳng thức liên hệ giữa a, b, c không phụ thuộc vào x, y.
 
Bài 4 (1,5đ):
 Cho phương trình:
  (n + 1)x2 + 2x – n(n + 2)(n + 3) = 0  (*)
 Chứng minh rằng (*) có nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên m.
 
Bài 5 (2,5đ):
 Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua O. M là điểm trên đường tròn sao cho ∆AMB nhọn. Đường phân giác của góc MAB và góc MBA cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ. Chứng minh rằng:
 1, MI    PQ
 2, Tiếp tuyến chung của đường tâm P tiếp xúc với MB và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi.
 

 
                                 Năm 1997 – 1998
(150 phút)
 
Ngày thi 5/ 8/ 1997
 
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
A=   với x ≥ 0, x ≠ 1
1, Rút gọn biểu thức A
2, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4.
 
Bài 2 (2đ):  
Cho hệ phương trình:

1, Giải hệ phương trình với m = 1
2, Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nguyệm (x; y) sao cho là số nguyên.
Bài 3 (2đ):  
Trên cùng một hệ trục toạ độ cho đường thẳng (d) và parabol (P) có phương trình:                                                                                                                                                      
                     (P):     y  = 2x + b
           (d):     y  = ax2
1, Tìm a và b biết rằng (P) và  (d) cùng đi qua điểm A(2; 3).
2, Với giá trị của a và b vừa tìm được ở câu (a) hãy tìm toạ độ điểm B (với B là giao điểm thứ hai của (P) và (d)).
 
Bài 4 (3,5đ):
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ hai tia tiếp tuyến MA, MB với    đường tròn đó (A, B là hai tiếp điểm). Từ A ta kẻ tia Ax // MB, Ax cắt (O) tại điểm C (C ≠ A). Đoạn thẳng MC cắt (O) tại điểm thứ hai E. Tiếp tuyến với (O) tại điểm C cắt             các đường thẳng MA, MB tại N và P.
1, Chứng minh tam giác MNPlà tam giác cân.
2, Chứng minh tứ giác MAPC là hình thang cân và MP = 2CP.
3, Kéo dài AE cho cắt đoạn thẳng MB tại I. Chứng minh rằng: tam giác MAI đồng dạng với tam giác PMC. Từ đó => I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
 
 
 
 
 
 
Ngày thi 6/ 8/ 1997
 
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
B =   với x   0; x ≠ 1
1, Rút gọn biểu thức B
2, Tính giá trị của B khi x = 9
 
Bài 2 (2đ):
Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số:
x2 – 2(m – 3)x + 2m – 7 = 0     (1)
1, Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm dương với mọi m
2, Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1, x2 hãy tìm m để:
         
 
Bài 3 (2đ):
Trên cùng một mặt phẳng toạ độ cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:             
(d1):  y = ax + b – 8
                    (d2):  y =
1, Tìm a, b biết rằng (d1) và (d2) cùng đi qua điểm A(2; 3)
2, Với giá trị của a, b tìm được ở câu a hãy tìm toạ độ điểm B, C tương ứng là giao điểm của (d1) và (d2) với trục hoành.
 
Bài 4 (4đ):
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC và  M là điểm nằm trên tia đối của tia IJ. AM và AO cắt BC lần lượt tại N và H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác NAH cắt (O) tại điểm E thuộc cung nhỏ BC.
1, Chứng minh: Tứ giác BIJC nội tiếp được.
2, Chứng minh: OI2 = OH. OA = OC2.
3, Chứng minh: ∆OHE đồng dạng với ∆OEA. Từ đó suy ra ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).
 
 
 
 
Năm 1998 – 1999
(150 phút)
 
Ngày 17/ 7/ 1998
 
Bài 1 (2đ):                  
Cho a = ;                     b =
1, Hãy tính và
2, Hãy lập 1 phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1 = và x2 =
Bài 2 (2đ):
Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số
                     x2 – 3mx + 3m – 4 = 0    (1)
1, Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
2, Hãy tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm là x = khi đó hãy tìm nghiệm còn lại của phương trình đó.
 
Bài 3 (2đ):
Hai đội công nhân I, II được giao sửa chữa một đoạn đưòng. Nếu cả hai đội cùng làm chung thì sau 4 giờ sẽ hoàn thành công việc. Nếu đội I làm mình trong 2 giờ sau đó đội II tiếp tục làm mình trong 3 giờ thì họ hoàn thành được công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu ?
 
Bài 4 (4đ):
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm, AC = 5cm. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho BE = BC. Tia phân giác của góc CBE cắt cạnh CD ở F, đường thẳng EF cắt đường thẳng AB ở M còn đoạn thẳng CM cắt đoạn BD ở N.
1, Chứng minh ∆BCF = ∆BEF
2, Chứng minh BE2 = BA. BM. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng BH
3, Chứng minh tứ giác MENB là tứ giác nội tiếp
4, Tính S∆ADN.
 
 
 
 
 
Ngày thi 18/ 7/ 1998
 
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
A =   với y
1/ Phân tích A thành nhân tử
2/  Tính giá trị của A khi x = và y = 15
 
Bài 2 (2đ)
Cho hệ phương trình:
         (m, n là tham số)
          1/ Giải hệ phương trình khi m = n =1
          2/ Tìm m, n để hệ đã cho có nghiệm
Bài 3 (2đ):
                                 Một ô tô dự định đi quảng đường từ A đế B cách nhau 120km với thời gian và vận tốc đã định. Nhưng sau khi khởi hành được 1 giờ thì xe bị hỏng nên phải dừng lại 20 phút để sửa chữa, vì cậy muốn đến B đúng thời gian quy định thì ô tô phải đi nốt quãng đường còn lại với vân tốc nhanh hơn vận tốc đã định là 8km/h. Tìm thời gian ô tô đã định để đi hết quãng đường AB.
 
Bài 4 (4đ)
          Cho ∆ABC vuông ở A, có AC đường cao kẻ từ đỉnh A. Các tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O ngoại tiếp ∆ABC cắt nhau tại M. OM cắt AB tại E, MC cắt AH tại F. CA kéo dài cắt BM ở D. Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM ở N
          1/ Chứng minh OM // CD và M là trung điểm của đoạn thẳng BD
          2, Chứng minh BF //BC
          3, Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN.
          4, Biết OM = BC = 4cm. Tính diện tích ∆MFE.
 
 
 
 
 
 
 
 
Năm 1999 – 2000
(150 phút)
 
Ngày thi 13/ 7/ 1999
 
Bài 1 (2đ):
          Cho biểu thức:
                     P =       Với a, b > 0; a ≠ b
          1. Rút gọn biểu thức P
          2, Tính giá trị của P khi biết a, b là hai nghiệm của phưong trình:
                    
 
Bài 2 (2đ):
          Cho phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số):
                        (1)
          1, Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
          2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình (1) không thể có hai nghiệm cùng là số âm
          3, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
                     x1 – 2x2  = 5
 
Bài 3 (2đ):
          Một tam giác vuông có chu vi là 24cm. biết rằng độ dài cạnh huyền nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh  góc vuông là 4cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó.
 
Bài 4 (4đ):
          Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 4cm. Tia phân giác của góc ACB cắt cạnh AB tại M. Vẽ đường tròn đường kính CM cắt AC tại E (E ≠ C). Tia ME cắt cạnh AD tại điểm N; tia CNcắt đường tròn đường kính CM tại I (I ≠ C)
          1, Chứng minh rằng: ∆CBM = ∆CEM và ∆CEN = ∆CDN, từ đó suy ra CN là tia phân giác của góc ACB
          2, Chứng minh hệ thức: AM2 + AN2 = (BM + DN)2
          3, Chứng minh 3 điểm D, I, B thẳng hàng.
          4, Tính diện tích ∆AMN.
 
 
 
Năm 1999 – 2000
(150 phút)
 
Ngày thi 14/ 7/ 1999
 
Bài 1 (2đ):
          Cho biểu thức:
                     S =   với x, y ≠ 0; x ≠  ± y
 1, Rút gọn S.
          2, Tìm x và y biết rằng:
  
Bài 2 (2đ):
  Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a là tham số)
                     x2 – 3x + a – 2 = 0  (1)
                     x2 + ax + 1       = 0    (2)
          1, Giải các phương trình (1) và (2) trong trường hợp a = – 1
          2, Chứng minh với mọi giá trị của a thì ít nhất 1 trong 2 phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 3 (2đ):
          Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình:
                     (P):  y = 2x2
                     (d):  y = ax + 2 – a
          1, Vẽ parabol (P)
          2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì (P) và (d) luôn có một điểm chung cố định. Tìm toạ độ điểm chung đó.
Bài 4 (4đ):
          Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4cm. Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Lấy O làm tâm vẽ một đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại D và E tương ứng. M là điểm trên cung nhỏ DE của đường tròn tâm O nói trên (M ≠ D, E). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M cắt các đoạn AD, AE tại các điểm P và Q tương ứng. Gọi L và K theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng OP, OQ với đường thẳng DE.
          1, Chứng minh DE // BC
          2, Chứng minh rằng góc POQ = góc DOE = 60o.
          3, Chứng minh tứ giác DOKP nội tiếp trong một đường tròn, từ đó suy ra các đường thẳng OM, PK và QL cắt nhau tại một điểm.
          4, Tính chu vi tam giác APQ.
 
 
Năm 2000 – 2001
(150 phút)Ngày thi 22/ 6/ 2000
Bài 1 (2đ):
Cho các biểu thức:
A =    ( a  0 )
B =    ( b  0 và b ≠ 1)
1, Rút gọn A và B
2, Tính A – B khi a = và b =
 
Bài 2 (2đ):
Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n là tham số):
x2 – (m + n)x – (m2 + n2) = 0   (1)
1, Giải phương trình  (1) khi m = n =1
2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phương trình (1) luôn có nghiệm
3, Tìm  m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình x2 – x – 5 = 0
 
Bài 3 (2)
Trong một kỳ thi, hai trường A và B có tất cả 350 học  sinh dự thi. Kết quả là 2 trường đó có tất cả 338 thí sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu thí sinh dự thi.
 
Bài 4 (4đ):
Cho tam giác ABC vuông tại A, góc ACB = 30o nội tiếp đường tròn (O; 2cm). Trên (O) lấy điểm D sao cho A & D nằm về hai phía so với đường thẳng BC & DB > DC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B, C xuống AD còn I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A, D tới đường thẳng BC.
1, Chứng minh các tứ giác ABIE, CDFK, EKFI nội tiếp được đường tròn.
2, Chứng minh EK //AC và AE = DF.
3, Khi AD là đường kính của  (O), hãy tính chu vi của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EKFI
 

Ngày thi 23/ 6/ 2000
 
Bài 1 (2đ):
  Cho các biểu thức:
                     A =   (với x  0 và x ≠ 1)
                     B =
1, Rút gọn A và B.
2, Tính giá trị của A khi x = 13
3, Tìm x để A = B
 
Bài 2 (2đ):
Cho các hệ phương trình:
               (I)                           (II)   (m, n là tham số)
1, Giải hệ phương trình (I)
2, Tìm m, n để hệ phương trình (I) tương đương với hệ phương trình (II)
 
Bài 3 (2đ):
Hai khu đất hình chữ nhật, khu thứ nhất có chiều rộng bằng chiều dài; khu đất thứ hai có chiều rộng lớn hơn chiều rộng của khu thứ nhất là 1m, chiều dài nhỏ hơn khu thứ nhất là 4m và có Skhu 2 = Skhu 1. Tính diện tích từng khu đất.
Bài 4 (4đ):
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; 2cm). Tiếp tuyến với (O) tại A và B cắt nhau tại M, đường thẳng MD cắt (O) tại E (E ≠ D) và cắt AB tại F. Gọi I, K thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AB, DE. Tia OK cắt đường thẳng AB tại P, tia AK cắt (O) tại N (N ≠ A).
1, Chứng minh năm điểm A, M, O, B, K cùng thuộc một đường tròn, tính bán kính đường tròn đó.
2, Chứng minh ∆BKF đồng dạng với ∆PIO & PA. PB = PE. PI.
3, Tính S∆MND.
 
 
 

Năm học 2001 – 2002
(150 phút)
 
Ngày thi 13/ 7/ 2001
 
Bài 1: (1,5đ)
Cho biểu thức:
M = .
a, Rút gọn M.
b, Tìm x để M đạt giá trị nhỏ nhất.
 
Bài 2: (1,5đ):
Cho phương trình:  
x2 – 2(m + 1)x + 2m + 5   =   0
a, Giải phương trình khi m =
b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.
 
Bài 3: (2,5đ)
a, Giải hệ phương trình:  
                                                                                          
b, Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của họ hơn kém nhau 3km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. tính vận tốc của mỗi người biết quãng đường AB dài 30km.
 
Bài 4: (3đ)
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn tâm O,  một điểm D trên cung hnỏ AB. Trên các tia đối của các tia BD, CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Gọi giao điểm của hai đường thẳng AM, AN với đường tròn tâm O theo thứ tự là P, Q.
a, Tam giác AMN là tam giác gì ? Tại sao ?
b, Chứng minh tứ giác ADMN nội tiếp được. Suy ra ba đường thẳng MN, PC, BQ song song với nhau.
 
Bài 5: (1,5đ)
Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình:
                     x 2 – ( 3  +  2a ) x  +  40 – a  =  0 có nghiệm nguyên.
 
Ngày thi 14/ 7/ 2001
 
Bài 1: (1,5đ)
a, Chứng minh hằng đẳng thức:
                     A =   =           với a  > 0 và a
b, Tìm a để A
 
Bài 2: (1,5đ)
Cho phương trình bậc hai:
x2 – 2(m + 1)x + m2  +  3m + 2  =  0
a, Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b, Tìm các giá trị của m thoả mãn   x21 + x22  = 12   (trong đó x1 , x2  là hai nghiệm của phương trình).
 
Bài 3: (2,5đ)
a, Giải hệ phương trình:

b, Một hình chữ nhật có cạnh này bằng cạnh kia. Nếu bớt mỗi cạnh đi 5m thì diện tích hình chữ nhật đó phải giảm đi 16%. Tính các kích thước của hình chữ nhật lúc đầu.
 
Bài 4: (3đ)
Cho tam giác ABC có góc A =  450; các góc B, C đều nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại D và E
          a, Chứng minh góc ABE = 450, suy ra AE = BE
          b, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn DH đi qua trung điểm của đoan AH.
          c, Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
 
Bài 5 (1,5đ):
Tìm tất cả các số tự nhiên a để phương trình:
          x2 – a2x + a + 1 = 0  có nghiệm nguyên
 
 
 
 
 
Năm học 2003 – 2004
(150 phút)Ngày thi 16/ 7/ 2003
 
Bài 1: (2đ)
          1, Chứng minh rằng nếu phưong trình bậc hai  ax2  +  bx  +  c =  0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2  thì: x1  +  x2  =     và  x1.x2   =  
          2. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng bằng - 5.
          3, Tìm số nguyên a để phương trình:   x2  - ax  +  a2  -  7  =  0 có nghiệm.
 
Bài 2: (2đ)
          Cho biểu thức: 
P = :
          1, Với giá trị nào của x, y thì biểu thức P có nghĩa ?
          2, Rút gọn P
          3, Cho =  ; =  . Chứng minh rằng P = 2
Bài 3: (1,5đ)
Trong phòng họp có 288 ghế được xếp thành các dãy, mỗi dãy đều có số ghế như nhau. Nếu bớt đi hai dãy và mỗi dãy còn lại thêm hai ghế thì vừa đủ cho 288 người họp (mỗi người ngồi một ghế). Hỏi trong phòng họp đó lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế ?
Bài 4: (1,5đ)
Cho hàm số: 
y = (m – 2)x  +  m  + 3   (d); (m là tham số).
          1, Tìm điều kiện của , để hàm số luôn nghịch biến.
          2, Tìm giá trị của m để đồ thị (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3.
          3, Tìm m để đồ thị các hàm số y = – x  + 2; y = 2x + 1 và (d) đồng quy ?
Bài 5: (3đ)
          Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường kính AD.
          1, Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
          2, Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và C trên AD, AH là đường cao của tam giác ABC (H BC). Chứng minh HM AC.
          3, Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN
          4, Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh: R + r .
 
 
Năm 2004 – 2005
(150 phút)
 
Ngày thi 8/ 7/ 2004
 
Bài 1: (2đ)
Cho phương trình:
.
1, Giải phương trình với m = 2
2, Tìm m để phương trình có nghiệm kép, vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt.
 
Bài 2: (2đ)
Cho biểu thức:   
M =
1, Rút gọn biểu thức M
2, Tìm các giá trị của a để M .
3, Tìm các giá trị nguyên của a để M nguyên.
 
Bài 3: (1,5đ)
Hai người đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 54 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 h. Tính vận tốc của hai người biết rằng vận tốc của người đi từ A bằng vận tốc của người đi từ B.
Bài 4 (3đ)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R). Các đường cao BD, CE cắt nhau ở H và cắt đường tròn  (O) tại hai điể theo thứ tự là M, N.
1, Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp được đường tròn.
2, Chứng minh A là điểm chính giữa của cung MN.
3, Chứng minh DE // MN.
4, Kẻ đường kính AF. Gọi I là trung điểm của BC, chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng.
 
Bài 5 (1,5)
1, Cho x  0, y 0 và x2 + y2 ≠ 0. Chứng minh:
A = > 0.
2, Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
                     B =
 
Năm học 2005 – 2006
                                                               (150 phút)
 
Ngày thi 13/ 7/ 2005
 
Câu 1 (2đ)
Cho biểu thức:
M =
1, Rút gọn M
2, Với điều kiện nào của a thì M > 0 ?
 
Câu 2 (2đ)
Cho phương trình:
x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 ( m là tham số) (1)
1, Giải phương trình (1) với m = 1
2, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
3, Với x1, x2 là hai nghiệm của (10. Tính theo m giá trị biểu thức:
                     A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1)
 
Câu 3 (1,5đ)
Hai kho chứa 450 tấn hàng. Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thì số hàng ở kho II sẽ bằng số hàng còn lại ở kho I. Tính số hàng trong mỗi kho.
 
Câu 4 (3đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Phân giác của góc A cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M cắt AB, AC lần lượt tại D và E.
1, Chứng minh góc CME = góc MAE = góc MAD = góc BCM. từ đó suy ra
BC // DE.
2  Chứng minh ∆AMB và ∆MEC đồng dạng; ∆AMC và ∆MDB đồng dạng.
 
3, Giả sử AC = EC. Chứng minh MA2 = MD. ME
 
Câu 5 (1,5đ)
1, Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = a2. Chứng minh:
                     x4 + y4 + z4  =
2, Chứng minh rằng a5 – a chia hết cho 30 với mọi số nguyên a.
 
 
Đề thi vào lớp 10 chọn THPT Yên Phong 2
Năm học 2005 – 2006
(150phút)
 
Câu 1 (2đ)
Cho biểu thức:
P = . . . .. . . . . .. . .
1, Rút gọn P
2, Tìm x khi P = -2
 
Câu 2 (2đ)
Cho hệ phương trình:

1, Giải hệ khi a = - 2
2, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn: x – y = 7
 
Câu 3 (1,5đ)
Hai bạn An và Bình cùng làm chung một công việc thì sẽ làm xong trong 1 giờ 12 phút. Họ làm chung với nhau được 30 phút thì An phải đi làm việc khác. Bình phải làm thêm 45 phút nữa thì xong 75% công việc. Hỏi mỗi bạn làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc ?
 
 
Câu 4 (3,5đ)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Tiếp tuyến tại M bất kỳ trên (O) (M khác A và B) cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D.
1, Chứng minh: CD = CA + DB và góc COD vuông
2, Chứng minh: AC. BC = R2
3. Biết góc BAM = 600. Chứng minh ABDM đều và tính diện tích ABDM  hình chữ nhật ABDM
 
Câu 5 (1đ)
Tìm x, y nguyên thoả mãn:
7x2  +  13y2 = 1820

Năm 2008 – 2009
(90 phút)
 
Câu 1 (2đ):
Giải các phương trình sau:
a, 2x – 3 = 0;   b, x2 – 4x – 5  = 0
 
Câu 2 (2đ):
1, Cho phương trình: x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị biểu thức:
S =
2, Rút gọn biểu thức:
A =    Với a > 0 và A ≠ 9
 
Câu 3 (2đ):
1, Xác định các hệ số m, n biết hệ phương trình:
     có nghiệm là ( -1; )
2, Giải toán bằng cách lập hệ phương trình:
          Khoảng cách giữa hai thành phố A & B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe một đi nhanh hơn xe hai 6 km nên đến B trước xe hai 12’.
Tính vận tốc mỗi xe.
 
Câu 4 (3đ):
Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD
1, Chứng minh: OM //DC
2, Chứng minh: ∆IMC cân
3, BM cắt AD tại N. Chứng minh: IC2 = IA. IN
 
Câu 5 (1đ):
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A (-1; 2); B (2; 3) & C (m; 0).
Tìm m để C∆ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
 
 
 
Lª V¨n TuÊn – Tr­êng THCS B¹ch Liªu ,Yªn thanh , nghÖ an
 


Có thể download miễn phí file .doc bên dưới
Đăng ngày 2010-03-19 10:50:06 | Thể loại: Toán học 9 | Lần tải: 65 | Lần xem: | Page: 1 | FileSize: 0.78 M | File type: doc
lần xem

đề thi cac đê thi vao lop 10, Toán học 9. Đề thi vào các trường THPT Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam Năm học 1992 – 1993 (150 phút) Bài 1 (2,5đ): Xét biểu thức: P = 1, Rút gọn P. 2, Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2 (2,5đ): Một ô tô tải đi

https://tailieuhoctap.com/dethitoanhoc9/cac-de-thi-vao-lop-10.j3hivq.html

Bạn có thể Tải về miễn phí đề thi này , hoặc tìm kiếm các đề thi khác