TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN

Chú ý:Đây là bản xem thử online, xin hãy chọn download miễn phí bên dưới để xem bản đẹp dạng .doc
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

 
§Ò 1
Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng:
a)     85 + 211 chia hÕt cho 17
b)    1919 + 6919 chia hÕt cho 44
Bµi 2:
a)     Rót gän biÓu thøc:
b)    Cho . TÝnh
Bµi 3:(3®)
Cho tam gi¸c ABC . LÊy c¸c ®iÓm D,E  theo thø tù thuéc  tia ®èi cña c¸c tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD .Qua O vÏ ®­êng th¼ng song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, ®­êng th¼mg nµy c¾t AC ë K. Chøng minh r»ng AB = CK.
Bµi 4 (1®).
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã):
M = 4x2 + 4x + 5
§¸p ¸n
Bµi 1 : (3®)
a)     (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17
Râ rµng kÕt qu¶ trªn chia hÕt cho 17.
b)    (1,5®) ¸p dông h»ng ®¼ng thøc:
an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ.
Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)
                            = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hÕt cho 44.
Bµi 2 : (3®)
a)     (1,5®) Ta cã: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3)
                                                = (x+3)(x-2).
x3 – 4x2 – 18 x + 9 = x3 – 7x2  + 3x2 - 21x + 3x + 9
=(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9)
=x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3)
=(x+3)(x2 –7x +3)
=> = Víi ®iÒu kiÖn x -1 ; x2 -7x + 3 0
b) (1,5®) V×


Do ®ã : xyz(++)= 3
 

Bµi 3 : (3®)                                                                              
Chøng minh :
 VÏ h×nh b×nh hµnh ABMC ta cã AB = CM .
§Ó chøng minh  AB = KC  ta cÇn chøng minh KC = CM.
ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c CBE c©n t¹i C => v× gãc C1 lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c BCE => mµ AC // BM (ta vÏ) => nªn BO lµ tia ph©n gi¸c cña . Hoµn toµn t­¬ng tù ta cã CD lµ tia ph©n gi¸c cña  gãc BCM . Trong tam gi¸c BCM, OB, CO, MO ®ång quy t¹i O => MO lµ ph©n tia ph©n gi¸c cña gãc CMB
Mµ : lµ hai gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh BMCA => MO // víi tia ph©n gi¸c cña gãc A theo gt tia ph©n gi¸c cña gãc A cßn song song víi OK => K,O,M th¼ng hµng.
Ta l¹i cã : mµ  (hai gãc ®ång vÞ) => c©n t¹i C => CK = CM. KÕt hîp AB = CM => AB = CK (®pcm)
Bµi 4: (1®)
Ta cã M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4
= (2x + 1)2  + 4.
V× (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + 4  4  M 4
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi  x = -
-------------------------------------------------
®Ò 2
C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè:    tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a vµ b sau:
a)           b)  
C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( xm + xn + 1 ) chia hÕt cho x2 + x + 1.
khi vµ chØ khi ( mn – 2) 3.
¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:  x7 +  x2 + 1.
C©u 3 .  Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).
C©u 4 .  Cho h×nh thang ABCD (®¸y lín CD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; c¸c ®­êng kÎ tõ A vµ B lÇn l­ît song song víi BC vµ AD c¾t c¸c ®­êng chÐo BD vµ AC t­¬ng øng ë F vµ E. Chøng minh:
EF // AB    
b).   AB2 = EF.CD.      
c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c OAB; OCD;   OAD Vµ OBC 
Chøng minh:  S1 . S2 = S3 . S4 .
C©u 5 .  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt:    A = x2  - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45.
§¸p ¸n
C©u 1 .   Ta cã  a1a2a3 = (a7a8)2  (1)    a4a5a6a7a8  =  ( a7a8)3   (2).
Tõ (1) vµ (2) =>
=> ( a7a8)3 =  a4a5a600 + a7a8     ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600.
 ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6 
do ( a7a8 – 1)  ; a7a8 ;  ( a7a8 + 1) lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn cã 3 kh¶ n¨ng:
a)     . a7a8 = 24  => a1a2a3 . . . a8  lµ sè  57613824.
b)    . a7a8 – 1 = 24 =>  a7a8 = 25     => sè ®ã lµ  62515625
c)     . a7a8 = 26     => kh«ng tho¶ m·n
 
 c©u 2 .  §Æt m = 3k + r  víi         n = 3t + s  víi 
     xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + 1.
                        = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1
ta thÊy:  ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1)  vµ  ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1)
vËy:  ( xm + xn + 1)  ( x2 + x + 1) 
  ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) víi  
      r = 2 vµ s =1           =>            m = 3k + 2 vµ  n = 3t + 1
             r = 1 vµ  s = 2                          m = 3k + 1 vµ  n = 3t + 2
     mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t)
           mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t)
=>    (mn – 2)   3   §iÒu ph¶i chøng minh.
¸p dông:  m = 7; n = 2     =>  mn – 2 = 12 3.
     ( x7 + x2 + 1)    ( x2 + x + 1)
     ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1
C©u 3 .   Gi¶i PT:
Nh©n 2 vÕ víi 6 ta ®­îc:
 

 
C©u 4 .a) Do     AE// BC   =>         A B
                 BF// AD                
MÆT kh¸c AB// CD ta l¹i cã
 D  A1B1 C
   nªn          =>  EF // AB
b).              ABCA1 vµ ABB1D  lµ h×nh b×nh hµnh  => A1C = DB1 = AB
V×  EF // AB // CD  nªn       =>  AB 2  = EF.CD.
c) Ta cã:   S1 = AH.OB;  S2 = CK.OD;  S3 = AH.OD;  S4 = OK.OD.
=> ;       => => S1.S2 = S3.S4
C©u 5.   A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45
                  = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4
                  = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4   
Gi¸ trÞ nhá nhÊt  A = 4 Khi:                        y- 1 = 0         =>        y = 1
 x- y- 6 = 0                x = 7 
---------------------------------------------
®Ò 3
C©u 1: a. Rót gän biÓu  thøc:
 A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1)  + 1
b. NÕu  x2=y2 + z2
Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2
C©u 2: a. Cho    (1) vµ (2)
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc  A= 
b. Biết a +  b + c = 0 TÝnh : B =
C©u 3: T×m x , biÕt :
  (1)
C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, M  ®­¬ng chÐo AC. Gäi  E,F theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña M trªn AD, CD. Chøng minh r»ng:
 a.BM  EF
 b. C¸c ®­êng th¼ng BM, EF, CE ®ång quy.
C©u 5:   Cho a,b, c, lµ c¸c sè d­¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 
P= (a+ b+ c) ().
§¸p ¸n
C©u 1: a.  ( 1,25 ®iÓm) Ta cã:
 A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1
    =   (22-1)(22+1) ......... (2256+1)
    =   (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1)
  ................ 
     =   [(2256)2 –1]  + 1
      =   2512
b, .  ( 1 ®iÓm) Ta cã: 
(5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z)  = (5x – 3y )2 –16z2=  25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*)
V×  x2=y2 + z2  (*) =  25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2)  =  (3x –5y)2
C©u 2: .  ( 1,25 ®iÓm)  a. Tõ (1)   bcx +acy + abz =0
Tõ (2) 
b. .  ( 1,25 ®iÓm) Tõ   a + b + c = 0   a + b =  - c   a2 + b2 –c2 =  - 2ab
T­¬ng tù  b2 + c2 –  a2 = - 2bc;  c2+a2-b2  = -2ac
   B =
C©u 3: .  ( 1,25 ®iÓm)
(1)     
 x= 2007 A  
C©u 4: a. ( 1,25 ®iÓm)  Gäi K lµ giao ®iÓm CB víi EM; B
H lµ     giao ®iÓm cña EF vµ BM
 EMB =BKM ( gcg)
  Gãc    MFE =KMB  BH  EF                           E                M                K
b. ( 1,25 ®iÓm)   ADF = BAE (cgc) AF  BE                                 H
T­¬ng tù: CE  BF    BM;  AF;  CE 
lµ c¸c ®­êng cao cña  BEF  ®pcm
C©u 5: ( 1,5 ®iÓm)  Ta cã:   D             F               C
              P = 1 +
MÆt kh¸c víi   mäi x, y d­¬ng.  P  3+2+2+2 =9
VËy P min = 9  khi a=b=c.
---------------------------------------
®Ò 4
Bµi 1 (3®):
  1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
 a) x2 + 7x + 12
 b) a10 + a5 + 1
  2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
Bµi 2 (2®):
     T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn
Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC )
 1) KÎ ®­êng cao BM; CN cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng:
  a) ®ång d¹ng
  b) gãc AMN b»ng gãc ABC
 2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F lµ trung ®iÓm cña AK.
 Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC.
Bµi 4 (1®):
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
, ( x kh¸c 0)
§¸p ¸n
Bµi 1 (3®):
1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®)
 b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 +  + a3 - a+ 1 )              (1®)
2)

(+1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®)
( x + 100 )( + - -  ) = 0   (0,25®)
V×: + - -  0
Do ®ã : x + 100 = 0 x = -100
 VËy ph­­¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = -100   (0,25®)
 
Bµi 2 (2®):
P =  (0,5®)
 x  nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn
®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th× ph¶i nguyªn hay 2x - 1 lµ ­íc nguyªn cña 5 (0,5®)
=>  * 2x - 1 = 1 => x = 1
 * 2x - 1 = -1 => x = 0
 * 2x - 1 = 5 => x = 3
 * 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5®)
 VËy x = th× P cã gi¸ trÞ nguyªn. Khi ®ã c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña P lµ:
 x = 1 => P = 8
 x = 0 => P = -3
 x = 3 => P = 6
 x = -2 => P = -1 (0,5®)
 
Bµi 3 (4®):  
1) a) chøng minh ABM  ®ång d¹ng CAN (1®)
 b) Tõ c©u a suy ra: AMN ®ång d¹ng ABC
AMN = ABC ( hai gãc t­­¬ng øng) (1,25®)
2) KÎ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H  (0,25®)
BAH = CHA ( so le trong, AB // CH)
mµ CAH = BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®)
Suy ra:
CHA =CAH nªn CAH c©n t¹i C
do ®ã :  CH = CA   => CH = BK vµ CH // BK (0,5®)
  BK = CA
 VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm KH
Do F lµ trung ®iÓm cña AK nªn EF lµ ®­­êng trung b×nh cña tam gi¸c KHA. Do ®ã EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm)              (0,5®)
Bµi 4 (1®):
 A = = +
    =
  A min = khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®)
------------------------------------
®Ò 5
C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A =
 a,  T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh .
 b,  Rót gän biÓu thøc A .
 c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > O
C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau :
C©u 3 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau lÇn l­ît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S.
1, Chøng minh AQR vµ APS lµ c¸c tam gi¸c c©n.
2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt.
3, Chøng minh P lµ trùc t©m SQR.
4, MN lµ trung trùc cña AC.
5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng.
C©u 4 ( 1 ®iÓm): 
Cho biÓu thøc A =    . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña  x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn 
C©u 5 ( 1 ®iÓm) 
a, Chøng minh r»ng  
b, Cho       TÝnh  
§¸p ¸n
C©u 1   a,       x  # 2 , x # -2 , x # 0                                                                       
 b ,   A =
  =
  =
 c, §Ó A > 0 th×
C©u 2 .     §KX§  :  
PT 

x =1 ;  x = 2  ; x = - 2/ 3
C¶ 3 gi¸ trÞ trªn ®Òu tháa m·n §KX§ .
VËy PT ®· cho cã tËp nghiÖm S =
C©u 3:  
1, ADQ = ABR v× chóng lµ hai tam gi¸c vu«ng (®Ó ý gãc cã c¹nh vu«ng gãc) vµ DA=BD ( c¹nh h×nh vu«ng). Suy ra AQ=AR, nªn AQR lµ tam gi¸c vu«ng c©n. Chøng minh t­îng tù ta cã:              ARP=ADS
do ®ã AP = AS vµAPS lµ tam gi¸c c©n t¹i A.
2, AM vµ AN lµ ®­êng trung tuyÕn cña tam gi¸c vu«ng c©n AQR vµ APS nªn ANSP vµ AMRQ.
MÆt kh¸c :   = 450  nªn gãc MAN vu«ng. VËy tø gi¸c AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt.
3, Theo gi¶ thiÕt: QARS, RCSQ nªn QA vµ RC lµ hai ®­êng cao cña SQR. VËy P lµ trùc t©m cña SQR.
4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM =QR.
Trong tam gi¸c vu«ng RCQ th× CM lµ trung tuyÕn nªn CM = QR.
MA = MC, nghÜa lµ M c¸ch ®Òu A vµ C.
Chøng minh t­¬ng tù cho tam gi¸c vu«ng c©n ASP vµ tam gi¸c vu«ng SCP, ta cã NA= NC, nghÜa lµ N c¸ch ®Òu A vµ C. Hay MN lµ trungtrùc cña AC
5,  V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn B vµ D còng c¸ch ®Òu A vµ C. Nãi c¸ch kh¸c, bèn ®iÓm M, N, B, D cïng c¸ch ®Òu A vµ C nªn chóng ph¶i n»m trªn ®­êng trung trùc cña AC, nghÜa lµ chóng th¼ng hµng.   
C©u 4 . Ta cã §KX§ x -1/2
 A = (x  + 1)    +   v× x Z nªn ®Ó A nguyªn th× nguyªn
            Hay  2x+1 lµ ­íc  cña 2 . VËy :
            2x+1 = 2  x=1/2   ( lo¹i )
 2x+1 = 1 x = 0
 2x+1 = -1 x = -1
 2x +1 = -2 x = -3/2 ( lo¹i )
                              KL : Víi x = 0 , x= -1 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn
C©u  5. a, , Chøng minh   
BiÕn ®æi vÕ ph¶i ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh.
b, Ta cã th×

(v×   nªn )
Theo gi¶ thiÕt 
khi ®ã
=====================
®Ò 6
Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc :
M =
a) Rót gän
b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M .
Bµi 2 : (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn
   A =
Bµi 3 : 2 ®iÓm
Gi¶i ph­¬ng tr×nh :
a)     x2 - 2005x - 2006 = 0
b)    + +   = 9
Bµi 4 : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh BC . Qua E kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AE . Ax c¾t CD t¹i F . Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K . §­êng th¼ng qua E song song víi AB c¾t AI ë G . Chøng minh :
a)     AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi .
b)    AKF  ~ CAF vµ AF2 = FK.FC
c)     Khi E thay ®æi  trªn BC chøng minh : EK = BE + DK vµ chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi .
Bµi 5 : (1®) Chøng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120
chia hÕt cho 24
§¸p ¸n
Bµi 1 :
a)     M  =  x4+1-x2) = 
b)    BiÕn ®æi : M = 1 - . M bÐ nhÊt khi lín nhÊt x2+1 bÐ nhÊt x2 = 0 x = 0 M bÐ nhÊt = -2
Bµi 2 : BiÕn ®æi A = 4x2+9x+ 29 + A Z  Z x-3 lµ ­íc cña 4
x-3 = 1 ; 2 ; 4 x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7
Bµi 3 : a) Ph©n tÝch vÕ tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = 0
  (x-2006)(x+1) = 0 x1 = -1 ; x2 = 2006
c)     XÐt pt víi 4 kho¶ng sau :
x x x 4
Råi suy ra nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : x = 1 ; x = 5,5
Bµi 4 :
a)  ABE = ADF (c.g.c) AE = AF
AEF vu«ng c©n t¹i t¹i A nªn AI  EF .
IEG = IEK (g.c.g) IG = IK .
Tø gi¸c EGFK cã 2 ®­êng chÐo c¾t
nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®­êng vµ
vu«ng gãc nªn h×nh EGFK lµ h×nh thoi .
b) Ta cã :
= ACF = 450 , gãc F chung
 AKI  ~ CAF (g.g)
d)    Tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE
Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Kh«ng ®æi)  .
Bµi 5 :  BiÕn ®æi :
B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120
Suy ra B 24
================================
®Ò 7
C©u 1: ( 2 ®iÓm ) Cho biÓu thøc:
A=        ( Víi x  0 ; x  )
1) Rót gän biÓu thøc A
2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A víi x=
C©u 2: ( 1 ®iÓm )
a) Chøng minh ®¼ng thøc: x2+y2+1   x.‎y + x + y      ‎( víi mäi x ;y)
b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:
A =
C©u 3: ( 4 ®iÓm )
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . TRªn ®­êng chÐo BD lÊy ®iÓm P , gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña C qua P .
a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi?
b) Gäi E, F lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn AD , AB .
Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng.
c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc  vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.
d) Gi¶ sö CP  DB vµ CP = 2,4 cm,;
TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
C©u 4 ( 2 ®iÓm )
Cho hai bÊt ph­¬ng tr×nh:
3mx-2m > x+1   (1)
m-2x
T×m m ®Ó hai bÊt ph­¬ng tr×nh trªn cã cïng mét tËp nghiÖm.
§¸p ¸n
C©u 1 ( 2 ®iÓm )
1) ( 1 ®iÓm ) §K: x  0; x  )
A = =
=
2) A=
C©u2: ( 2 ®iÓm )
1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1  x.‎ ‎y+x+y  x2+y2+1 - x.‎ ‎y-x-y  0
 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0  ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y)  0
 (x-‎y)2 + (x-1)2+ (‎‎ y- 1)2 0
BÊt ®¼ng thøc lu«n lu«n ®óng.
2) (2 ®iÓm )
(1)  3mx-x>1+2m  (3m-1)x > 1+2m.     (*)
+ XÐt 3m-1 =0 → m=1/3.
(*)  0x> 1+   x .
+ XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3.
(*)  x>
+ XÐt 3m-1  3m → m
(*)  x .
mµ ( 2 )  2x > m  x > m/2.
Hai bÊt ph­¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm.

 m-2 =0  m=2.
VËy : m=2.
C©u 3: (4 ®iÓm )
a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña    AC vµ BD.
→ AM //PO  → tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang.
b) ( 1 ®iÓm ) Do AM// BD →
         gãc OBA= gãc MAE ( ®ång vÞ )
XÐt tam gi¸c c©n OAB →
gãc OBA= gãc OAB
Gäi I lµ giao ®iÓm cña MA vµ EF →  AEI c©n ë I → gãc IAE = gãc IEA
→ gãc FEA = gãc OAB → EF //AC .(1)
MÆt kh¸c  IP lµ ®­êng trung b×nh cña  MAC → IP // AC        (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra : E,F, P th¼ng hµng.
c) (1 ®iÓm ) Do  MAF   DBA ( g-g) → kh«ng ®æi.
d) NÕu    → PD= 9k; PB = 16k.
Do ®ã CP2=PB. PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2.
PD = 9k =1,8
PB = 16 k = 3,2
DB=5
Tõ ®ã ta chøng minh ®­îc BC2= BP. BD=16
Do ®ã : BC = 4 cm
CD = 3 cm
C©u4 ( 1 ®iÓm )
Ta cã A =
VËy Amax  [ ( x+ min  x+ = 0 → x = -
Amax lµ khi x = -1/2
========================
 
®Ò 8
Bµi1( 2.5 ®iÓm) 
a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0
b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)
Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm).
 Cho biÓu thøc: y = ; ( x>0)
 T×m x ®Ó biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã
Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm)
a, T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh: :
( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330.
B, Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:   3
Bµi 4: ( 3 ,5 ®iÓm) Cho gãc xoy vµ ®iÓm I n»m trong gãc ®ã. KÎ IC vu«ng gãc víi ox ; ID vu«ng gãc víi oy . BiÕt IC = ID = a. §­êng th¼ng kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b.
A, Chøng minh r»ng tÝch AC . DB kh«ng ®æi khi ®­êng th¼ng qua I thay ®æi.
B, Chøng minh r»ng
C, BiÕt SAOB = . TÝnh CA ; DB theo a.
§¸p ¸n
Bµi 1: 3 ®iÓm
a, TÝnh:   Ta cã:   a3 + a2c – abc + b2c + b3
= (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2)
= ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0  ( V× a+ b + c = 0 theo gi¶ thiÕt)
VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0   ( ®pCM)
b, 1,5 ®iÓm Ta cã:
  bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)
  = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)
  = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)
  = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]
  = b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a)
  = d(a-b)(a-c)(b-c)
 Bµi 2: 2 §iÓm  §Æt t =
Bµi to¸n ®­a vÒ t×m x ®Ó t bÐ nhÊt
Ta cã t = =
 =  =  (1)
Ta thÊy:  Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè d­¬ng ta cã:
 x2 + 20042 2. 2004 .x  (2)
DÊu “ =” x¶y ra khi x= 2004
Tõ (1) vµ (2) suy ra: t 4 VËy gi¸ trÞ  bÐ nhÊt cña t = 4 khi x =2004.
VËy ymax= Khi x= 2004
Bµi 3:  2 §iÓm
a, Nh©n c¶ 2 vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi 2.3.4 ta ®­îc:
 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4
 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8
 VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn  liªn tiÕp kh¸c 0 nªn c¸c thõa sè ph¶I cïng dÊu ( + )hoÆc dÊu ( - ).
Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 . 10 . 9 . 8  (1)
Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) . (-10) . (-9) .(-8)  (2)
 Tõ ph­¬ng tr×nh (1) 12x -1 = 11  x = 1 ( tho¶ m·n)
 Tõ ph­¬ng tr×nh (2)  12x -1  = - 8 x= suy ra x Z.
VËy x=1 tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh.
b,  Ta cã     -3   3
VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph­¬ng tr×nh lµ: S = { x R/ 3
Bµi 4 : 3 §iÓm
Ta cã A chung ;       AIC     =    ABI     ( cÆp gãc ®ång vÞ)
 IAC  ~   BAO  (gg).           
Suy ra:      (1)
T­¬ng tù: BID  ~   BAO (gg) 
Suy ra:      (2)
Tõ (1) vµ(2) Suy ra:
 Hay AC. BD = IC . ID = a2
  Suy ra: AC.BD = a2 kh«ng ®æi.
b, Nh©n (1) víi (2) ta cã:   
mµ IC = ID ( theo gi¶ thiÕt) suy ra:  
 C, Theo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vu«ng ta cã;
 SAOB = OA.OB mµ SAOB =     ( gi¶ thiÕt)
 Suy ra: OA.OB =    OA . OB =
Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) =    a2 + a( CA + DB ) + CA . DB =
Mµ CA . DB = a2 ( theo c©u a)  a(CA +DB) =  - 2a2
CA + DB +. VËy:
 Gi¶i hÖ pt    CA =  vµ DB = 3a
    HoÆc CA = 3a vµ DB =
====================
®Ò 9
Bµi 1( 2 ®iÓm).  Cho biÓu thøc : 
1.Rót gän P.
2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3.
Bµi 2(2 ®iÓm).  Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc: 

Bµi 4 (3 ®iÓm).  Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi E; F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC. M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF.
1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF.
2.Chøng minh MAD c©n.
3.TÝnh diÖn tÝch MDC theo a.
Bµi 5(1 ®iÓm).     Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n :  a + b + c = .
Chøng minh r»ng :      a2 + b2 + c2    .
§¸p ¸n
Bµi 1. (2 ®iÓm - mçi c©u 1 ®iÓm)
MTC :
1. 
 
        .Víi th× gi¸ trÞ biÓu thøc ®­îc x¸c ®Þnh.
2. §Ó P =3   
                 
C¸c ­íc nguyªn cña 2 lµ : 
Suy ra:
 
               
               (lo¹i).
                       
                        (lo¹i)
             VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3.
Bµi 2.(2 ®iÓm)  §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh:

Ta cã :

Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi  :                                   



tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ph­¬ng tr×nh.
Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 10; x = -2.
  Bµi 3.(2®iÓm)
   
M lín nhÊt khi   nhá nhÊt.
              V× vµ   nªn nhá nhÊt khi = 0.
DÊu “=” x¶y ra khi x-1 = 0 . VËy Mmax = 1 khi x = 1.
Bµi 4. . (3iÓm)
a. 
    vu«ng t¹i C vu«ng t¹i M
Hay CE DF.
b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE. Ta cã :

AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MDK vu«ng t¹i M
c©n t¹i A
c. 
Do ®ã :
Mµ : .
VËy : .
Trong theo Pitago ta cã :
.
Do ®ã :
Bµi 5 (1®iÓm)
Ta cã:
T­¬ng tù ta còng cã:                 ;
Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®­îc:
. V× nªn:
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c =.                              
=========================
®Ò 10
C©u 1. (1,5®)
Rót gän biÓu thøc : A = +++……….+
C©u 2. (1,5®)  T×m c¸c sè a, b, c sao cho :
§a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4)
C©u 3 . (2®)    T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc  cã gi¸ trÞ nguyªn.
C©u 4. Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c .
Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2
C©u 5 . Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c , träng t©m G, trùc t©m H, t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ O. Th× H,G,O th¼ng hµng.
 
§¸p ¸n
C©u 1.
A = ( - + -+…….+ - )
    = ( - ) =
C©u 2.   Chia ®a thøc x4 + ax + b cho x2 – 4
®­îc ®a thøc d­ suy ra a = 0 ; b = - 16.
C©u 3.    Z  x2 –x +1 = U(7)=
§­a c¸c ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch.
§¸p sè x = .
C©u 4. Tõ gi¶ thiÕt  a  a2
T­ng tù         b2
         c2
Céng hai vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®­îc (®pcm)
C©u 5. trong tam gi¸c ABC  H lµ trùc t©m, G lµ
Träng t©m, O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp
tam gi¸c.
-         ChØ ra ®­îc  = , =
-         ChØ ra  =(B»ng c¸ch vÏ BK nhËn O lµ trung ®iÓm chøng minh CK = AH)
    (c.g.c)
  H,G,O th¼ng hµng.
======================
®Ò 11
C©u 1:Cho biÓu thøc: A=
a, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh.
b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0.
c, T×m gi¸ trÞ  nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.
C©u 2:
.a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= víi x>0.
.b, Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x+1+: 2x-1+2x =3
C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm thuéc c¸c c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x.
.a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸c ®iÓm K,L,M,N sao cho tø gi¸c MNKL cã diÖn tÝch mhá nhÊt.
.b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c MNKL lµ h×nh ch÷ nhËt.
C©u 4: T×m d­ cña phÐp chia ®a thøc
                                       x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1
 
§¸p ¸n
C©u1 (3®)
a.(1®)
Ta cã A=(0,5®)
VËy biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x3,x1/3(0,5®)
b. Ta cã A= do ®ã A=0 3x +4=0  (0,5®)
x=-4/3 tho· m·n ®k(0,25®)
VËy víi x=-4/3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0 (0,25®)
c. (1®)
Ta cã A= = 1+
§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× ph¶i nguyªn 3x-1 lµ ­íc cña 5 3x-11,5
=>x=-4/3;0;2/3;2
VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cña xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (1®)
C©u: 2: (3®)
a.(1,5®)
Ta cã
A==x+ +25  (0,5®)
C¸c sè d­¬ng x vµ Cã tÝch kh«ng ®æi nªn tæng nhá nhÊt khi vµ chØ khi x =
     x=12 (0,5®)
VËy Min A =49 x=12(0,5®)
b.(1,5®)
TH1:  nÕu xx=-3
TH2: NÕu -1x
x+1-2x+1+2x=3=> x=1>1/2(lo¹i )(0,25®)
TH3: NÕu x1/2ta cã
x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho x=-3 (0,5®)
C©u 3: (3®)
 
                                                               C                      L               D
 
 
                                                              M                                                     K
 
                                                              D                      N           B1                K1             A
Gäi S1,,S2, S3, S4 lÇn l­ît lµ diÖn tÝch tam gi¸c AKN,CLM,DMN vµ BKL.
KÎ BB1AD; KK1AD ta cã KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB
SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD(0,5®)
T­¬ng tù S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S (0,25®)
T­¬ng tù S3+S4= x(1-x)S
     S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25®)
     SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-1/2)2+1/2S1/2S(0,25®)
VËy SMNKL ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1/2S khi x=1/2 khi ®ã M,N,K,L lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh CD,DA,AB,BC (0,25®)
b.(1,5®)
tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh b×nh hµnh (1®)
tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh ch÷ nhËt khi BDAC (0,5®)
C©u 4: (1®)
Gäi Q(x) lµ th­¬ng cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1
ta cã x99+x55+x11+x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*)
trong ®ã ax+b lµ d­ cña phÐp chia trªn
Víi x=1 th×(*)=> 11=a+b
Víi x=-1 th×(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7
VËy d­ cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 lµ 4x+7
==========================
®Ò 12
Bµi 1: (3®)
Cho ph©n thøc :  M =
a) T×m tËp x¸c ®Þnh cña M
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0
c) Rót gän M
Bµi 2: (2®)
a) T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai trong ba sè Êy ta ®­îc 242.
b) T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B.
A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n
Bµi 3: (2®)
a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc
         M =
b) Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c
Chøng minh r»ng:         
Bµi 4: (3®)
Cho tam gi¸c ABC, ba ®­êng ph©n gi¸c AN, BM, CP c¾t nhau t¹i O. Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lÖ víi 4,7,5
a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm
b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm
c) Chøng minh
 
§¸p ¸n
Bµi 1:
a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) 0 x2 vµ x- 4                                                     (0,5®)
TX§ =                                                                                  0,2®
b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1)                                              1,0®
                                           = 0 khi x=2; x=                                                      0,2®
 
§Ó M= 0  Th×      x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0
                            x2+ 2x- 8 0                                                                               0,5®
VËy ®Ó M = 0 th× x =                                                                                        0,3®
c) M =                                                             0,3®
Bµi 2:
a) Gäi x-1, x, x+1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp Ta cã: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242     (0,2®)
Rót gän ®­îc x2 = 81                                                                                               0,5®
Do x lµ sè tù nhiªn nªn x = 9                                                                                   0,2®
Ba sè tù nhiªn ph¶i t×m lµ 8,9,10                                                                             0,1®
b) (n3+2n2- 3n + 2):(n2-n) ®­îc th­¬ng n + 3 d­ 2                                                  0,3®
Muèn chia hÕt ta ph¶i cã 2n(n-1)  2n                                                            0,2®
Ta cã:  
n
1
-1
2
-2
n-1
0
-2
1
-6
n(n-1)
0
2
2
-3
 
lo¹i
 
 
lo¹i
                                                                                                                                 0,3®
VËy n = -1; n = 2                                                                                                     0,2®
Bµi 3:
a) V× xyz = 1  nªn x 0, y0, z0                                                                         0,2®
                                                                             0,3®
                                                                           0,3®
M =                                                                       0,2®
b) a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn
a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0                                                                              0,2®
víi x,y > 0
                                                                                       0,2®                                                                                                0,2®
                                                                                               0,2®
Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc råi chia cho 3 ta ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh.
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b = c                                                         0,2®
Bµi 4:   a)         A
              B C
 N
AN lµ ph©n gi¸c cña Nªn                                                                    0,3®
Theo gi¶ thiÕt ta cã Nªn                                            0,2®                                                                                                    0,5®
b) BM lµ ph©n gi¸c cña nªn                                                               0,3®
 
Theo gi¶ thiÕt ta cã:                                                       0,2®
Nªn                                                  0,5®
c) V× AN,BM,CP lµ 3 ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC
 
    Nªn                                                                    0,5®
 
      Do ®ã                                                               0,5®
========================
®Ò 13
C©u 1: ( 2,5 ®iÓm)
 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
 a/. x2 – x – 6                      (1 ®iÓm)
 b/. x3 – x2 – 14x + 24 (1,5 ®iÓm)
C©u 2: ( 1 ®iÓm)
 T×m GTNN cña : x2 + x + 1
C©u 3: ( 1 ®iÓm)
 Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n Z.
C©u 4: ( 1,5 ®iÓm)
 Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi :
 x =       ;   y =
C©u 5: ( 1,5 ®iÓm)
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + + = 14
C©u 6: ( 2,5 ®iÓm)
 Trªn c¹nh AB ë phÝa trong h×nh vu«ng ABCD dùng tam gi¸c AFB c©n , ®Ønh F cã gãc ®¸y lµ 150 . Chøng minh tam gi¸c CFD lµ tam gi¸c ®Òu.                     
 
 
 
§¸p ¸n
C©u 1: a/. Ta cã:  x2 – x – 6 = x2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)
    = (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3)
 ( NÕu gi¶i b»ng c¸ch kh¸c cho ®iÓm t­¬ng ®­¬ng )
 b/. Ta cã: x = 2 lµ nghiÖm cña f(x) = x3 – x2 – 14x + 24
 Do ®ã f(x) x – 2, ta cã: f(x) : (x – 2) = x2 + x – 12
 VËy  x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)( x2 + x – 12)
 Ta l¹i cã: x = 3 lµ nghiÖm cña x2 + x – 12
 Nªn x2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4)
 Nh­ vËy:  x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) .
C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + x + 1    (1 ®’)
Ta cã : x2 + x + 1  = VËy f(x) ®¹t GTNN khi  = 0 Tøc x = -
C©u 3: Ta cã : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1)
   = n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2)  lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp trong ®ã cã Ýt nhÊt hai sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5).
VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120.
C©u 4: (1,5 ®’). Ta cã x,y > 0 vµ
V× a> b > 0 nªn vµ . VËy x
C©u 5: 1/. XÐt kho¶ng x x = - 4.
  2/. -2 x x = 2. (lo¹i)
  3/. 1 x   x = 10 (lo¹i).
  4/. x 3 , ta cã: 3x – 2 = 14 x =   VËy ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm lµ x = - 4  vµ   x = .
C©u 6:  ( 2,5 ®’)                  D     C           
 
             
 
 
 
 
         
         F F
         
      A          B 
 
Dùng tam gi¸c c©n BIC nh­ tam gi¸c AFB cã gãc ®¸y 150 .
Suy ra : (1) .
Ta cã (theo c¸ch vÏ) nªn: FB = IB (2).
Tõ (1) vµ (2) suy ra : ®Òu .
§­êng th¼ng CI c¾t FB t¹i H . Ta cã: = 300 ( gãc ngoµi cña ).
Suy ra: = 900 ( v×  = 600 ) Tam gi¸c ®Òu FIB nªn IH lµ trung trùc cña FB hay CH lµ ®­êng trung trùc cña . VËy  c©n t¹i C . Suy ra : CF = CB (3)
MÆt kh¸c : c©n t¹i F . Do ®ã: FD = FC (4).
Tõ (3) vµ (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).
VËy ®Òu.
Gi¶I b»ng ph­¬ng ph¸p kh¸c ®óng cho ®iÓm t­¬ng ®­¬ng.
==============================
®Ò 14
C©u 1 (2 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc
f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x2+4-3x.
C©u 2  (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
(x+y+z)3 –x3-y3-z3.
C©u 3 (2 ®iÓm ) :
a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2 +x+1
b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3)
C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a2+b2+c2=ab+bc+ac th× a=b=c
C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho
PAC = PBC. Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC. PK vu«ng gãc víi CA. Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB. Chøng minh : DK=DM.
 
§¸p ¸n
 
Bµi 1 (2 ®iÓm) Chia f(x) cho g(x)
Ta cã : x4-3x2+3x2+ax+b: x2-3x+4.
= x2+1 d­ (a-3)x + b+4   (1 ®iÓm)
f(x): g(x) khi vµ chØ khi sè d­ b»ng kh«ng.
Tõ ®©y suy ra    (1 ®iÓm ).
a-3=0  => a=3
b+4=0 => b=-4
Bµi 2 (2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
(x+y+2)3 –x3-y3-z3 =A
Ta cã : (x+y+z)3 –x3-y3-z3 = [(x+y+z)3-x3]-(y3+23).
¸p dông h»ng ®¼ng thøc 6 vµ 7.
A= ( x+y+z-x) [(x+x+z)2 + (x+y+z)x + x2) – (x+z)(y2-y2+z2)       (1 ®iÓm)
   = (y+z)[x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+xy+xz+x2+x2-y2+yz-z2].
   = (y+z) (3x2+3xy+3xz+3yz).
   = 3(y+z) [x(x+y)+z((x+y)]
   = 3(x+y) (y+z) ) (x+z)            (1 ®iÓm).
Bµi 3 : (2 ®iÓm ).
a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2+x+1
Ta cã : x2+x+1 = (x+)2 +
Gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi (x+)2=0 Tøc x = -           (1 ®iÓm).
b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A= h(h+1) (h+2) (h+3)       (1 ®iÓm).
Ta cã : A= h(h+1) (h+2) (h+3)
               = h(h+3) (h+2) (h+1)
               = (h2+3h) (h2+3h+2)
§Æt :  3h+h2 =x
A= x(x+2) = x2+2x = x 2+2x+1-1
   =  (x+1)2-1 -1  Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ -1.
Bµi 4 (2 ®iÓm ) Chøng minh.
Theo gi¶ thiÕt : a2+b2+c2 = ab+ac+bc.
Ta cã : a2+b2+c2 – ab-ac-bc  = 0
Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0            (1 ®iÓm).
(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2= 0
§iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi.
a-b = b-c = a-c = 0    Tøc lµ : a=b=c  (1 ®iÓm).
Bµi 5 (2 ®iÓm)                                                      C
Gäi E lµ trung ®iÓm cña AP                           
F lµ trung ®iÓm cña BP                               K                      M
Ta cã :  KE=AP = EP                                       P                       
             FM = BP =FP                             E                   F             
               A                    D                        B
 
Tø gi¸c DEPF lµ h×nh b×nh hµnh v× DE//BP, DF//AP
Do ®ã : ED=FM        ;     EK =EP=DF
Tõ c¸c tam gi¸c vu«ng APK; BPM ta suy ra.
KEP =2KAP      ;    MEP = 2MBP
 DEPF lµ h×nh b×nh hµnh nªn DEP= DFP
Theo gi¶ thiÕt  KAD = MBP nªn KEP = MFP
VËy DEK = DPM suy ra DEK= MFO (c.g.c)
Do ®ã : DK=OM
==========================
®Ò 15
C©u 1: (2®) T×m hai sè biÕt
 a.  HiÖu c¸c b×nh ph­¬ng cña 2 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp b»ng 36
 b. HiÖu c¸c b×nh ph­¬ng cña 2 sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp b»ng 40
C©u 2: (1,5®) Sè nµo lín h¬n:
 
C©u 3: (1,5 ®) Gi¶i ph­¬ng tr×nh
 
C©u 4: (1®) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh ax –
bx+a
C©u 5: (2,5®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®­êng th¼ng AK song song víi BC. Qua B vÏ ®­êng th¼ng BI song song víi AD. BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh r»ng:
a. EF song song víi AB
b. AB2 = CD.EF
C©u 6: (1,5®) Cho h×nh thang ABCD (AD//BC) cã hai ®­êng chÐo, c¾t nhau ë O . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam gi¸c BOC lµ 169 cm2 vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOD lµ 196 cm2.
§¸p ¸n
C©u 1: a. Gäi 2 sè ch½n liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (x ch½n).
 Ta cã: (x+2)2  -x2 =36  => x = 8.
 VËy 2 sè cÇn t×m lµ 8 vµ 10.
 b. Gäi 2 sè lÎ liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (xlÎ)
 Ta cã (x+2)2 –x2  = 40 => x = 9
 VËy 2 sè cÇn t×m lµ 9 vµ 11.
C©u 2: Theo tÝnh chÊt cña ph©n thøc ta cã:
 
=
C©u 3: Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi:
               
             

x=-1001.
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x=-1001.

C©u 4:  * NÕu a> b th× x>
                * NÕu a
 * NÕu a=b th× 0x> 2b
  + NghiÖm ®óngvíi mäi x nÕu b
  + V« nghiÖm nÕu b
C©u 5:
a. vµ ®ång d¹ng (g.g) =
               Vµ ®ång d¹ng (g.g) =
Mµ  KD = CI = CD – AB = // KC
VËy AF// AB
b. Vµ ®ång d¹ng, suy ra
(1)
              Do EF// DI                 (2)
Tõ (1) vµ (2)
C©u 6: Theo ®Ò bµi ta ph¶i tÝnh diÖn
tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm2
                  SAOD = 196 cm2
Ta nhËn thÊy SABD = SACD (v× cã chung ®¸y AD
vµ ®­êng cao t­¬ng øng b»ng nhau)
Suy ra SABO = SCOD
Tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta rót ra r»ng: tû sè diÖn tÝch hai tam gi¸c cã chung ®­êng cao b»ng tû sè hai ®¸y t­¬ng øng.
Do ®ã: => SABO.SCOD  = SBOC.SAOD
Mµ SABO = SCOD nªn: S2ABO = SAOD . SBOD = 169.196 = 132 .142
=> SABO = 13.14 = 182 (cm2)
================
 
®Ò 16
C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn.
                              2x3 + x2 + 2x + 5
  A=
                                     2x + 1
C©u 2(2®): Gi¶i ph­¬ng tr×nh
  x2 - 3|x| - 4 = 0
C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t­¬ng øng c¸c ®iÓm P, Q, R. Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång qui lµ:
PB      QC       RA
       .           .             = 1
PC      QA       RB
C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
 M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2
C©u 5(2®): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  A = 3x2 + y2
 
§¸p ¸n
C©u 1                 A nguyªn  2x+ 1 lµ ­íc cña 4
 ¦(4) = 1; 2; 4
Gi¶i ra x = -1; x= 0 th× A nguyªn.
C©u 2:  x2 - 3|x| - 4 = 0
 3|x| = x2 - 4
 3x =  (x2 - 4)
 x2 - 3x - 4 = 0 hoÆc x2 + 3x - 4 = 0
Gi¶i 2 ph­¬ng t×nh nµy ®­îc    S = -4; 4
C©u 3: (S¸ch ph¸t triÓn to¸n 8)
C©u 4: M = 18 khi a = b = …
C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc...
Ta cã: A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x- 1/4)2 + 1/4     A ≥ ¼
VËy Amin = 1/4 khi x = 1/4 ; y = 1/4.
=========================
®Ò 17
Bµi 1. Cho biÓu thøc:
A =
a)     T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh.
b)    Rót gän biÓu thøc A.
c)     T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2:
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:     
b) T×m a, b ®Ó: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1
Bµi 3.
Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M kÎ c¸c ®­êng th¼ng song song víi hai ®­êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®­êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn l­ît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J.
a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF.
b) Trong tr­êng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF.
Bµi 4. Cho a  4; ab   12. Chøng minh r»ng  C =  a + b  7 
§¸p ¸n
Bµi 1:
a)     §iÒu kiÖn:
b)    A = =
c)     Ta cã: A nguyªn (x + 2006)
Do x = kh«ng tho· m·n ®k. VËy A nguyªn khi x =
Bµi 2.
a) Ta cã:
               
                    
 
    (2006 - x) = 0 x = 2006
b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc, råi tõ ®ã ta t×m ®­îc:
Bµi 3.                                                                                 
a) Ta cã:   (1)
  (2) 
  (3)
Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra    hay   FI.FJ = EI.EJ  (4)
NÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× tõ (4) ta cã:

b) NÕu AB = 2CD th× nªn theo (1) ta cã
suy ra: EF = FI + IE = 3FI. T­¬ng tù tõ  (2) vµ (3) ta cã EF = 3EJ.
Do ®ã: FI = EJ = IJ = kh«ng liªn quan g× ®Õn vÞ trÝ cña M. VËy M tuú ý trªn AB
Bµi 4. Ta cã: C = a + b = (   (§PCM)
============================
®Ò 18
C©u 1:
T×m sè m, n ®Ó: 
Rót gän biÓu thøc:
   M =
C©u 2:
T×m sè nguyªn d­¬ng n ®Ó n5 +1 chia hÕt cho n3 +1.
Gi¶i bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn.
C©u 3:
 Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®­êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ ®­êng trung trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG = 2HE vµ AG = 2HF.
C©u 4:
 Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n:
  a = ;   b =
 
§¸p ¸n
C©u 1: (3®)
 a. m =1   (0.75®);                               n = -1   (0.75®)
b.(1.5®) ViÕt mçi ph©n thøc thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc
 (¸p dông c©u a)
  (0.25®)
   (0.25®)
   (0.25®)
   (0.25®)
 §æi dÊu ®óng vµ tÝnh ®­îc :
 M =  (0.5®)
C©u 2: (2.5®)
(1.5®)
 BiÕn ®æi:
  n5 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1) – (n2 –1) n3 + 1 (0.5®)
  (n + 1) (n – 1) (n + 1)(n2 - n + 1) (0.25®)
  n – 1 n2 – n  + 1  (v× n + 1   0 ) (0.25®)
 NÕu n = 1 th× ta ®­îc 0 chia hÕt cho 1 (0.25®)
 NÕu n > 1 th× n – 1 2 – n +1
  Do ®ã kh«ng thÓ x¶y ra quan hÖ n – 1 chia hÕt cho n2 – n +1 trªn tËp hîp sè nguyªn d­¬ng
  VËy gi¸ trÞ duy nhÊt cña n t×m ®­îc lµ 1 (0.25®)
     n – 1 n2 – n +1
n(n – 1) n2 – n  + 1
                n2 – n n2 – n  + 1
                             ( n2 – n  + 1) – 1 n2 – n  + 1
                             1                  n2 – n  + 1 (0.5®)
  Cã hai tr­êng hîp:
              n2 – n  + 1 = 1 n(n – 1) = 0 n = 0 hoÆc n = 1
C¸c gi¸ trÞ nµy ®Òu tho¶ m·n ®Ò bµi (0.25®)
              n2 – n  + 1 = - 1 n2 – n  + 2 = 0 v« nghiÖm
VËy n = 0, n = 1 lµ hai sè ph¶i t×m (0.25®)
C©u 3: (3®) (H×nh *)
              LÊy I ®èi xøng víi C qua H, kÎ AI vµ BI, ta cã HE lµ ®­êng trung b×nh cña ACI nªn HE//AI vµ HE = 1/2IA      (1)              (0.25®)
  T­¬ng tù trong CBI : HF//IB vµ HF = 1/2IB   (2)  (0.25®)
Tõ BGAC vµ HEAC BG//IA  (3)  (0.25®)
T­¬ng tù AKBC vµ HFBC AG//IB   (4) (0.25®)
Tõ (3) vµ (4) BIAG lµ h×nh b×nh hµnh (0.25®)
Do ®ã BG = IA vµ AG = IB (0.5®)
KÕt hîp víi kÕt qu¶ (1) vµ (2) BG = 2HE vµ AG = 2HF (0.5®)
                  
C©u 4: (1.5®)
Ta cã:  19702 – 1 2
               1969.1971 2
                 (*) (0.25®)
Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*)
ta cã:
              (0.25®)
              (0.25®)
              (0.25®)
VËy:               (0.25®)
 
===============================
®Ò 19
Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc
A =
a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A?
b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2
c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A
d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn
bµi 2 (2,5®)
a. Cho P =
Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x
b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh
                   
Bµi 3 (1®)
    T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc  A =
Bµi 4 (3®)
   Cho vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn l­ît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB vµ AC
a. CMR: E, A, H th¼ng hµng
b. CMR: BEFC lµ h×nh thang, cã thÓ t×m vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë thµnh mét h×nh thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®­îc kh«ng.
c. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt?
Bµi 5 (1®)
Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1
CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1)
§¸p ¸n
Bµi 1 (2,5®)
sau khi biÕn ®æi ta ®­îc;
A =      0,5®
TX§ =      0,25®
Rót gän:   A =   0,25®
§Ó A = 2        (tho· m·n ®iÒu kiÖn cña x) 0,5®
§Ó A   (Tho· m·n ®k cña x)    0,5®
§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× (2 - x) ph¶i lµ ­íc cña 2. Mµ ¦ (2) =
suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4. Nh­ng x = 0 kh«ng tho· m·n §K cña x     0,25®
    VËy x = 1; x =3.; x=4                               0,25®
Bµi 2 (2,5®)
    a. P =       1®
    Tö: x4 + x3 + x + 1 = (x+1)2(x2- x + 1)   0,25®
    MÉu: x4 - x3 + 2x2 -x +1 = (x2 + 1)(x2 -x + 1)      0,25®
    Nªn mÉu sè (x2 + 1)(x2 -x + 1)  kh¸c 0. Do ®ã kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn cña x       0,25®
    VËy P =  v× tö =   vµ mÉu x2 + 1 >0 víi mäi x  0,25®
         Nªn P
b. Gi¶i PT:
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)
x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)
x2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)
Trong ®ã
TX§ =   ph­¬ng tr×nh trë thµnh:
                      
             VËy PT ®· cho cã nghiÖm x =2; x = -10
Bµi 3 (1®)
              T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc
          
               A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 hay x =   A = . A ®¹t GTLN lµ 4      
Bµi 4 (3®)
  a.(0,75®) do E ®«ie xøng víi H qua AB nªn AB lµ ®­êng trung trùc cña ®oanh th¼ng EH
   vËy gãc EAH = gãcIAH   (1)
    gãc FAD = gãcDAH   (2)
    céng (1) vµ (2) ta cã : gãc EAH  +  gãc FAD = gãcDAH +  gãcIAH   = 900 theo gi¶ thuyÕt
     hay gãcEAI + gßcAD + BAC = 900 + 900 = 1800. Do ®ã 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng
b. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A nªn gãcABC + ACB = 900 (hai gãc nhän tam gi¸c vu«ng)
          Mµ gãcEBA = gãcABH (tÝnh chÊt ®èi xøng)
                gãcCA = gãcHCA  (tÝnh chÊt ®èi xøng)
                suy ra gãc EBA + gãc FCA = 900
                haygãc EBA + gãc  FCA + gãc ABC + gãc ACB = 1800
                suy ra gãc EBC + gãc FBC = 1800 (hai gãc trong cïng phÝa bï nhau)
                do ®ã BE song song CF. Vậy tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang          0,75®
            Muèn BEFC lµ h×nh thang vu«ng th× ph¶i cã gãc AHC = 900 () vËy H ph¶i lµ ch©n ®­êng cao thuéc c¹nh huyÒn cña tam gi¸c ABC
           Muèn BEFC lµ h×nh b×nh hµnh th× BE = CF suy ra BM = HC. VËy H ph¶i lµ trung ®iÓm cña BC………….. 0,25®
           Muèn BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt th× BEFC ph¶i cã mét gãc vu«ng suy ra () ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× tam gi¸c ABC kh«ng phaØ lµ tam gi¸c vu«ng c©n…..0,25®
    c.lÊy H bÊt kú thuéc BC gÇn B h¬n ta cã:
          dùng h×nh ch÷ nhËt HPQD b»ng AIHD
           vËy Stam gi¸c EHF = Stø gi¸c  ¶IPQ. Ta cã tam gi¸c HBI = tam gi¸c HMB (g.c.g)
           suy ra
    víi H gÇn C h¬n ta còng cã:Stø gi¸c ABMQ tam gi¸c ABC
     khi H di chuyÓn trªn BC ta lu«n cã SEHF . T¹i vÞ trÝ h lµ trung ®iÓm cña BC th× ta cã
           SEHF = SABC. Do ®ã khi H lµ trung ®iÓm cña BC th× SEHF lµ lín nhÊt.
Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1
   Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1)
            Do a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng nªn ta cã;
            (a – 1)2    (1) …………0,25®
           T­¬ng tù (b + 1)2 4b   (2)………………0,25®
                (c + 1)2 4c   (3) …………0,25®
     Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã:
(b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 64abc   (v× abc = 1)
((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 64
(b + 1)(a – 1)(c + 1)  8…..0,25®
=======================================
®Ò 20
C©u I :(3®)
a)     Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
A = x3 +8x2 + 19x +12 .         B = x3 +6x2 +11x +6 .
b)    Rót gän ph©n thøc :
                                      .
C©u II : (3®) .
1 ) Cho ph­¬ng tr×nh Èn x.
           
a)     Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi a = 4.
b)    T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho ph­¬ng tr×nh nhËn x = -1 lµm nghiÖm.
2 ) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh sau : 2x2 + 10x +19 > 0.
C©u III (3®): Trong h×nh thoi ABCD ng­êi ta lÊy c¸c ®iÓm P vµ Q theo thø tù trªn AB vµ CD sao cho AP = 1/ 3 AB vµ CQ = 1/ 3 CD. Gäi I lµ giao ®iÓm cña PQ vµ AD , K lµ giao ®iÓm cña DP vµ BI , O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.
a)     Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhËn xÐt vÒ tam gi¸c BID vµ vÞ trÝ cña K trªn IB.
b)    Cho Bvµ D cè ®Þnh t×m quü tÝch cña A vµ I.
C©u IV : (1®) .T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh sau :
                                                    yx2 +yx +y =1.
§¸p ¸n
 
Bµi I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4)               (1®)
                     B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3)         (1®)
                2)        (1®) 
     Bµi II :1) . Ph­¬ng tr×nh        (1)
      §iÒu kiÖn: x -2 vµ x a.
(1)            x2 – a2+ x2 – 4 = 2x2 + 2(2- a)x – 4a
             – a2 - 4 + 4a     = 2(2- a)x
             - (a - 2)2         =   2(a - 2)x  (*)
a)     víi a =4 thay vµo (*) ta cã :
      4 =4x       x=1                                                     (1®)
b)    . Thay x= -1 vµo (*) ta ®­îc.
      (a – 2 )2 + (a - 2)= 0
(a - 2) (a – 2 + 2) = 0
         a = 2
    a = 0                                                                 (1®)
2) . Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh :
       2x2 + 10x + 19 > 0    (1)
      BiÕn dæi vÕ tr¸i ta ®­îc.
    2x2 + 10x + 19  =   2x2 + 8x +8 + 2x +4 +7
                                =2(x2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7
                                = 2(x + 2)2 +2(x + 2) + 7
   = (x + 3)2 + (x + 2)2 + 6  lu«n lín h¬n 0 víi mäi x                                                                                   
Nªn bÊt ph­¬ng tr×nh (1)  NghiÖm ®óng víi x .         (1®)          
   Bµi III .                                                                                                                 
                                           AP // DQ                                             
XÐt tam gi¸c IDQ  cã .       AP =     DQ                                                                           
Theo ®Þnh lý Ta LÐt trong tam gi¸c ta cã :   (0,75® )                                                   
            
Tam gi¸c BID lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B v×     AO DB      vµ AO lµ ®­êng trung
b×nh cña  BID 
    §iÓm   K lµ trung ®iÓm cña IB. (Do DK lµ ®­êng trung tuyÕn cñaBID ) .      (0,75®)
    b).   Víi B vµ D cè ®Þnh nªn ®o¹n DB cè ®Þnh.Suy ra trung ®iÓm O cè ®Þnh.
MÆt kh¸c AC BD , BI  DB vµ vai trß cña A vµ C lµ nh­ nhau . Nªn quü tÝch cña A lµ ®­êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm O.Quü tÝch cña ®iÓm I lµ ®­êng th¼ng ®i qua B vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm B.                                                  (1®)
§¶o: Víi A vµ I ch¹y trªn c¸c ®­êng ®ã vµ AD = AI .Th× AP = AB vµ CQ = CD.
ThËt vËy : Do AP // DQ  suy ra   mµ AB = CD §PCM. (0,5®)
Bµi IV:     y x2 + y x + y = 1   .  (1)
             NÕu ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x ,y > 0.
(1)                 y(x2 + x +1) = 1
                             y= 1                                 y = 1 ,x= 0
                                 x2 + x +1 =1
      VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trªn lµ (x,y) = (0 ,1).           (1®)
===================================
®Ò 21
I. §Ò bµi:
Bµi 1:(2 ®iÓm)  Cho A =
Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0.
Bµi 2:(3 ®iÓm)  Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
 1)  (x+1)4 + (x+3)4 = 16
 2)  
Bµi 3:(2 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè:
  a = kh«ng ph¶i lµ mét sè nguyªn.
Bµi 4:(3 ®iÓm)
Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA.
a)     Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao?
b)    T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng?
c)     Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c ABCD vµ MNPQ.
§¸p ¸n
Bµi 1:(2 ®iÓm)  Ta cã: a + b + c = 0 b + c = - a.  0.25 ®iÓm
B×nh ph­¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 =  a2
  b2 + 2bc + c2 = a2 b2 + c2 - a2 = -2bc     0.5 ®iÓm
T­¬ng tù, ta cã:  c2 + a2 - b2 = -2ca
 a2 + b2 - c2 = -2ab      0.5 ®iÓm
A = (v× a + b + c = 0)      0.5 ®iÓm
VËy A= 0.      0.25 ®iÓm
Bµi 2:(3 ®iÓm)  Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
1)           §Æt y = x + 2 ta ®­îc ph­¬ng tr×nh:
(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16
y4 + 6y2 -7 = 0     0.5 ®iÓm
§Æt z = y2 ta ®­îc ph­¬ng tr×nh: z2 + 6z – 7 = 0 cã hai nghiÖm lµ
z1 = 1 vµ z2 = -7.     0.5 ®iÓm
 
y2 = 1 cã 2 nghiÖm y1 = 1 ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3.
y2 = -7 kh«ng cã nghiÖm.      0.5 ®iÓm
 2)  
  
      0.5 ®iÓm
 = 0      0.5 ®iÓm
 V×      0.5 ®iÓm
Bµi 3:(1,5 ®iÓm)  Ta cã:
 a =        0,5®iÓm
 = ;       0.5 ®iÓm
 MÆt kh¸c a > 0. Do ®ã a kh«ng nguyªn    0.5 ®iÓm
 
Bµi 4:(3,5 ®iÓm)
VÏ h×nh, viÕt gi¶ thiÕt - kÕt luËn ®óng     0.5 ®iÓm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh            1 ®iÓm
b) MNPQ lµ h×nh vu«ng khi vµ chØ khi AC = BD, ACBD        1 ®iÓm
c)   SABCD =;  SMNPQ =;   0.5 ®iÓm
       0.5 ®iÓm
=========================
®Ò 22
Bµi 1 (3 ®iÓm)
a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120
b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24
Bµi 2 ( 3 ®iÓm)
a. T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph­¬ng tr×nh:
b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B = víi x # 0
Bµi 3 ( 1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: P =
Bµi 4 ( 3 ®iÓm )
Cho Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A. §iÓm M trªn c¹nh BC. Tõ M kÎ ME vu«ng gãc víi AB, kÎ MF vu«ng gãc víi AC ( E AB ; F   AC )
a. Chøng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 vµ chu vi tø gi¸c MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M.
b. T©m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt.
c. Chøng tá ®­êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
 
§¸p ¸n
Bµi 1:  a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120
KÕt qu¶ ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4)  ( 2®iÓm )
           b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)
 
=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)
Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A 24   (1 ®iÓm )
Bµi 2: a.
T×m ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x1 = 0; x2= -1 (1.5 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
B= víi x # 0 gi¶i vµ t×m ®­îc B max = 1/2 th×  x =    ( 1, 5 ®iÓm )
Bµi 3 Rót gän biÓu thøc:
P =  ( 1®iÓm )
Bµi 4: Gi¶i a. chøng minh ®­îc
F C . BA + CA. BE = AB2 (0,5 ®iÓm )
+ Chøng minh ®­îc chu vi tø gi¸c
MEAF = 2 AB
( kh«ng phô vµo vÞ trÝ cña M ) ( 0,5 ®iÓm )
b. Chøng tá ®­îc M lµ trung ®iÓm BC
Th× diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt (1 ®iÓm )
c. Chøng tá ®­îc ®­êng th¼ng
MH EF lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh ( 1 ®iÓm )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Đề 23       
 
 
Câu 1: (4đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6
b, Cho x Z  chứng minh rằng  x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1
Câu 2: (2đ)
Cho x,y,z 0 thoả mãn  x+ y +z = xyz  và + + =  
Tính giá trị của biểu thức  P =
Câu 3: (3đ)  Tìm x biết
a,   
b,   + =
Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9  với mọi n N*
b, Cho x,y,z > 0  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
Bài 5: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Bài 6: (2 đ)
   Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.
 
 
Đề 23
 
Câu1(4đ)
 
 
a,đặt a = x2 -2x  thì x2 -2x -1 = a-1
A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1
A chia hết cho x4 + x2 + 1 
 
 
.1đ

 

 
 

 
Cau 2 :(2đ
 
 
Có (= + 2(
(= p + 2 vậyP+2=3
suy ra P = 1
 
 
 
 
0.75đ
 
0,75đ
 
0.5đ
Câu 3: (3đ)
 
 
 
 
 
giải  4-5x
làm đúng được x> 3
b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung
(x+100)() = 0  S =
 

0.5đ

 
0.5đ
 
Câu 4:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a,  = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp )
3(n+1) chia hết cho3  B  chia hết cho 3 A =3B  chia hết cho 9
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c  x+y+z =
x = ; y = ; z=
P = = =
Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z
 
 
0.5đ
 
0,5đ
 
 
0,5đ
 
 
 
 
 
0.5đ
 
 
 
 
 

 
Câu 5: (2đ)
 
 
 
 
 
 
 
+ Hai tam giác ADC và BEC có:
  Góc C chung.
  (Hai tam giác vuông CDE và CAB  đồng dạng)
 
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:BEC=(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó  tam giác ABE vuông cân tại  A.
Suy ra:
 
 
0,25 đ
0,25 đ
 
 
 
 
0,25 đ
0,5 đ
 
0,25 đ
0,5 đ
 
b)

Ta có: (do~)
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên (doABH Đồng dạng      CBA)
Do đó        BHM đồng dạng       BEC (c.g.c)
 
suy ra:
0,5đ
 
 
 

 
 
 
0,5đ
C)

Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suyra: ,
vì~nên   (DE//AH)
 
Do đó:
 
 
 
 

 
 

Câu 6
 
Đặt: 2p+1=a3  (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1)
Vì p là số nguyên tố nên:
Hoặc : a-1=2  suy ra p=13 ( thoả mãn)
Hoặc: a2+a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1
Vởy trong các số tự nhiên  có dang 2p+1 (p là số nguyên tố) chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác.

 
0,5đ
 
 
0,5đ
 
 
Đề 24                                                                 
 
 
     Câu 1:  (4điểm)
a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= 
b. Cho  (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0.  Chứng minh :
Câu 2: (3điểm)
a. Tìm x,y,x biết :
b.Giải phương trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9
Câu 3: (3điểm)
a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với aZ
b. Chứng minh rằng :  x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi xZ+
Câu 4: (2điểm)
Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức :
  Câu 5: (6 điểm)
cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H
a)tính tổng :
Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc  AIC; AIB(MAC;NAB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM
c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu thức :
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 6(2điểm)
Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì
                  (1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ. 
                         ……………..Hết…………………….   
Đề 24
 
Bài
                                                    Nội dung
điểm
Bài1
a)

 
 
 
b)

3y-x=6   x=3y-6
Thay vào ta có A=4
Vì:   (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0. 
                                                                            Đặt :                                            chứng minh bài toánNếu   x+y+z=0 thì: x3+y3+z3=3xyz đpcm
0,5đ
 
 
1,5đ
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

Bài 2:
a)
1,5đ
 
 
 
 
 
 
 
b)
1,5đ
. : =0
   
.phươngtrình:      
2x(8x-1)2(4x-1)=9
đặt :64x2-16x+0,5=k
Ta có pt :  (k+0,5)(k-0,5)=72
Với k=8,5    Ta có x=   
Với k=-8,5 phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2
 
 
 

 
 
 
 
0,5đ
 
 
 
 
 
0,25đ
 
 
 
0,5đ
 
 
0,25đ
 
 
 
0,25đ
 
0,25đ
Bài 3
a)
1.5đ
 
 
 
 
 
 
 
 
b)
1.5đ
,    có: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5)
         = a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)
vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên(2)   
5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết cho 30
Từ (1); (2) suy rađpcm
 
b,Từ bài toán trên ta có:  x5-x x5-x+2 chia 5 dư 2
x5-x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương nào có tận cùng là 2hoặc 7)           Vậy:
x5-x+2 không thế là số chính phương với mọi x
 
 
0, 75đ
 
 
0,25đ
 
 
0,25đ
 
0,25đ
 
 
0,75đ
 
 
0,5đ
 
0,25đ
Câu4

đặt A=  = = =  
tacó x+ >0 Nên A8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
 
 
 
 
 

 
 
0,5đ
 
0,5đ
câu 5
a)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b.
 
 
 
 
 
 
c)
 
 
Ta có : (1)
Tương Tự:                   (2)
(3)
Từ (1); (2); (3) ta có: =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 đ
 
 
0,25 đ
 
0,25 đ
 
0,5 đ
 
 
 
 
0,75 đ
 
0,75 đ
 
0,5 đ
 
 
0,5 đ
 
 
0,25 đ
 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
 
0,25 đ
    b) áp d ụng tính chất đường phân giác  vào các tam giácABC, abi, aic:
        suy ra                                                                          
                                                            
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx                            
-Chứng minh được góc  BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’                     
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD                                                 
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2                                                 
     AB2 + AD2   (BC+CD)2                                                                  
        AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
                  4CC’2 (BC+AC)2 – AB2                                                                    
Tương tự:  4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
                  4BB’2  (AB+BC)2 – AC2                                                         
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2                                                                   
                                                                       
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB=BC 
Tức tam giác ABCđều
Câu6

 có                          1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b)
                 Tương tự         1+b2  =(a+b)(b+c)
                                        1+c2=(b+c)(a+c)       đpcm 
 
 

 
0,5đ
0,5đ
                                            
 
Đề 25 
 
Bài 1: (5 điểm)
Cho biểu thức:
a/ Thu gọn  A
b/ Tìm các giá trị của x để A
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên
Bài 2:
(3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện   a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Bài 3 (4 điểm):
             a) Giải phương trình:
           
  b)    Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức
      x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Bài 4 (6 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm  của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của Dk và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 5: (2 điểm)
          Tìm nghiệm nguyên của phương trình:       x6+3x2+1=y3
 
Đề 25
 
BÀI
                            NỘI DUNG
 
Bài 1
a)
 
 
 
 
 
b)
 
 
c)       
A=     ĐKXĐX{0;1;-1}
A=
A=
Tacó:1-A=>0 khi x-1
Kết hợp với điều kiện xác định ta có:A
A= 1+
Vì x nguyên nên x-1 nguyên để A là số nguyên  thì x-1là ước của 1
Hoặc x-1=1 suy ra x=2
Hoặc x-1=-1 suy ra x=0 (loai)
Vởy x=2 là giá trị cần tìm

 
0,5đ
 
 
0,5đ
 

 
0,5đ
 
 

 
 
0,5đ
 
 
Bài 2:
 
Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vì a2+b2+c2=1
Nếu abc >0  ta có:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1
A=(a+b+c+1)2+abc(1)
Nếu: abc
A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc
Biến đổi được :A=(1+a)(1+b)(1+c) +(-abc)
Vì ì a2+b2+c2=1nên -1  nên (1+a)(1+b)(1+c)
Và -abc nên A (2)
Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)
 
 
0,5đ
0,5đ
 
0,5đ
0;5đ
 
0,5đ
0,5đ
Bài 3:
a)
 
 
 
b)
Biến đổi phương trình về:
Đkxđ: y {3; }
3y+1=-2y+6
 y=1(thoả mãn) vậyphương trình có nghiệm duy nhất y=1
Từ giả thiết chỉ ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c
(x2-2x+5 )(x2+bx+c) mà b; c là các số nguyên nên b=-2; c=5
Khi đó P(1) =12-2.1+5 =4
0,75đ
 
0,25đ
 
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,75đ
0,5đ
 
 
 
Bài 4:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)
 
 
 
 
Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số 1/2
Từ đó chứng minh:CK=ED (1)
EB=BC (2)  
=1350 (3)
từ: (1);(2);(3)suy ra:                               

 
 
Chứng minh tứ giác DEKM là hinhchữ       
nhật
Suy ra tam giác CKM vuông cân tại M
H là trung điểm củaCM
AI//DM (cùng vuông góc với DE) HI//DM (T/c đường trung bình) nên A; ;I;H thẳng hàng (1)
Các tam giác CIH; CHK vuông cân tại Cvà H nên    KH= CI =DI
Mà DI//KH nên tứ giác DIKH là hình bình hành
Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật
Do đó EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK
vậy: GIH (2)
Tử (1); (2) ta có  A;I;G;H thẳng hàng
0,5đ
 
 
0,5đ
 
 
 

 
0,5đ
 
 
 
0,5đ
 
0,5đ
 
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0.5đ
0,25đ
0,5đ
Bài 5:
Với x≠ 0 ta có 3x4>0; 3x2>0  ta có
(x2)3 33 nên phương trình vô nghiệm
Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1
Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1)
 
0,5đ
1,0đ
0,25đ
0, 25đ
 
 
ĐỀ THI SỐ 26
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;                           b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :

a)     Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b)    Tìm giá trị của x để A > 0?
c)     Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0  điểm)
a)     Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b)                 Cho và . Chứng minh rằng : .
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a)     Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 
b)    Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c)     Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
 
 
Nội dung đáp án
Điểm
Bài 1
 
 
a
 
2,0
 
3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 =
1,0
= 3x(x -2) – (x - 2)
0,5
= (x - 2)(3x - 1).
0,5
b
 
2,0
 
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
1,0
= ax(x - a) – (x - a) =
0,5
= (x - a)(ax - 1).
0,5
Bài 2:
 
5,0
a
 
3,0
 
ĐKXĐ :

1,0

1,0

0,5

0,25
Vậy với thì  .
0,25
b
 
1,0
 
Với
0,25

0,25

0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0.
0,25
c
 
1,0
 

0,5

0,25
Với x = 11 thì A =
0,25
Bài 3
 
5,0
a
 
2,5
 
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
 
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
1,0
9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
0,5
Do :
0,5
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1
0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
0,25
b
 
2,5
 
Từ :    
0,5
ayz + bxz + cxy = 0
0,25
                Ta có :          
0,5

0,5

0,5

0,25
Bài 4
 
6,0
 

0,25
a
 
2,0
 
Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF
0,5
Chứng minh :
0,5
=> BE = DF
0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
0,25
b
 
2,0
 
Ta có:
0,5
Chứng minh :
1,0

0,5
b,
 
1,75
 
Chứng minh :
0,25
 

0,25
 
Chứng minh :
0,25
 

0,25
 
Mà : CD = AB
0,5
 
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC  =  (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).
0,25

 
ĐỀ SỐ 27
Câu1.
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

       
b. Giải phương trình:  
c. Cho  . Chứng minh rằng:
 
Câu2. Cho biểu thức:     
  a. Rút gọn biểu thức A.
    b. Tính giá trị của A , Biết x =.
      c. Tìm giá trị của x để A
        d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
 
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh:
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
 
Câu 4. 
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
b. Cho a, b d­¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(6 điểm)
a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
       = (x4 + 4x2 + 4) -  (2x)2
        = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)  
 
    ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
     = (x2 + 7x  + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
     = [(x2 + 7x  + 11)2 - 1] - 24
     = (x2 + 7x  + 11)2 -  52
     = (x2 + 7x  + 6)( x2 + 7x  + 16)
     = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x  + 16)
(2 điểm)
 
b.        (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0      
     (*)  (x - 5)(x + 6) = 0 
                    
(2 điểm)
c. Nhân cả 2 vế của:
với a + b + c; rút gọn đpcm 
(2 điểm)
Câu 2
(6 điểm)
Biểu thức:
 
a. Rút gọn được kq:
(1.5 điểm)
b. hoặc         
hoặc
(1.5 điểm)
c.
(1.5 điểm)
d.
(1.5 điểm)
 
 
 
 
 
Câu 3
(6 điểm)
  
HV + GT + KL
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1 điểm)
 
a. Chứng minh:  
đpcm
(2 điểm)
b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
(2 điểm)
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
không đổi
lớn nhất (AEMF là hình vuông)
là trung điểm của BD.
(1 điểm)
Câu 4:
(2 điểm)
 
a. Từ: a + b + c = 1         
 
Dấu bằng xảy ra a = b = c =
 
(1 điểm)
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab =  a2002 + b2002
     (a+ b) – ab = 1
     (a – 1).(b – 1) = 0
     a = 1 hoÆc b = 1
Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i)
Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i)
VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
(1 điểm)
       
                §Ò thi SỐ 28
C©u 1 : (2 ®iÓm)           Cho      P=
a)   Rót gän P
b)   T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn
C©u 2 : (2 ®iÓm)
a)   Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph­¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.
b)   T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :
        P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)  cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .
C©u 3 : (2 ®iÓm)
a)  Gi¶i ph­¬ng tr×nh :  
b)  Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :
                                     A = 
C©u 4 : (3 ®iÓm)
  Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng  600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E . Chøng minh :
a) BD.CE=
b) DM,EM lÇn l­ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.
C©u 5 : (1 ®iÓm)
T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .             
®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái
C©u 1 : (2 ®)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
                             =(a-1)(a+1)(a-4)                                                               0,5
    a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )
                              =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)                            0,5
    Nªu §KX§ : a                                                                 0,25   
    Rót gän P=                                                                                       0,25
b) (0,5®) P= ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ ­íc cña 3,
     mµ ¦(3)=                                                                                 0,25
    Tõ ®ã t×m ®­îc a                                                                        0,25
C©u 2 : (2®)
a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .   0,25
      Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=
                        =(a+b)   0,5 
      V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;
      Do vËy (a+b) chia hÕt cho 9   0,25
b) (1®)  P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36         0,5
     Ta thÊy (x2+5x)2 0  nªn P=(x2+5x)2-36 -36       0,25
     Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
     Tõ ®ã ta t×m ®­îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36   0,25
C©u 3 : (2®)
a) (1®)  x2+9x+20   =(x+4)(x+5) ;
             x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
           x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;   0,25
           §KX§ :    0,25
      Ph­¬ng tr×nh trë thµnh : 
                             
                            
           0,25
 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
 (x+13)(x-2)=0
      Tõ ®ã t×m ®­îc x=-13; x=2;   0,25
b) (1®)   §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
   Tõ ®ã suy ra a= ;    0,5
   Thay vµo ta ®­îc A=   0,25
   Tõ ®ã suy ra  A hay A    0,25
C©u 4 : (3 ®)
a) (1®) 
     Trong tam gi¸c BDM ta cã :
      V×  =600 nªn ta cã       :
      Suy ra                                                          
      Chøng minh ∾  (1)                 0,5
     Suy ra , tõ ®ã BD.CE=BM.CM
    V×   BM=CM= , nªn ta cã   BD.CE=         0,5
b) (1®) Tõ (1) suy ra   mµ BM=CM nªn ta cã
                                 
    Chøng minh   ∾        0,5
    Tõ ®ã suy ra  , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE
    Chøng minh t­¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED        0,5
c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC
     Chøng minh DH = DI, EI = EK       0,5
     TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn.       0,5
C©u 5 : (1®)
   Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z
    (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng )
   Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ  x2 + y2 = z2 (2)       0,25
   Tõ (2) suy ra   z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :
                           z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
 z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
 z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra  z+2 = x+y-2                       0,25
 z=x+y-4  ; thay vµo (1)  ta ®­îc :
 xy=2(x+y+x+y-4)
 xy-4x-4y=-8
 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4        0,25
  Tõ ®ã ta t×m ®­îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :
                   (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
                   (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)         0,25
 
ÑEÀ THI SOÁ 29
Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû
 
Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:

phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân
Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = chia heát cho ña
thöùc
Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy.
Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng
Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng
 
                          Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm
Caâu
Ñaùp aùn
Bieåu ñieåm
1
2 ñ

 
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
2
2 ñ
Giaû söû:
            
Khöû a ta coù :
mn = 10( m + n – 10) + 1                                
vì m,n nguyeân ta coù:
suy ra a = 12 hoaëc a =8
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
 
 
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
3
1 ñ
Ta coù:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
Ñeå thì
 
0,5 ñ
0,5 ñ
4
3 ñ

Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng
Hx laø phaân giaùc cuûa goùc ; Hy phaân giaùc  cuûa goùc maø vaø laø hai goùc keà buø neân Hxvaø Hy vuoâng goùc
Hay = 900 maët khaùc = 900
Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1)
Do
Hay HA laø phaân giaùc (2)
Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng
 
 
 
0,25 ñ
 
 
 
 
 
 
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,5 ñ
 
0,5 ñ
 
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
5
2 ñ

 
 
0,5 ñ
 
0,5 ñ
 
0,5 ñ
 
0,5 ñ
 
 
 
 
ĐỀ THI SỐ 30
Bài 1: (4 điểm)
 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)     (x + y + z) 3 –  x3 – y3 – z3.
b)    x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
 Giải phương trình:
  .
Bài 3: (3 điểm)
 Tìm x biết:
  .
Bài 4: (3 điểm)
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 5: (4 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
a)     Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
b)    Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
 Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: .
a)     Chứng minh rằng: .
b)     Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
 
Một lời giải:
 
Bài 1:
 a)  (x + y + z) 3 –  x3 – y3 – z3 =
  =
  = = 3
  = 3.
 b)  x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =
  = = .
Bài 2: 
 
  
  
  
Bài 3:
  .
  ĐKXĐ: .
  Đặt a = x – 2010  (a 0), ta có hệ thức:
  
  
     (thoả ĐK)
  Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK)
  Vậy x = và x = là giá trị cần tìm.
Bài 4:
  
  =
  Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. 
Bài 5:
 a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì )
  Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân
 giác của .
 b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
  Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
  3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất
   D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 6:
 a) Đặt .
  Ta có (*)
 Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
 (1)
 Ta có (2)
  (1) & (2) (**)
  (*) & (**) .
 b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
  ,
            
  
  (3)
 Ta lại có CD + BD = 8 (4)
 (3) & (4) BD = 2,5
 
ĐỀ SỐ 31
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a)  x2 – 4x + 4 = 25                          
b)
c)  4x – 12.2x  + 32 = 0        
 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và .
Tính giá trị của biểu thức: 
 
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm  1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng  trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
 
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.     
a) Tính tổng
b) Gọi Ai là phân giác của tam giác ABC; im, in thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất?
 
ĐÁP ÁN
Bài 1(3 điểm):
      a) Tính đúng x = 7; x = -3                                                               ( 1 điểm )
  b) Tính đúng  x = 2007                                                                 ( 1 điểm )
       c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0                   ( 0,25điểm )
           2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0                  ( 0,25điểm )
           (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0               ( 0,25điểm )
           2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2                                   ( 0,25điểm )     
 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)             ( 0,25điểm )
 
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)            ( 0,25điểm )
 
Do đó:        ( 0,25điểm )
 
Tính đúng a = 1                                                                        ( 0,5 điểm )
 
Bài 3(1,5 điểm):                                                     
    Gọi là số phải tìm a, b, c, d N,      (0,25điểm)
         
      Ta có:                                                                                   
                  
                  
                                                                                             (0,25điểm)
       Do đó: m2–k2 =  1353
          (m+k)(m–k) =  123.11= 41. 33    ( k+m
                  m+k = 123             m+k = 41
                   m–k = 11               m–k =  33                                                      
                    m = 67                   m = 37 
                    k = 56                    k =   4                                                          (0,25điểm)                 
        Kết luận đúng  = 3136                                                                    (0,25điểm)                 
Bài 4 (4 điểm):
     Vẽ hình đúng                                                                                                (0,25điểm)
     a) ;                                                                         (0,25điểm)
    Tương tự: ;                                                              (0,25điểm)
                                                    (0,25điểm)           
    b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, abi, aic:
                                                                         (0,5điểm )           
                                                           
       c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx                             (0,25điểm)
-Chứng minh được góc  BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’                      (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD                                                  (0,25điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
     AB2 + AD2   (BC+CD)2
        AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
                   4CC’2 (BC+AC)2 – AB2      (0,25điểm)
Tương tự:  4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
                  4BB’2  (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2                                                       
      (0,25điểm)
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC
AB = AC =BCABC đều
Kết luận đúng       (0,25điểm)                         
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó
 
ĐỀ SỐ 32
 
Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức  A =   với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x  .
c, Tìm giá trị của x để A
Bài 2 (3 điểm)
 Cho .
Chứng minh rằng .
Bài 3 (3 điểm)
 Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
       Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (2 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
Bài 5 (3 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
        Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.                       
 
Đáp án
Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì :
   A=  
0,5đ
      =
0,5đ
      =
0,5đ
      =
0,5đ
b, (1 điểm)
Tại x = = thì A =
0,25đ
=
0,25đ
     
0,5đ
c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A (1)
0,25đ
Vì với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi
KL
0,5đ
0,25đ
 
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được
0,5đ
Biến đổi để có 
0,5đ
Biến đổi để có    (*)
0,5đ
Vì ;;; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ; và ;
0,5đ
0,5đ
Từ đó suy ra  a = b = c
0,5đ
 
Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là (x là số nguyên khác -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
(x khác -15)
0,5đ
Theo bài ra ta có phương trình =
0,5đ
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)

Từ đó tìm được phân số
0,5đ
Bài 4 (2 điểm)
Biến đổi để có A=
0,5đ
=
0,5đ
Vì và nên do đó
0,5đ
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
0,25đ
KL
0,25đ
Bài 5 (3 điểm)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
0,5đ
b,(2điểm)
Tính được AD = ; BD = 2AD =
AM =
0,5đ
Tính được NI = AM =
0,5đ
DC = BC = ,  MN =
0,5đ
Tính được AI =
0,5đ
 
 
Bài 6 (5 điểm)
 
 
 
 
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có   ,  
0,5đ
Lập luận để có
0,5đ
OM = ON
0,5đ
b, (1,5 điểm)
Xét  để có   (1), xét  để có   (2)
Từ (1) và (2) OM.()
0,5đ
Chứng minh tương tự ON.
0,5đ
từ đó có (OM + ON).
0,5đ
b, (2 điểm)
,
0,5đ
Chứng minh được
0,5đ

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5đ
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)
0,5đ
 
ĐỀ SỐ 33
 
§Ò thi häc sinh giái líp 8
 
C©u 1: (5®iÓm)               T×m sè tù nhiªn n ®Ó:
                 a,               A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.
                 b,   B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.
                  c,                D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph­¬ng.     (n2)
C©u 2: (5®iÓm)               Chøng minh r»ng :
                  a,    biÕt abc=1
 
                  b,      Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
                  c,        
C©u 3: (5®iÓm)            Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
                  a,   
                  b,            2x(8x-1)2(4x-1)=9
                  c,     x2-y2+2x-4y-10=0   víi x,ynguyªn d­¬ng.
C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo.Qua 0 kÎ ®­êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F.
a,   Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.
b.    Chøng minh:
c,   Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®­êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.
 
 
 
C©u
                                                   Néi dung bµi gi¶i
§iÓm
 
 
 
 
 
 
C©u 1
(5®iÓm)
a,                     (1®iÓm)   A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
                §Ó A lµ sè nguyªn tè th×  n-1=1n=2 khi ®ã A=5
0,5
0,5
 
0,5
 
0,5
0,5
0,5
 
0,5
0,5
 
0,5
 
0,5
b,  (2®iÓm)                         B=n2+3n-
                          B cã gi¸ trÞ nguyªn 2 n2+2
                          n2+2 lµ ­íc tù nhiªn cña 2
                         n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n
HoÆc n2+2=2            n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.
c, (2®iÓm)                D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
         =n(n-1)(n+1) +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
                Mµ  n(n-1)(n+1)(n-2)(n+25  (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp)
                           Vµ 5 n(n-1)(n+15   VËy D chia 5 d­ 2
      Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph­¬ng
VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph­¬ng
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C©u 2
(5®iÓm)
a,  (1®iÓm)                       
                    =
 
 
0,5
 
0,5
 
 
0.5
 
0.5
0.5
 
0.5
 
 
 
0,5
0,5
0,5
 
 
0,5
 
b, (2®iÓm)  a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0   a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)
a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V×  a+b+c=0
a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) .          V×  a+b+c=0
                                   2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)   (2)
Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
 
c, (2®iÓm)          ¸p dông bÊt ®¼ng thøc:  x2+y2 2xy DÊu b»ng khi x=y
   ;       ;    
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C©u 3
(5®iÓm)
a,  (2®iÓm)                          
                               
                                   
(x-300) x-300=0 x=300 VËy  S =

 
1,0
 
0,5
 
0,5
 
 
0,5
0,5
 
0,5
 
0,5
 
 
 
 
0,5
 
0,5
 
 
b, (2®iÓm)                                   2x(8x-1)2(4x-1)=9
(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9  (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 
  §Æt:    64x2-16x+0,5 =k   Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72  k2=72,25 k=± 8,5
Víi k=8,5 tacã ph­¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0  (2x-1)(4x+1)=0; x=
Víi k=- 8,5 Ta cã ph­¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm.
VËy S =
c, (1®iÓm)     x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
           (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7  V× x,y nguyªn d­¬ng
           Nªn x+y+3>x-y-1>0    x+y+3=7 vµ x-y-1=1 x=3 ;  y=1
                    Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm d­¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C©u 4
(5®iÓm)
a,(1®iÓm)  V× AB//CD S DAB=S CBA
(cïng ®¸y vµ cïng ®­êng cao)
S DAB –SAOB = S CBA- SAOB 
         Hay SAOD = SBOC
 
 
 
 
 
b,  (2®iÓm) V× EO//DC MÆt kh¸c AB//DC


c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (NDF) +KÎ ®­êng th¼ng KN lµ ®­êng th¼ng ph¶i dùng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN.
0,5
 
0,5
 
 
 
 
0,5
 
1,0
 
0,5
 
1,0
 
 
1,0
 
 
ĐỀ SỐ 34
C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc  A =
 a) Rót gän biÓu thøc A
 b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña  A lu«n d­¬ng  víi mäi x ≠ - 1
C©u 2(4.0 ®iÓm): Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
 a)
 b)
C©u 3(3.0 ®iÓm) :   Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1.
            Chøng minh r»ng: = 0
C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng:  Víi mäi x  Q th× gi¸ trÞ cña ®a thøc :
            M =     lµ b×nh ph­¬ng cña mét sè h÷u tØ.
C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®­êng cao AH (HBC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §­êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.
Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo .
Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM
Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: .
 
----------------------------------------------HÕt-------------------------------------------------
 
 
 
 
    
H­íng dÉn chÊm to¸n 8
C©u
Néi dung
§iÓm
1
 
 
a
- Rót gän:  A = = 
                       = 
1®iÓm
 
 
1®iÓm
b
Víi mäi x ≠ - 1  th×  A = =
V× 
 
1®iÓm
 
 
1®iÓm
2
 
 
a
* Víi x 1 (*)  x - 1  0  ta cã ph­¬ng tr×nh
             x2 -3x + 2 + x-1 =  0 ( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn *)
* Víi x x - 1   0  ta cã ph­¬ng tr×nh
             x2 -3x + 2 + 1 - x  =  0
 + x - 1 = 0 ( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **)
+ x - 3 = 0 ( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn **)
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : x = 1
 
1®iÓm
 
 
 
 
 
1®iÓm
b
* §iÒu kiÖn x ≠ 0 (1)
* pt
      
        hoÆc x = -8
So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (1) , suy ra nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x = - 8 
0.5®iÓm
 
 
1®iÓm
 
 
0.5®iÓm
3
Ta cã v× xy  0  x, y  0   x, y  0   y-1 0 vµ x-1   0
 
    
 
1®iÓm
 
 
 
 
1®iÓm
 
 
 
1®iÓm
 
4
Ta cã: M =
§Æt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2
      M   = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm)
1®iÓm
1®iÓm
1®iÓm
5
 
 
a
+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:
  Gãc C chung.
  (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB  ®ång d¹ng)
 
  Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).
Suy ra: (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn do ®ã  tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i  A. Suy ra:
 
 
 
1.5®iÓm
 
1®iÓm
 
b
Ta cã: (do )
mµ (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H)
nªn (do )
Do ®ã (c.g.c), suy ra:
 
1.5®iÓm
 
1®iÓm
 
c
Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
Suy ra: , mµ
Do ®ã:
1®iÓm
 
ĐỀ SỐ 35
 
Bài 1: Cho biểu thức: M = :
       a. Rút gọn M
       b.T×m  x  nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt.
Bài 2:  a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
            A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
           b. Cho các số x,y,z thỏa mãn đồng thời:
                  x + y + z = 1:   x+ y+ z= 1  và x+ y+ z= 1.
          Tính tổng: S = x+ y+ z
Bµi 3:
      a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + + =
 
b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn:
                                      x( x + x + 1) = 4y( y + 1). 
Bài 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®­êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H.
TÝnh tæng:
Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC
Chøng minh: H c¸ch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF.
Trªn c¸c ®o¹n HB,HC lÊy c¸c ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN.
  Chøng minh ®­êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
 
                H­íng dÉn chÊm m«n to¸n 8
 
Bµi
Néi dung
§iÓm
1
a
=
                                    =
                                    =
=
                       =
M = =
 
0,5
 
 
 
0,5
 
 
0,5
 
 
  0,5
 
 
b
+ NÕu x 2 th× M 0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN.
+ VËy x 2, khi ®ã M cã c¶ Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d­¬ng, nªn M muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) ph¶i lµ GTNN,
Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d­¬ng 2 – x = 1 x = 1.
VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1.
0,5
 
0,5
  0,5
  0,5
2
a
A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2  = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc)
   =
    = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)
0,5
0,5
0,5
b
Ta có: (b+c –a ) >0   ( BĐT trong tam giác)                  
T­¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0    
Vậy A
0,5
0,5
0,5
3
a
A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010  = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010
Do (x-y)2 0  ; (y - 2)2  0
Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 2010
Dấu ''='' x¶y ra x – y = 0 và y – 2 = 0 x = y = 2.
Vậy GTNN của A là 2010 t¹i x = y =2
0,5
 
 
0,5
0,5
b
 Ta có: (x + y + z)= x+ y+ z + 3(x + y)(y + z)(z + x) 
kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0
Một trong các thừa số của tích (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0
Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k : x + y + z = 1 z = 1, l¹i kết hợp với đ/k : x+ y+ z= 1  x = y = 0.
Vậy trong 3 số x,y,z  phải có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1,
S = x+ y+ z = 1
Nên tổng S luôn có giá trị bằng 1.
 
 
 
0,5
 
 
0,5
 
0,5
 
4
 
a
 
Ph­¬ng tr×nh ®­îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§: )
=
 () + () + () =
= (x + 4)(x +7) = 54
(x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa m·n §KX§)
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: S =
 
 
 
0,5
 
0,5
 
0,5
 
0,5
b
+ Ph­¬ng tr×nh ®­îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x+ 1) = (2y + 1)
+ Ta chøng minh (x + 1) vµ (x+ 1) nguyªn tè cïng nhau !
V× nÕu d = UCLN (x+1, x+ 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ)
     2 mµ d lÎ nªn d = 1.
+ Nªn muèn (x + 1)(x+ 1) lµ sè chÝnh ph­¬ng
    Th× (x+1) vµ (x+ 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng
   §Æt: (k + x)(k – x) = 1 hoÆc
+  Víi x = 0 th× (2y + 1)= 1 y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa m·n pt)
   VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: (x;y) =
0,25
 
 
 
 
0,25
 
 
 
 
0,25
 
 
0,25
5
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,5
a
Tr­íc hÕt chøng minh: =
T­¬ng tù cã: ;
Nªn =
         = 1
0,5
 
0,5
 
0,5
 
0,5
b
Tr­íc hªt chøng minh BDH ~BEC
         BH.BE = BD.BC
  Vµ CDH ~CFB CH.CF = CD.CB.
         BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (®pcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
c
  Tr­íc hÕt chøng minh: AEF  ~ ABC
                                  Vµ CDE ~CAB
  mµ EBAC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña gãc DEF.
  T­¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc EDF vµ DFE.
   VËy H lµ giao ®iÓm c¸c ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c DEF
          nªn H c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF   (®pcm)
 
0,5
 
0,5
 
  0,5
 
d
 Gäi O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng trung trùc cña hai ®o¹n MN vµ HC, ta cã OMH = ONC (c.c.c) .(1)
 MÆt kh¸c ta còng cã  OCH c©n t¹i O nªn:.(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: HO lµ ph©n gi¸c cña gãc BHC
VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ ph©n gi¸c cña gãc BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh.
  Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh lµ O.
 
0,25
 
0,25
 
O,25
0,25
 
 
ĐỀ SỐ 36
 
Bài 1: (3,5đ) a, Với giá trị nào của n thì với .
  b, CMR với thì: .
  c, Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản.
Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a,
 b, x5 + x + 1
 c,
Bài 3: (3đ) Giải phương trình:
 a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0
 b,
 c,
Bài 4: (3,5đ) a/ Tìm đa thức dư trong phép chia
1 + x + x19 + x20 + x2010 cho 1 – x2
  b/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
  Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả. Cuối cùng trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả?
Bài 5: (4,5đ)
Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng:
  a, AB.AE + AD.AF = AC2
  b, FCE  ABC.
Bài 6: (2,5đ) Dựng hình thoi biết  = 300 và tổng hai đường chéo bằng 5cm.
(Chỉ cần phân tích, nêu cách dựng và dựng hình).
 
**************-The end-**************
Bài
Phần
Nội dung
Điểm
1
a
Ta có: (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30
= n(n – 1) + 30 + 12n 6n

n = 1; 3; 6; 10; 15; 30
1
b
CMR: với thì:
Ta có 30 = 2.3.5
 
  n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích
  ta chứng minh
   Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k 1 hoặc n = 5k 2
1, Nếu n = 5k thì
2, Nếu n = 5k 1 thì
3, Nếu n = 5k 2 thì
1,5
c
tối giản
n – 2 3 và n – 2 5
1
2
a

1
b
x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 x + 1
                 = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1)
                 = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
1
c

1
3
a
x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0







Vậy
1
 
b



ĐKXĐ:
Phương trình trên có thể viết:



(TM ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = -10
 
 
 
 
 
 
ĐỀ SỐ 37
 
Bµi 1 (4 ®iÓm)
Cho biÓu thøc  A =   víi x kh¸c -1 vµ 1.
a, Rót gän biÓu thøc A.
b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x  .
c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A
 
 
Bµi 2 (3 ®iÓm)
 Cho .
Chøng minh r»ng .
 
Bµi 3 (3 ®iÓm)
 Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh.
       Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®­îc ph©n sè nghÞch ®¶o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã.
 
Bµi 4 (2 ®iÓm) 
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = .
 
Bµi 5 (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 600, ph©n gi¸c BD. Gäi M,N,I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD.
a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh.
b, Cho AB = 4cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c AMNI.
 
Bµi 6 (5 ®iÓm)
        H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §­êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N.
a, Chøng minh r»ng OM = ON.
b, Chøng minh r»ng .
c, BiÕt SAOB= 20082 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 20092 (®¬n vÞ diÖn tÝch). TÝnh SABCD.
 
h­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái
Bµi 1( 4 ®iÓm )
a, ( 2 ®iÓm )
Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× :
   A=  
0,5®
      =
0,5®
      =
0,5®
      =
KL
0,5®
b, (1 ®iÓm)
T¹i x = = th× A =
0,25®
=
0,25®
     
KL
0,5®
c, (1®iÓm)
Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A (1)
0,25®
V× víi mäi x nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi
KL
0,5®
0,25®
Bµi 2 (3 ®iÓm)
BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®­îc
0,5®
BiÕn ®æi ®Ó cã 
0,5®
BiÕn ®æi ®Ó cã    (*)
0,5®
V× ;;; víi mäi a, b, c
nªn (*) x¶y ra khi vµ chØ khi ; vµ ;
0,5®
0,5®
Tõ ®ã suy ra  a = b = c
0,5®
Bµi 3 (3 ®iÓm)
Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x+11. Ph©n sè cÇn t×m lµ (x lµ sè nguyªn kh¸c -11)
0,5®
Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®­îc ph©n sè
(x kh¸c -15)
0,5®
Theo bµi ra ta cã ph­¬ng tr×nh =
0,5®
Gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ t×m ®­îc x= -5 (tho¶ m·n)

Tõ ®ã t×m ®­îc ph©n sè
KL
0,5®
Bµi 4 (2 ®iÓm)
BiÕn ®æi ®Ó cã A=
0,5®
=
0,5®
V× vµ nªn do ®ã
0,5®
DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi
0,25®
KL
0,25®
Bµi 5 (3 ®iÓm)
 
 
 
 
 
 
 
 
a,(1 ®iÓm)
Chøng minh ®­îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang
0,5®
Chøng minh ®­îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang c©n
0,5®
b,(2®iÓm)
TÝnh ®­îc AD = ; BD = 2AD =
AM =
0,5®
TÝnh ®­îc NI = AM =
0,5®
DC = BC = ,  MN =
0,5®
TÝnh ®­îc AI =
0,5®
Bµi 6 (5 ®iÓm)
 
 
 
 
 
 
a, (1,5 ®iÓm)
LËp luËn ®Ó cã   ,  
0,5®
LËp luËn ®Ó cã
0,5®
OM = ON
0,5®
b, (1,5 ®iÓm)
XÐt  ®Ó cã   (1), xÐt  ®Ó cã   (2)
Tõ (1) vµ (2) OM.()
0,5®
Chøng minh t­¬ng tù ON.
0,5®
tõ ®ã cã (OM + ON).
0,5®
b, (2 ®iÓm)
,
0,5®
Chøng minh ®­îc
0,5®

Thay sè ®Ó cã 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5®
Do ®ã SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (®¬n vÞ DT)
0,5®
 
ĐỀ SỐ 38
 
Bµi 1. ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng:
           a) Víi mäi a, nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× chia hÕt cho 9
           b) Với mọi n thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.
Bµi 2. ( 2,0 ®iÓm)
           a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
           b) Tìm các số x, y, z  biết :
                                x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
                                 và 
Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng: 
Nếu a, b, c là các số dương  thoả mãn:
th× ta có bất đẳng thức
Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm)  Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2
Bµi 5. ( 3,0 ®iÓm)  Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M  lµ trung ®iÓm  cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:
a)     Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.
b)  
ĐÁP ÁN
Bµi 1. a) (1,0 ®iÓm)
Vì a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn a cã d¹ng 3k+1 hoÆc 3k+2 (k)
NÕu a = 3k+1 th× a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 d­ 1.
NÕu a = 3k+2 th× a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 d­ 1.
VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a2 chia 3 d­ 1.(1)
T­¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b2 chia 3 d­ 1.(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã a2-b23 (3)                                                        (0,5 ®)
Ta cã a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+(b2)2+3a2b2]
                  = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2]
Theo c/m trªn a2-b23 => (a2-b2)2 3 mµ 3a2b2 3 víi mäi a
nªn (a2-b2)2+ 3a2b2 3 (4)   
Tõ (3) vµ (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2]  3.3 hay a6-b6 9    (0,5 ®)
        b) (1,0 ®iÓm)
Ta cần chứng minh:  n5 – n 10
* Chứng minh : n5 - n 2
    n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2              (0,25 ®)
 (vì với nta có n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp)   
* Chứng minh: n5 – n 5
n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
                  = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )  5
( Vì với nta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 )  5 với mọi n) (0,5 ®)
 Vì ( 2 ; 5 ) = 1  nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10
Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau.                               (0,25 ®)
Bµi 2. a) 1,0 ®iÓm
x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5)
x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6)
x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7)
§KX§ :

                    (0,5 ®)

=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7)
=> (x+13)(x-2) = 0                                                                          (0,25 ®)
 
=> x = -13 hoÆc x = 2 ( Tháa m·n §KX§)
VËy PT ®· cho cã hai nghiÖm lµ x1=-13; x2=2                               (0,25 ®)
           b) 1,0 ®iÓm
        Ta cã     x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
                2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy  - 2yz - 2zx = 0
           (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0                                                   (0,25 ®)                                                         
                       x2009 = y2009 = z2009 (1)  (0,25 ®)  
Theo bµi ra ta cã  (2)  
Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009   z = 3                (0,25 ®)
Vậy x = y = z = 3                                                             (0,25 ®)
Bµi 3.  Chứng minh rằng: 
Nếu a, b, c là các số dương  thoả mãn:
th× ta có bất đẳng thức
Ta cã 
                                       (*)(v× a,b,c > 0 nªn abc>0)
Mµnªn céng theo vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc nµy ta ®­îc (1)
L¹i cã (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã (**)
Tõ (*) vµ(**) ta cã
                              (V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0)
Bµi 4. ( 1,0 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2
§Æt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn  (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = 1
  ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho hai sè 3x vµ y ta cã:
(3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1)  =>  x2 + y2 Hay 4a2 + 25b2 .
DÊu b»ng xÈy ra    3y = x    - 15 b = 2a 6a = - 45b (2)
Tõ (1) vµ (2) => 
     
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M  lµ trung ®iÓm  cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:
a)    Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.
b)    
                                                            a)ANC vu«ng t¹i N (v× MN =AM = AC )
                        CNM + MNA = 1v
                        BAN + NAC  = 1v
                                                  Mµ MNA = NAC => CNM = BAN
                                                           MÆt kh¸c CNM = BNE (®®) =>BNE = BAN
                       => BNE   BAN
          b)   Trªn tia ®èi tia MN lÊy ®iÓm F sao cho FM = MN.
  Tø gi¸c ANCF lµ h×nh ch÷ nhËt (v× cã 2 ®­êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng)
=> CE // AF  => AFB = ENB (®ång vÞ) =>BAN BFA =>
  (§pcm)
C¸ch  kh¸c: b) Ta cã:ACN   EAN =>
BNE     BAN =>. Tõ (1) vµ (2) => BN = AE
   Tõ  
Tõ (3) vµ (4) => (§pcm)
§Ề  SỐ 39
Bµi 1: (2 ®iÓm)
Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:


Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i ph­ư¬ng tr×nh:


Bµi 3: (2®iÓm)  1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè dư¬ng ,ta cã:   (a+b+c)(
T×m sè d­ trong phÐp chia cña biÓu thøc cho ®a thøc .
Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®­êng cao AH (HBC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §­êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.
Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo .
Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM
Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: .
 
Bµi 1 C©u
Néi dung §iÓm
1.  
 
2,0
1.1
(0,75 ®iÓm)  
 
   
                
0.5
 
0,5
  1.2
(1,25 ®iÓm)  
   

0,25
   

0,25
   

0,25
2.  
 
2,0
  2.1
(1)
+ NÕu : (1) (tháa m·n ®iÒu kiÖn ).
+ NÕu : (1)
                            (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1, nªn bÞ lo¹i)
VËy: Ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ .
0,5
 
 
0,5
 
  2.2
(2)
§iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm:
(2)

vµ .
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm
0,25
 
 
0,5
 
0,25
 
3  
 
2.0
  3.1
Ta cã:
A=
   =
Mµ: (B§T C«-Si)
Do ®ã A VËy A
 
0,5
 
 
 
 
0,5
 
  3.2
Ta cã:

§Æt ,  biÓu thøc P(x) ®­îc viÕt l¹i:

Do ®ã khi chia cho t ta cã sè d­ lµ 1993
0,5
 
 
 
0,5
4  
 
4,0
  4.1
+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:
  Gãc C chung.
  (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB  ®ång d¹ng)
 
  Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).
Suy ra: (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn do ®ã  tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i  A. Suy ra:
 
1,0
 
 
 
 
 
0,5
 
  4.2
Ta cã: (do )
mµ (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)
nªn (do )
Do ®ã (c.g.c), suy ra:
0,5
 
 
0,5
 
 
0,5
  4.3
Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
Suy ra: , mµ
 
0,5
 
   
Do ®ã:
0,5
 
 
®Ò SỐ 40
®Ò bµi:
Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:
    P =
a) Rót gän P
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
d) T×m x ®Ó P > 0.
Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
a)
b)
c)
Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh:
Mét ng­êi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ng­êi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ng­êi ®ã.
Bµi 4 (7 ®iÓm):
  Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®­êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P.
a)     Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×?
b)    Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.
c)     Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.
d)    Gi¶ sö CP BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010  chia hÕt cho 2010
           b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:
                           
 
иp ¸n vµ biÓu ®iÓm
Bµi 1: Ph©n tÝch:
             4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
             13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
             21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
             4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3)                                                   0,5®
  §iÒu kiÖn:                              0,5®
a)     Rót gän P =                                                                        2®
b)    hoÆc                                     
+) … P =
+) …P =                                                                       1®
c)     P ==
Ta cã:
VËy P khi 
x – 5 ¦(2)
    Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2}
     x – 5 = -2  x = 3 (TM§K)
     x – 5 = -1  x = 4 (KTM§K)
     x – 5 = 1   x = 6 (TM§K)
     x – 5 = 2   x = 7 (TM§K)
KL:  x {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.                                       1®
d)      P ==                                                              0,25®
Ta cã: 1 > 0
§Ó P > 0 th×  > 0  x – 5 > 0  x > 5                       0,5®
Víi x > 5 th× P > 0.                                                                           0,25
Bµi 2:
a)
    §K:
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)

3x.(x + 4) = 0
3x = 0 hoÆc  x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0  (TM§K)+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K)
   S = { 0}                                                                                                          1®b)

(123 – x)= 0
  Do > 0 
  Nªn 123 – x = 0 => x = 123
  S = {123}                                                                                                            1®
c)  
  Ta cã: => > 0
nªn 
  PT ®­ưîc viÕt dư­íi d¹ng:
         
= 5 – 3
= 2
+) x - 2 = 2   =>  x = 4
+) x - 2 = -2  => x = 0
  S = {0;4}                                                                                                       1®
Bµi 3(2 ®)
  Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0)                                          0,25®
  VËn tèc dù ®Þnh cña ng­êi ® xe g¾n m¸y lµ:
                (3h20’ = )                                          0,25®
VËn tèc cña ng­êi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:
                                                                                              0,25®
Theo ®Ò bµi ta cã ph­¬ng tr×nh:
 
                                                                                       0,5®                                                                              
x =150                                                                                                0,5®
VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km)                                                 0,25®
VËn tèc dù ®Þnh lµ: 
Bµi 4(7®)
  VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng                                                                        0,5®
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)     Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ư­êng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
     PO lµ ®ư­êng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.
     AM//PO
tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang.                                                                    1®
b)    Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ)
Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB
Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ư­êng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA.
Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã  EF//AC  (1)            1®
MÆt kh¸c IP lµ ®ư­êng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC   (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.                                          1®
c)     nªn kh«ng ®æi.                              (1®)
d)    NÕu th×
NÕu th×           1®
do ®ã CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2    => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm)                                                                                    0,5d
BD = 5 (cm)
C/m  BC2= BP.BD = 16                                                                              0,5®
do ®ã BC = 4 (cm)
          CD = 3 (cm)                                                                                       0,5®
 
Bµi 5:
a) Ta cã:   20092008 + 20112010  = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)    V×   20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …)                                = 2010.(…)  chia hÕt cho 2010    (1)
           20112010 - 1  = ( 2011 – 1)(20112009 + …)                               = 2010.( …)  chia hÕt cho 2010   (2)                           1®
  Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.
b)     (1)
        
V×   => =>
=> B§T (2) ®óng  => B§T (1) ®óng  (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y)            1®
 
 
 
 
ĐỀ SỐ 41
 
Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4  thành nhân tử
                  b) Tìm giá trị nguyên của x để A B  biết
                     A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
    c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 
                    
Bài 2: (3đ)  Giải các phương trình sau:
     a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x)  = 12
     b)
Bài 3: (2đ)  Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
 a) Chứng minhEDF vuông cân
  b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
 a/ DE có độ dài nhỏ nhất
 b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
 
H­íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm
Bài 1: (3 điểm)
a) ( 0,75đ)               x3 - 5x2 + 8x - 4  = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4                              (0,25đ)
                                              = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)                       (0,25đ)
                                              = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2                                           (0,25đ) 
b) (0,75đ)   Xét                      (0,25đ)   
                       Với x Z thì A B khi Z 7 ( 2x – 3)               (0,25đ)  
                       Mà Ư(7) = x = 5; - 2; 2 ; 1 thì  A B             (0,25đ)
c) (1,5đ) Biến đổi  =                       
           =   ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)
           =                                 (0,25đ)
           =                                           (0,25đ) 
           =        =              (0,25đ)    
           =   =                                       (0,25đ)  
           =       Suy ra điều cần chứng minh                                      (0,25đ)
 
 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)
(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12  đặt y = x2 + x       
    y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0            (0,25đ)
(y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2              (0,25đ)
* x2 + x    = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x          (0,25đ)
*  x2 + x  =  2 x2 + x  - 2 = 0  x2 + 2x - x - 2 = 0                   (0,25đ)
x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1         (0,25đ)
Vậy nghiệm của phương trình x = - 2  ; x =1      
b) (1,75đ)            
          (0,25đ)
(0,5đ) Vì ; ;      
Do đó :    (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x  = -2009                   
Bài 3: (2 điểm) 
a) (1đ)  
Chứng minh EDF vuông cân
Ta có ADE =CDF (c.g.c)EDF  cân tại D                                     
 Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c)                    
Mà = 900 = 900                      
= 900. VậyEDF vuông cân                                                
  b) (1đ)   Chứng minh O, C, I thẳng
 Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD        
MàEDF vuông cân DI =EF      
 Tương tự  BI =EF DI = BI      
I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng               
 
 
 
Bài 4: (2 điểm) 
a) (1đ)  
DE có độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0
Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2              (0,25đ)
= 2(x –)2 +                (0,25đ)
 Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x =                                   (0,25đ)
BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC           (0,25đ)
b) (1đ)   
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Ta có: SADE =AD.AE =AD.BD =AD(AB – AD)=(AD2 – AB.AD)  (0,25đ)
= –(AD2 – 2.AD + ) + = –(AD – )2 +     (0,25đ)
 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi         (0,25đ)
  Do đó min SBDEC =AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC     (0,25đ)
ĐỀ SỐ 42
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a)     x2 – y2 – 5x + 5y
b)    2x2 – 5x – 7
Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng:
  
Bµi 3: Cho ph©n thøc:
a)     T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®­îc x¸c ®Þnh.
b)    T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1.
Bµi 4: a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh :
 b) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) 2 + 3
Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh:
  Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®­îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®­îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tr­íc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn v­ît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy.
 
Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®­êng cao AH vµ
  trung tuyÕn AM.
a)     Chøng minh  ∆ ABC ~ ∆ HBA
b)    TÝnh : BC; AH; BH; CH ?
c)     TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ?
 
BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n
§¸p ¸n
BiÓu ®iÓm
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y)
= (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm)
b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1)
= (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm)
 
Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm)
A =
 
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0
2x 0 vµ x + 1 0
x 0 vµ x -1  (1 ®iÓm)
b) Rót gän:
   (0,5 ®iÓm)
  (0,25 ®iÓm)
V× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn  (0,25 ®iÓm)
 
Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x0; x 2
- Gi¶i: x2 + 2x – x +2 = 2;
  x= 0 (lo¹i)  hoÆc x = - 1. VËy S =
b) x2 – 9 2 + 4x + 7
x2 – x2 – 4x - 4x x> - 4
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x > - 4
 
 
1 ®
 
 

Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy
§iÒu kiÖn: x nguyªn d­¬ng vµ x > 1
VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy)
- Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm)
- Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm)
Theo ®Ò bµi ta cã ph­¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13
57x – 57 – 50x = 13 7x = 70
x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)  VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ 10 ngµy.
Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (s¶n phÈm)
0,5 ®
 
0,5 ®
 
0,5 ®
 
0,5 ®
 
1 ®
Bµi 6: a) XÐt  ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã:
Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung
∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc)
b) ¸p dông pitago trong  ∆ vu«ng ABC
ta cã : BC = = = = 25 (cm)
v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn
AH = (cm)
BH = (cm)
HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)
c) HM = BM – BH =
SAHM = AH . HM = . 12. 3,5 = 21 (cm2)
-         VÏ ®óng h×nh:                                             A
 
 
 
 
                                                                B            H      M           C
1 ®
 
1 ®
 
1 ®
 
 
 
1 ®
 
 
 
 

 
 
 
 
1 ®
 
ĐỀ SỐ 43
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a)  x2 – 4x + 4 = 25                          
b)
c)  4x – 12.2x  + 32 = 0        
 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và .
Tính giá trị của biểu thức: 
 
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm  1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng  trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
 
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.      a) Tính tổng
b) Gọi Ai là phân giác của tam giác ABC; im, in thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: .
ĐÁP ÁN ĐỀ THI  CHỌN HỌC SINH GIỎI
 
Bài 1(3 điểm):
      a) Tính đúng x = 7; x = -3                                                                         ( 1 điểm )
  b) Tính đúng  x = 2007                                                                             ( 1 điểm )
       c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0                          ( 0,25điểm )
           2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0                          ( 0,25điểm )
           (2x – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0                       ( 0,25điểm )
           2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2                                           ( 0,25điểm )     
 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz      ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)                          ( 0,25điểm )
 
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)                          ( 0,25điểm )
 
Do đó:                       ( 0,25điểm )
 
Tính đúng a = 1                                                                                       ( 0,5 điểm )
 
Bài 3(1,5 điểm):                                                     
    Gọi là số phải tìm a, b, c, d N,                 (0,25điểm)
 
      Ta có:                                                                                   
                  
                  
                                                                                            (0,25điểm)
       Do đó: m2–k2 =  1353
          (m+k)(m–k) =  123.11= 41. 33    ( k+m
                  m+k = 123             m+k = 41
                   m–k = 11               m–k =  33                                                      
                    m = 67                   m = 37 
                    k = 56                   k =   4                                                            (0,25điểm)                 
        Kết luận đúng  = 3136                                                                   (0,25điểm)                 
 
 
Bài 4 (4 điểm):
 
     Vẽ hình đúng                                                                                                 (0,25điểm)
     a) ;                                                                         (0,25điểm)
    Tương tự: ;                                                              (0,25điểm)
                                                    (0,25điểm)           
    b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, abi, aic:
                                                                          (0,5điểm )           
                                                            
       c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx                             (0,25điểm)
-Chứng minh được góc  BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’                      (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD                                                  (0,25điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2                                                 
     AB2 + AD2   (BC+CD)2                                                                    (0,25điểm)
        AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
                  4CC’2 (BC+AC)2 – AB2                                                                    
Tương tự:  4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
                  4BB’2  (AB+BC)2 – AC2                                                          (0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2                                                                   
                                                                        (0,25điểm)
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
                             ABC đều)
 
§Ò SỐ 44 
                                           
C©u 1: (5®iÓm)               T×m sè tù nhiªn n ®Ó:
                 a,               A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.
                 b,   B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.
                  c,                D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph­¬ng.     (n2)
C©u 2: (5®iÓm)               Chøng minh r»ng :
                  a,    biÕt abc=1
 
                  b,      Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
                  c,        
C©u 3: (5®iÓm)            Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
                  a,   
                  b,            2x(8x-1)2(4x-1)=9
                  c,     x2-y2+2x-4y-10=0   víi x,ynguyªn d­¬ng.
C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo.Qua 0 kÎ ®­êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F.
a,   Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.
b.    Chøng minh:
c,   Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®­êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.
 
 
 
C©u
                                                   Néi dung bµi gi¶i
§iÓm
 
 
 
 
 
 
C©u 1
(5®iÓm)
a,                     (1®iÓm)   A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
                §Ó A lµ sè nguyªn tè th×  n-1=1n=2 khi ®ã A=5
0,5
0,5
 
0,5
 
0,5
0,5
0,5
 
0,5
0,5
 
0,5
 
0,5
b,  (2®iÓm)                         B=n2+3n-
                          B cã gi¸ trÞ nguyªn 2 n2+2
                          n2+2 lµ ­íc tù nhiªn cña 2
                         n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n
HoÆc n2+2=2            n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.
c, (2®iÓm)                D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
         =n(n-1)(n+1) +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
                Mµ  n(n-1)(n+1)(n-2)(n+25  (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp)
                           Vµ 5 n(n-1)(n+15   VËy D chia 5 d­ 2
      Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph­¬ng
VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph­¬ng
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C©u 2
(5®iÓm)
a,  (1®iÓm)                       
                    =
 
 
0,5
 
0,5
 
 
0.5
 
0.5
0.5
 
0.5
 
 
 
0,5
0,5
0,5
 
 
0,5
 
b, (2®iÓm)  a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0   a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)
a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V×  a+b+c=0
a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) .          V×  a+b+c=0
                                   2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)   (2)
Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
 
c, (2®iÓm)          ¸p dông bÊt ®¼ng thøc:  x2+y2 2xy DÊu b»ng khi x=y
   ;       ;    
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C©u 3
(5®iÓm)
a,  (2®iÓm)                          
                               
                                   
(x-300) x-300=0 x=300 VËy  S =

 
1,0
 
0,5
 
0,5
 
 
0,5
0,5
 
0,5
 
0,5
 
 
 
 
0,5
 
0,5
 
 
b, (2®iÓm)                                   2x(8x-1)2(4x-1)=9
(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9  (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 
  §Æt:    64x2-16x+0,5 =k   Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72  k2=72,25 k=± 8,5
Víi k=8,5 tacã ph­¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0  (2x-1)(4x+1)=0; x=
Víi k=- 8,5 Ta cã ph­¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm.
VËy S =
c, (1®iÓm)     x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
           (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7  V× x,y nguyªn d­¬ng
           Nªn x+y+3>x-y-1>0    x+y+3=7 vµ x-y-1=1 x=3 ;  y=1
                    Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm d­¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C©u 4
(5®iÓm)
a,(1®iÓm)  V× AB//CD S DAB=S CBA
(cïng ®¸y vµ cïng ®­êng cao)
S DAB –SAOB = S CBA- SAOB 
         Hay SAOD = SBOC
 
 
 
 
 
b,  (2®iÓm) V× EO//DC MÆt kh¸c AB//DC


c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (NDF) +KÎ ®­êng th¼ng KN lµ ®­êng th¼ng ph¶i dùng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN.
0,5
 
0,5
 
 
 
 
0,5
 
1,0
 
0,5
 
1,0
 
 
1,0
 
 
ĐỀ THI SỐ 45
 
Bµi 1: (1.5®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a)     x­­­­2 – xz – 9y2 + 3yz.
b)    4x4 + 4x3 – x2 - x.
Bµi 2: (2.5®) Cho biÓu thøc.
P = (+): (­­ -)
a) Rót gän P.
b) Víi x > 0  th× P kh«ng nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo?
c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 3: (1.5®) Gi¶i ph­¬ng tr×nh.
a) x3 – 3x2 + 4 = 0
b)
Bµi 4: (1®) Gi¶i ph­¬ng tr×nh.
Cho 3 sè a, b, c lµ 3 sè d­¬ng nhá h¬n 2.
Chøng minh r»ng 3 sè a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ ®ång thêi lín h¬n 1.
Bµi 5: (3.5®)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AC, tõ C vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O.
Chøng minh r»ng:
a) OA.OB = OC.OH
b) OHA cã sè ®o kh«ng ®æi.
c) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi.
BiÓu ®iÓm vµ ®¸p ¸n to¸n 8
Bµi 1: (1.5®)
C©u a: (0.57®)
= (x2 - 9y2) – (xz - 3yz)                      0.25®
= (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y)             0.25®
= (x - 3y)(x + 3y - z)                          0.25®
C©u b: (0.75®)
= x(4x3 + 4x2 – x – 1)                        0.25®
=                            0.25®
= x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1)   0.25® 
Bµi 2: (2.5®)
C©u a: 1®
P = :        0.25®
=      0.25®
=    0.25®
=         0.25®
C©u b: (0.75®)
P =  Px - 3P = x + 3                                     0.25®
 (P – 1)x = 3(P + 1)
            x =  
Ta cã: x > 0

VËy kh«ng nhËn gi¸ trÞ tõ  -1 ®Õn 1.          0.25®
C©u c:  0.75®   §KX§:
P = =      0.25®
P nhËn gi¸ trÞ nguyªn x - 30¦ (6) =
Tõ ®ã t×m ®­îc x                   0.25®
KÕt hîp víi §/C; ta ®­îc.   
x      0.25®
VËy x th× P nguyªn.
Bµi 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1.5®)
C©u a: (0.75®)
- §­a ®­îc vÒ d¹ng tÝch: (x + 1)(x - 2)2 = 0     0.50®
 
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 1; x = 2              0.25®
C©u b: (0.75®)            §K: xN*n
- §­a vÒ d¹ng      0.25®
                  0.25®
Tõ ®ã t×m ®­îc x = 30          (t/m  xN*)
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 30                  0.25®
Bµi 4: (1®)
Gi¶ sö  a(2 – b) > 1;  b.(2 – c) >1;  C(2 – a) > 1
abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1   (1)                      0.25®
v× 0 0.
  Do   a + (2 – a) = 2 kh«ng ®æi, suy ra a(2 – a) lín nhÊt.
a = 2 – a  a = 1
T­¬ng tù   b(2 – b) lín nhÊt b = 1
                 c(2 – c) lín nhÊt  c = 1
VËy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c) 1.1.1 = 1         (2)
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c =1              0.25®
(1)   vµ (2) m©u thuÈn nhau.
Do ®ã 3 sè   a(2 – b);  b(2 – c);  c(2 – a) kh«ng thÓ
®ång thêi lín h¬n 1                                        0.25®
Bµi 5: (3.5®)
 
 
 
 
 
C©u a: (1®)
Chøng minh: B0H      C0A (g.g)                  0.5®
0A.0B = 0C.0H    0.25®
C©u b: (1.25®)
   (suy ra tõ B0H      C0A)
    0.25®
- Chøng minh 0HA      0BC  (c.g.c)        0.25®
OHA = OBC   (kh«ng ®æi)
C©u c:  (1.25®)
VÏ MKBC
- BKM     BHC (g.g) 
                                           BM.BH = BC.BK        (1)               0.5®
CKM      CAB (g.g)                                    0.25®
CM.CA = BC.CK        (2)                                    0.25®
-         Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta ®­îc:
-         BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK
                                        = BC . (BK + CK) = BC2 (kh«ng ®æi)    0.25®
 
ĐỀ THI SỐ 46
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;                           b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :

d)    Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
e)     Tìm giá trị của x để A > 0?
f)      Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0  điểm)
c)     Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
d)    Cho và . Chứng minh rằng : .
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
d)    Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 
e)     Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
f)      Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
 
 
Nội dung đáp án
Điểm
Bài 1
 
 
a
 
2,0
 
3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 =
1,0
= 3x(x -2) – (x - 2)
0,5
= (x - 2)(3x - 1).
0,5
b
 
2,0
 
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
1,0
= ax(x - a) – (x - a) =
0,5
= (x - a)(ax - 1).
0,5
Bài 2:
 
5,0
a
 
3,0
 
ĐKXĐ :

1,0

1,0

0,5

0,25
Vậy với thì  .
0,25
b
 
1,0
 
Với
0,25

0,25

0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0.
0,25
c
 
1,0
 

0,5

0,25
Với x = 11 thì A =
0,25
Bài 3
 
5,0
a
 
2,5
 
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
 
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
1,0
9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
0,5
Do :
0,5
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1
0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
0,25
b
 
2,5
 
Từ :    
0,5
ayz + bxz + cxy = 0
0,25
                Ta có :          
0,5

0,5

0,5

0,25
Bài 4
 
6,0
 

0,25
a
 
2,0
 
Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF
0,5
Chứng minh :
0,5
=> BE = DF
0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
0,25
b
 
2,0
 
Ta có:
0,5
Chứng minh :
1,0

0,5
b,
 
1,75
 
Chứng minh :
0,25
 

0,25
 
Chứng minh :
0,25
 

0,25
 
Mà : CD = AB
0,5
 
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC  =  (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).
0,25

 
 
ĐỀ THI  SỐ 47
 
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a)  x2 – 4x + 4 = 25                          
b)
c)  4x – 12.2x  + 32 = 0        
 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và .
Tính giá trị của biểu thức: 
 
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm  1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng  trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
 
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.      a) Tính tổng
b) Gọi Ai là phân giác của tam giác ABC; im, in thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: .
 
 

ĐÁP ÁN ĐỀ THI  CHỌN HỌC SINH GIỎI
Bài 1(3 điểm):
      a) Tính đúng x = 7; x = -3                                                                        ( 1 điểm )
  b) Tính đúng  x = 2007                                                                             ( 1 điểm )
       c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0                          ( 0,25điểm )
           2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0                          ( 0,25điểm )
           (2x – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0                      ( 0,25điểm )
           2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2                                           ( 0,25điểm )     
 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz     ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)                           ( 0,25điểm )
 
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)                           ( 0,25điểm )
 
Do đó:                     ( 0,25điểm )
 
Tính đúng a = 1                                                                                       ( 0,5 điểm )
 
Bài 3(1,5 điểm):                                                     
    Gọi là số phải tìm a, b, c, d N,                 (0,25điểm)
 
      Ta có:                                                                                   
                  
                  
                                                                                            (0,25điểm)
       Do đó: m2–k2 =  1353
          (m+k)(m–k) =  123.11= 41. 33    ( k+m
                   m+k = 123             m+k = 41
                   m–k = 11               m–k =  33                                                      
                    m = 67                   m = 37 
                    k = 56                   k =   4                                                            (0,25điểm)                 
        Kết luận đúng  = 3136                                                                   (0,25điểm)                 
 
 
Bài 4 (4 điểm):
 
     Vẽ hình đúng                                                                                                 (0,25điểm)
     a) ;                                                                         (0,25điểm)
    Tương tự: ;                                                              (0,25điểm)
                                                    (0,25điểm)           
    b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, abi, aic:
                                                                          (0,5điểm )           
                                                            
       c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx                             (0,25điểm)
-Chứng minh được góc  BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’                      (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD                                                  (0,25điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2                                                 
     AB2 + AD2   (BC+CD)2                                                                    (0,25điểm)
        AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
                  4CC’2 (BC+AC)2 – AB2                                                                    
Tương tự:  4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
                  4BB’2  (AB+BC)2 – AC2                                                          (0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2                                                                   
                                                                        (0,25điểm)
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
                             ABC đều)
 
 
 
 
 
 
 
    *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó. 
 
ĐỀ THI SỐ 48
Bµi 1: (6 ®iÓm)
Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a, 2(x + 5) - x2 - 5x = 0
b,
c, |x - 4| + |x - 9| = 5
Bµi 2: (4 ®iÓm)
 Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh víi m lµ h»ng sè.
Bµi 3: (3 ®iÓm)
Hai c¹nh cña mét h×nh b×nh hµnh cã ®é dµi lµ 6cm vµ 8cm. Mét trong c¸c ®­êng cao cã ®é dµi lµ 5cm. TÝnh ®é dµi ®­êng cao thø hai.
Bµi 4: (3 ®iÓm)
 Mét vßi n­íc ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã n­íc. Cïng lóc ®ã mét vßi n­íc kh¸c ch¶y tõ bÓ ra. Mçi giê l­îng n­íc ch¶y ra b»ng l­îng n­íc ch¶y vµo. Sau 5 giê n­íc trong bÓ ®¹t tíi dung tÝch bÓ. Hái nÕu bÓ kh«ng cã n­íc mµ chØ më vßi ch¶y vµo th× bao l©u bÓ ®Çy?
Bµi 5: (4 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã . Gäi BC = a, AC = b, AB = c. Chøng minh hÖ thøc a2 = b2 + bc.
ĐÁP ÁN
Bµi
S¬ l­îc lêi gi¶i
§iÓm
Bµi 1
(6 ®iÓm)
a, §­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch.
Gi¶i ®­îc x = -5 hoÆc x = 2
b, §KX§: x 1.
Víi x 1 ta cã 
Ta thÊy x = 1 kh«ng tháa m·n §KX§. VËy ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
c, NhËn xÐt |x - 4| =   vµ   |x - 9| =
- Víi x
4 - x + 9 - x = 5 -2x = -8  x = 4 (kh«ng tháa m·n)
- Víi 4 x 5 = 5 (lu«n ®óng)
- Víi x 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ;  |x - 9| = x - 9 nªn ph­¬ng tr×nh cã d¹ng
  x - 4 + x - 9 = 5   2x = 18  x =9 (tháa m·n)
VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ S =
 
1
1
0,5
 
1
0,5
 
 
 
0,5
 
0,5
 
0,5
 
0,5
Bµi 2
(4 ®iÓm)
  (1)
- NÕu m 0 th× m - 1
- NÕu m > 1 th× m - 1 > 0. Khi ®ã (1)
- NÕu m = 1 th× m - 1 = 0. Khi ®ã (1) 0x
KÕt  luËn:
- Víi m 0 th× tËp nghiÖm lµ S = 
- Víi m = 0 th× biÓu thøc v« nghÜa.
- Víi m > 1 th× tËp nghiÖm lµ S =
- Víi m = 1 th× S = R
 
1
 
0,5
 
0,5
 
0,5
 
 
0,5
 
0,25
 
0,5
0,25
Bµi 3
(3 ®iÓm)
- VÏ h×nh:

Gi¶ sö ABCD lµ h×nh b×nh hµnh cã AB = 8cm, AD = 6cm vµ cã mét ®­êng cao dµi 5cm .
 V× 5
AH = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK  = (cm)
AK = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = (cm)
VËy ®­êng cao thø hai cã ®é dµi lµ cm hoÆc cm
 
 
0,5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 
 
1
0,5
Bµi 4
(3 ®iÓm)
Gäi thêi gian vßi n­íc ch¶y ®Çy bÓ lµ x(giê). §K: x > 0
Khi ®ã 1 giê vßi ®ã ch¶y ®­îc bÓ
1 giê vßi kh¸c ch¶y ra l­îng n­íc b»ng bÓ.
Theo ®Ò bµi ta cã ph­¬ng tr×nh
Gi¶i ph­¬ng tr×nh t×m ®­îc x = 8 (TM§K x>0)
VËy thêi gian ®Ó vßi ch¶y ®Çy bÓ lµ 8 giê.
0,5
 
 
0,5
 
0,5
 
1
0,5
Bµi 5
(4 ®iÓm)
- VÏ h×nh ®óng

HÖ thøc a2 = b2 + bc a2 = b (b + c)
 
Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AE = c, suy ra CE = b + c.
 
Khi ®ã (do tam gi¸c ABE c©n t¹i A)
(gãc ngoµi tam gi¸c) nªn .
Theo gi¶ thiÕt . VËy .
 
Chøng minh ®­îc BCE ACB (g.g)
 
suy ra
 
hay a2 = b (b + c)
 

0,5
0,25
 
 
0,25
 
 
 
0,5
 
0,5
 
1
 
0,25
 
 
0,25
 
 
ĐỀ THI SỐ 49
 
Baøi 1: ( 3 ñieåm )   Rút gọn biểu thức
                
Baøi 2: ( 3 ñieåm )  Giải phương trình
                        
Baøi 3: ( 3 ñieåm )   Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số nguyên
  
Baøi 4: ( 3 ñieåm )  
Số học sinh tiên tiến của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng số học sinh tiên tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiên tiến của khối 8. Tính số học sinh tiên tiến của mỗi khối?                  
Baøi 5: ( 4 ñieåm )
            Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.
 a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
 b/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật?
 c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi?
Baøi 6: ( 4 ñieåm )
  Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), ACBD, BD=15(m).
 a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh      Từ đó tính độ dài DE.
 b/ Tính diện tích hình thang ABCD. 
  
 
 
ÑAÙP AÙN VAØ THANG ÑIEÅM CHAÁM
Baøi
Ñaùp aùn
Ñieåm
1
(3 đ)
 

* Điều kiện:  
 

 
 
 
 
 
1
 
1
 
1
 
2
(3 đ)
 
 
* Tập xác định:    

Vaäy  
 
 
 
 
0,5
 
1
 
1
 
 
0,5
3
(3 ñ)
 

 
1
 
1
 
0,5
0,5
 
 
4
(3 ñ)
 
Goïi soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 7 laø x (hoïc sinh) (x > 0)
soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 8 laø 270 - x (hoïc sinh)
 
Ta coù phöông trình:

Vaäy soá hoïc sinh cuûa khoái 7 laø 120 hoïc sinh, vaø khoái 8 laø 270 – 120 = 150 hoïc sinh.
 
0,25
0,25
 
 
1
 
1
 
0,25
0,25
 
5
(4 ñ)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a/
   . Vaäy MNPQlaø hình bình haønh.
b/  Giaû söû MNPQ laø hình chöû nhaät thì MP = NQ
Maø
 
Vaäy tam giaùc ABC caân taïi A thì MNPQ laø hình chöû nhaät.
** Hoaëc:

c/ Giaû söû MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ

Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A thì MNPQ laø hình thoi.
** Hoaëc:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 
0,5
 
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
0,5
 
1
 
6
(4 ñ
 
 
 
 
 
 
 
 
a/ Keû
  
Xeùt tam giaùc BDH vaø tam giaùc EDB


 
b/

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 
1
 
 
1
 
 
 
 
0,5
 
0,5
 
 
 
 
 
 
 
1

Gv: Nguyễn Văn Tú                                                                   Trường THCS Thanh Mỹ


Có thể download miễn phí file .doc bên dưới
Đăng ngày 2015-11-11 22:19:26 | Thể loại: Toán học 8 | Lần tải: 6 | Lần xem: | Page: 1 | FileSize: 7.18 M | File type: doc
lần xem

đề thi TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN, Toán học 8. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 §Ò 1 Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: a) Rót gän biÓu thøc: b) Cho . TÝnh Bµi 3:(3®) Cho tam gi¸c ABC . LÊy c¸

https://tailieuhoctap.com/de-thi/tuyen-tap-de-thi-hsg-toan-8-co-dap-an.rrlf0q.html

Bạn có thể Tải về miễn phí đề thi này , hoặc tìm kiếm các đề thi khác