CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
Dạng 1: Bài toán về tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến và vị trí của trọng tâm tam giác.
Bài 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Cho biết BD < CE. So sánh
𝐺𝐶𝐵 và
𝐺𝐵𝐶.
Bài 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân,
Bài 3: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA.
Điểm M là trọng tâm tam giác nào?
Gọi F là trung điểm CE. Chứng minh A, M, F thẳng hàng.
Bài 4: Chứng minh rằng trong một tam giác, tổng của hai đường trung tuyến luôn lớn hơn đường trung tuyến thứ ba.
Dạng 2: Đường trung tuyến của các tam giác đặc biệt.
Bài 5: Chứng minh trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền ấy.
Bài 6: Chứng minh nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
-------------------------------------------------------------------
BÀI TẬP
Bài 7: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD = 3 cm, đường trung tuyến CE = 4,5 cm.
Tính độ dài cạnh BC biết độ dài đó ( tính theo cm ) là một số tự nhiên lẻ.
Bài 8: Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh rằng:
Nếu AB = AC thì BD = CE.
Nếu BE = CE thì AB =AC.
Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 và BC = 8. Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính độ dài các đoạn GA, GB, GC.
Bài 10: Cho tam giác ABC có BC = 34 cm, trung tuyến BD = 24 cm, trung tuyến CE = 45 cm. G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài các cạnh của tam giác GDE.
Bài 11: Chứng minh:
Một tam giác là tam giác cân khi và chỉ khi có hai đường trung tuyến bằng nhau.
Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi có ba đường trung tuyến bằng nhau.
Bài 12: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM và trọng tâm G. Trên tia đối của tia MA lấy các điểm I và K sao cho MI = MG, IK = IG. Gọi N là trung điểm CK. Chứng minh rằng ba điểm B, I, N thẳng hàng.
Bài 13:Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2 CM. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm AD, gọi N là trung điểm BD. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Bài 14: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM. Gọi D là trung điểm của MC. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB. Gọi K là trung điểm AE. Chứng minh ba điểm B, M, K thẳng hàng.
Bài 15: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD và BE cắt nhau ở K. Gọi I là trung điểm AK, O là giao điểm của BE và IC, F là trung điểm của AB.
Chứng minh ba điểm C, K, E thẳng hàng.
Tính EO biết BE = 18 cm.
Bài 16: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Gọi D và E theo thứ tự là trung điểm AB và AC. Gọi I và K theo thứ tự là giao điểm của ND, NE với BC. Chứng minh: BI = IK = KC.
Bài 17: Cho tam giác ABC có AB < AC, hai trung tuyến BE, CF và trọng tâm G.
Chứng minh: BE < CF.
Chứng minh:
𝐺𝐵𝐶
𝐺𝐶𝐵.
Bài 18: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và G là trọng tâm. Chứng minh AG <3.
Bài 19: D
2
x
A 1
2 I 2
y C
B z K 2

Cho hình vẽ. Tính độ dài x, y, z biết IA = 1 và AD = AB = CI = CK = 2.
Bài 20: Cho tam giác ABC có trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:
𝐵𝑁+𝐶𝑃
3
2
𝐵𝐶.
Bài 21*: Cho tam giác ABC có AM, BN và CP cắt nhau tại G. Chứng minh:
𝐴𝑀
1
2 (𝐴𝐵+𝐴𝐶)

3
4
𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐴