HSG NGA THIEN NGA SON 2016-2017

Chú ý:Đây là bản xem thử online, xin hãy chọn download miễn phí bên dưới để xem bản đẹp dạng .doc
 

 

 

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN
TRƯỜNG THCS NGA THIỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 
 
KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI - LẦN 1
Năm học: 2016 - 2017
Môn thi: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang, 06 câu)
Câu 1 (4,0 điểm)
1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A =  
Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4; x ≠ 9; x ≠ 1
2) Rút gọn biểu thức: B =
Câu 2: (3,0 điểm)
Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d).
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Câu 3: (4,0 điểm) 
a) Với Tính giá trị của biểu thức: B =
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho (3x+1)y đồng thời (3y + 1)x.
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 
a) SABC = AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
b) tanB.tanC =
c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.

 

 

d) .
Câu 5: (1,0 điểm)  
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 6: (2,0 điểm)    
Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K. Chứng minh rằng:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm
 
 
 
 
 
 
 
1
 
 
 
1
 
 

Do x 0; x ≠ 1; x ≠ 4; x ≠ 9
A =
A =
A =
A = = => ĐPCM
 
0,75
 
 
 
 
0,75
 
 
 
0,5
 
2
 
 

 
1,0
 
 
0,75
 
0,25
2
 
a
 
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(xo, yo) là:
(m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với mọi m
mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0, với mọi m
(xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m
 
0,5
 
0,5
 
 

 

 

 
 

Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).
 
0,5
 
b
 
+ Với m = 2, ta có đường thẳng y = 1
Do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1)
+ Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1                                  
Do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2)
+ Với m ≠ 1 và m ≠ 2
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung.
Ta có: x = 0 y = , do đó OA =
Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành.
Ta có: y = 0 x = , do đó OB =
Gọi h là khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d). Ta có:      
Suy ra h2 ≤ 2, max h =khi và chỉ khi m = (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra Max h = khi và chỉ khi m =     
 
 
0,5
 
 
 
 
0,5
 
 
 
 
0,5
 
3
 
 
Ta có
Từ tính được B = - 1.
 
1,25
 
0,75
b. Dễ thấy. Không mất tính tổng quát, giả sử x > y.
Từ (3y + 1)x
Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x.
p
 
 
0,25
0,25

 

 

 
 
Với p = 1 x = 3y + 13x + 1 = 9y + 4y 4y
Mà y > 1 nên y
+ Với y = 2 thì x = 7.
+ Với y = 4 thì x = 13.
Với p = 2 2x = 3y + 16x = 9y + 32(3x + 1) = 9y + 5
Vì 3x + 1y nên 9y + 5y suy ra 5y, mà y > 1 nên y = 5
suy ra x = 8.
Tương tự với y > x ta cũng được các giá trị tương ứng.
Vậy các cặp (x; y) cần tìm là: (7; 2); (2; 7); (8; 5); (5; 8); (4; 13); (13; 4)
 
 
0,25
0,25
0,25
 
 
0,25
0,25
0,25
4
 
 
a) 2,0 đ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* Ta có: SABC = .BC.AD.
ABD vuông tại D có AD = AB.sinB,
Do đó SABC = BC.AB.sinA.
ABE vuông ở E có AE = AB.cosA
BFC vuông ở F có BF = BC.cosB
ACD vuông ở D có CD = AC.cosC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,0
 
 
 
1,0

 

 

 
 
Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
 
b (1,5 đ) Xét ABD có tanB = ; ACD có tanC =
suy ra  tanB.tanC = (1)
Do (cùng phụ với ) nên BDH  ADC (g.g)  BD.DC = DH.DA
Kết hợp với (1) được tanB.tanC = .
 
 
0,5
 
 
0,5
 
0,5
c(1,5đ) Chứng minh được AEF  ABC (g.g)

Tương tự được nên mà BE  AC
= 900. Từ đó suy ra  EH là phân trong của DEF.
Tương tự DH, FH cũng là phân giác trong của DEF nên H là giao ba đường phân giác trong của DEF.
 
0,5
 
 
0,5
 
0,5
d (1,0 đ) Ta có: SBHC + SCHA + SAHB = SABC.
Dễ thấy CHE  CAF(g.g)

Tương tự có ;
Do đó:  
 
0,25
 
0,25
 
0,25
 
0,25
5
 
 
Đặt
 
 

 

 

 
 
 và
Ta có:  

Do đó:

Tương tự: .





Dấu đẳng thức xảy ra khi
Vậy khi
 
 
 
0,25
 
0,25
 
 
 
 
 
 
0,25
 
 
 
 
0,25
6
 
 
Đặt
 
 
 
 
 
 
 
 
0,25
 

 

 

 
 

 
0,5
 
Chứng minh tương tự ta có:
 
0,25

Vây
 
1,0
 

Có thể download miễn phí file .doc bên dưới
Đăng ngày 2018-07-16 16:47:59 | Thể loại: | Lần tải: 3 | Lần xem: | Page: 1 | FileSize: 0.28 M | File type: doc
lần xem

đề thi HSG NGA THIEN NGA SON 2016-2017, . PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI - LẦN 1 Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có

https://tailieuhoctap.com/dethi/hsg-nga-thien-nga-son-2016-2017.d1b10q.html

Bạn có thể Tải về miễn phí đề thi này , hoặc tìm kiếm các đề thi khác



đề thi liên quan