Chương I. §1. Hàm số lượng giác

TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Điện tâm đồ
1. Tính tuần hoàn của hàm số
x
x+L
x+2L
x+3L
f(x)
f(x+2L)
f(x+L)
f(x+3L)
(C): y=f(x)
f(x)
= f(x+L)
= f(x+2L)
= f(x+3L)= .
1. Tính tuần hoàn của hàm số
x
x+L
x+2L
x+3L
Định nghĩa:
Cho hàm số y=f(x) xác dịnh trên tập D.
Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu ta tìm được 1 số dương L sao cho với mọi x?D ta có :
1/ x � L? D
2/ f(x � L) = f(x)
Số nhỏ nhất trong các số L thỏa 2 điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn.
f(x)
f(x+2L)
f(x+L)
f(x+3L)
(C): y=f(x)
f(x)
= f(x+L)
= f(x+2L)
= f(x+3L)= .
2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
* Hàm số y=sinx và y=cosx là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T=2?
Chứng minh:
định nghĩa hsố tuần hoàn ?
Lấy số L=2?.
Miền xác định của hàm số y=sinx là R
Nhận xét : nếu x?R thì x+2??R và x-2??R và :
sin(x+2?)= sinx và sin(x-2?)= sinx , ?x?R
Ta chứng minh số 2? là chu kỳ của nó: Giả sử số L thỏa điều kiện định nghĩa và : 0< L< 2?.
Suy ra : ?x?R : sin(x� L) = sinx
Với x= ?/2 ta có : sin(?/2+L)=1 . Suy ra ?/2+L = ?/2+K2?. Vậy L= k2? (k?Z) (*)
Nhưng vì 0Vậy số nhỏ nhất thỏa định nghĩa là T=2?
* Hàm số y=tgx và y=cotgx là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T= ?
Chứng minh: tương tự như đối với hàm số y=sinx
Chú ý rằng :
3/ Đồ thị của hàm số tuần hoàn
Ta vẽ đồ thị (C0) của hàm số trong 1 khoảng có độ dài bằng chu kỳ T, chẳng hạn đoạn [0;T]
Lần lượt tịnh tiến liên tiếp (C0) theo vectơ ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
(C0): y=f(x)
4. Khảo sát các hàm số lượng giác
4.1. Hàm số y=sinx
Vì hàm số y =sinx tuần hoàn và có chu kỳ T=2? nên ta chỉ cầ�n khảo sát nó trên đoạn [0;2?]
0
1
0
-1
0
1
-1
?x?R: sin(-x)= -sinx : hàm số sin là 1 hàm số lẻ
4.2. Hàm số y=cosx (tương tự)
Vì hàm số y =cosx tuần hoàn và có chu kỳ T=2? nên ta chỉ cầ�n khảo sát nó trên đoạn [-?/2 ; 3?/2]
0
1
0
-1
0
?x?R: cos(-x)= cosx : hàm số cos là 1 hàm số chẵn
4.3 Hàm số y=tgx
Vì hàm số tang là 1 hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=?. Do đó ta chỉ cần khảo sát nó trên 1 khoảng có chiều dài bằng T, chẳng hạn khoảng (-?/2 ; ?/2)
0
?x??/2+k?: tg(-x)= -tgx : hàm số tang là 1 hàm số lẻ
Đồ thị hàm số y = tgx
4.4 Hàm số y=cotgx
và là 1 hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=?. Do đó ta chỉ cần khảo sát nó trên 1 khoảng có chiều dài bằng T, chẳng hạn khoảng (0; ?)
0
?x?k? :cotg(-x)= -cotgx : hàm số cotang là 1 hàm số lẻ
Đồ thị hàm số y=cotgx