Chú ý:Đây là bản xem thử online, xin hãy chọn download miễn phí bên dưới để xem bản đẹp dạng .doc

Đề thi vào các trường THPT

 

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

Năm học 1992 – 1993

(150 phút)

Bài 1 (2,5đ):

Xét biểu thc:

P =

1, Rút gọn P.

2, Tìm giá tr nh nhất của  P.

 

Bài 2 (2,5đ):

Một ô tô tải đi t A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian, xe con cũng xuất phát t A với vận tốc 40 km/h và nếu không có gì thay đổi thì s đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau đó 1h thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB.

 

Bài 3 (4đ):

Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó có một điểm M. Trên đường kính AB lấy điểm O sao cho OA < OB. Trên nửa mặt phẳng b AB có chứa điểm M người ta v các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông góc với MO cắt Ax tại P; đường thẳng đi qua O vuông góc với OP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của OP và AM, E là giao điểm của OQ và BM.

1, Chứng minh: Các t giác AOMP, ODME nội tiếp được.

2, Chứng minh: AB // DE.

3, Chứng minh: Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.

4, Ngoài điểm M ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm chung nào nữa không ? Tại sao ?

 

Bài 4 (1đ):

Gii phương trình:

2x4 – x3 – 5x2 + x + 2 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

Năm học 1994 1995

(150 phút)

 

Bài 1 (2,5đ):

Cho biểu thức:   

P =

1, Rút gọn P.

2, Xét dấu của biểu thức: P.

 

Bài 2 (2,5đ):

Hai ca nô xuôi t bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h sau đó lại ngược t B v A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 1 gi 20 phút. Tìm khoảng cách giữa hai bến A, B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng là bằng nhau.

 

Bài 3 (4đ):

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90o). Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi h các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB và IK, Q là giao điểm của MC và IH.

1, Chứng minh: Các t giác BIMK, CIMH nội tiếp được.

2, Chứng minh: Tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.

3, Chứng minh t giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ // BC.

4, Gọi (O1) là đường tròn đi qua M, P, K; (O2) là đường tròn đi qua M, Q, H. Gọi N là giao điểm th hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M, N, D thẳng hàng.

 

Bài 4 (1đ):

Tìm tất c các cặp s (x; y) tho mãn phương trình sau:


Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

Năm học 1995 1996

(150 phút)

 

Bài 1 (2đ):

Cho các biểu thức:

A = ;                           B =

1, Rút gọn A và B.

2, Tìm giá tr của x để A = B.

 

Bài 2 (3đ):

Cho phương trình:

x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0    (x là ẩn)

1, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = – 1 và tìm nghiệm còn lại.

2, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá tr của m.

3, Với giá tr nào của m thì x12 + x22 đạt giá tr nh nhất và tìm giá tr nh nhất đó.

 

Bài 3 (4đ):

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C nằm trên đường tròn (C khác A và B). Trên nửa mặt phẳng b AB chứa điểm C k tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa của cung nh AC, P là giao điểm của AC và BM. Tia BC cắt các tia AM, Ax lần lượt tại N và Q.

1, Chứng minh: Tam giác ABN cân.

2, T giác APNO là hình gì ? Tại sao ?

3, Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C. Hỏi có th xảy ra ba điểm Q, M, K thẳng hàng được không ? Tại sao ?

 

Bài 4 (1đ):

Giải phương trình:


Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

Năm học 1996 – 1997

(150 phút)

 

Bài 1 (2đ):

Xét biểu thức:

P =

1, Rút gọn P.

2, Tìm a để  

3, Tìm các giá tr của a N sao cho P N

 

Bài 2 (2đ):

Một lâm trường d định trồng 75 ha rừng, Nhưng do mỗi tuân trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường d định trồng bao nhiêu ha rừng ?

 

Bài 3 (4đ):

Cho đoạn thẳng AB và điểm N nằm giữa A và B. Trong cùng một nửa mặt phẳng b AB v các hình vuông AMCD và MBEF. Hai đường thẳng AF và BC cắt nhau N.

1, Chứng minh: AF BC. Suy ra điểm N nằm trên hai đường ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF.

2, Chứng minh: Ba điểm D, N, E thẳng hàng và MN vuông góc DE tại N.

3, Cho A, B c định, M di động trên đoạn AB. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm c định.

4, Tìm v trí điểm M sao cho MN có độ dài lớn nhất.

 

Bài 4 (2đ):

Cho hai phương trình:

ax2 + bx + c = 0    (1)

         cx2 + bx + a = 0    (2)

Với ac < 0. Gọi m và n tương ứnh là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình (2), chứng minh rằng: m + n  ≥ 2


Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

Năm học 1997 – 1998

(150 phút)

 

Bài 1 (2,5đ):

Cho biểu thức:

P =

1, Rút gọn P.

2, Tìm x để P < .

 

Bài 2 (2,5đ):

Một máy bơm dùng để bơm đầy một b nước có th tích 60m3 với thời gian d định trước. Khi đã bơm được 1/2 b thì mất điện trong 48 phút. Đến khi có điện tr lại người ta s dụng thêm một máy bơm có công suất 10m3/h. C hai máy bơm cùng hoạt động để bơm đầy b trong đúng thời gian d kiến.

Tính công suất của máy bơm th nhất và thời gian hoạt động của máy bơm đó.

 

Bài 3 (4đ):

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác trong của góc B cắt đường tròn tại D, tia phân giác của góc C cắt đường tròn tại E, hai tia phân giác này cắt nhau tại F. Gọi I, K theo th t là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC.

1, Chứng minh ∆EBF và ∆DAF cân.

2, Chứng minh t giác DKFC nội tiếp và FK // AB.

3, T giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?

4, Tìm điều kiện của ∆ABC để t giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp ba lần diện tích t giác AIFK.

 

Bài 4 (1đ):

Tìm những giá tr của x tho mãn h thức:


Trường Chu Văn An & Amsterdam

Năm học 1998 – 1999

(120 phút)

 

Bài 1 (3đ):

Cho biểu thức:

P =

1, Rút gọn P.

2, Cho . Hãy tìm giá tr lớn nhất của P.

 

Bài 2 (3đ):

Cho phương trình:

(x + 1)4 – (m – 1)(x + 1)2 – m2 + m – 1 = 0    (*)

1, Giải phương trình với m = – 1.

2, Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá tr của tham s m.

3, Tìm các giá tr của m để

 

Bài 3 (4đ):

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB; k tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một điểm P (AP > R). T P k tia PM tiếp xúc với đường tròn tại M

1, T giác OBMP là hình gì ? Tại sao ?

2, Cho AP = R. Chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn (O; R).

3, Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của tam giác PAM chạy tren một cung tròn c định.

4, Dựng hình ch nhật PACN. Chứng minh B, M, N thẳng hàng.


THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)

Năm học 1998 – 1999

(120 phút)

 

Bài 1 (2,5đ):

Cho biểu thức:

A =

1, Rút gọn A.

2, Tìm m để phương trình A = m – 1, có nghiệm x, y tho mãn

 

Bài 2 (2,5đ):

1, Tìm m để  phương trình sau:

x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0

Có nghiệm x1, x2 sao cho: x12 + x22 = 5

2, Cho hàm s:

y = x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0.

  Tìm m để đồ th hàm s cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x1, x2 tho mãn:

x1 < 0; x2 > 0 và x1 > ׀ ׀2 x

 

Bài 3 (4đ):

Cho đường tròn (O) và điểm A c định thuộc (O). Hai điểm B và C chuyển động trên đường tròn (O) sao cho góc BAC = không đổi ( > 90o). Qua B dựng một tia song song với tia AC, qua C dựng một tia song song với tia AB, hai tia này cắt nhau D. Gọi E là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

1, Độ dài dây BC không đổi.

2, Điểm E c định.

3, Ba điểm I, E, F thẳng hàng.

4, Điểm I thuộc một đường tròn c định.

 

Bài 4 (1đ):

Cho các s dương x, y, z tho mãn x2 + y2 + z2 ≥ 1. Chứng minh:

 


THPT Chuyên Ngoại ngữ  – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)

Năm học 1999 – 2000

(150 phút)

 

Bài 1 (2đ):

Cho biểu thức:

P =

1, Tìm điều kiện của x để P có ý nghĩa và hãy rút gọn P.

2, Tìm các s nguyên x để giá tr của biểu thức Q = cũng là s nguyên.

 

Bài 2 (2đ):

Cho phương trình:

(m – 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0     (m là tham s)

1, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm h thức liên h giữa x1, x2 không ph thuộc và m.

2, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 tho mãn h thức:

Bài 3 (2đ):

Cho hàm s:

y = mx2 + 3(m – 1)x + 2m + 1   ( l )

1, Khi m = 1, hàm s có đồ th (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và có h s góc k. Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C).

2, Chứng minh đồ th ( l ) luôn đi qua hai điểm c định với mọi giá tr của m.

Bài 4 (3đ):

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB c định. Đường thẳng xy là tiếp tuyến với đường tròn tại B. Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và không vuông góc với AB). Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với xy.

1, Chứng minh rằng: T giác MNDC nội tiếp được đường tròn.

2, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp t giác MNDC và K là trung điểm của CD. Chứng minh: T giác AOIK là hình bình hành.

3, Gọi H là trực tâm tam giác MCD. Chúng minh H thuộc một đường tròn c định.

 

Bài 5 (1đ):

Tìm giá tr lớn nhất của biểu thức: A =


Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

Năm học 1999 – 2000

(150 phút)

 

Bài 1 (2đ):

Giải phương trình:

 

Bài 2 (2đ):

Tìm tham s m để hai bất phương trình sau không có nghiệm chung:

mx + 1 > 4m  (1)       ;         x2 – 9 < 2  (2)

 

Bài 3 (3đ):

Tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, bán kính đường tròn nội tiếp là r. Gọi d, d, d lần lượt là khoảng cách t O đến 3 cạnh BC, CA, AB.

1, Chứng minh: HA + HB + HC = 2(d + d + d)

2, Gi s tam giác ABC nhọn. Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r  (*)

3, Khi tam giác ABC có góc A, bất đẳng thức (*) còn đúng không ? Tại sao ?

 

Bài 4 (1,5đ):

   BTT

        8

BYTE

 

Tìm các ch s biểu th bởi các ch cái trong phép nhân sau.

Biết rằng: T = 2E và các ch cái khác nhau ứng với các ch khác

nhau.

 

 

 

Bài 5 (1,5đ):

Người ta k n đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào đồng quy và 3 đường thẳng nào song song để chia mặt phẳng thành các miền con. Gọi Sn là s miền con tìm được t n đường thẳng đó.

1, Tìm S3, S4.

2, Chứng minh: Sn = Sn – 1 + n

3, Chứng minh: Sn


THPT Chuyên – ĐHKHTN (ĐHQGHN)

Năm học 1999 – 2000

(150 phút)

 

Bài 1 (1,5đ):

Cho các s a, b, c tho mãn điều kiện:

Hãy tính giá tr của biểu thức:

P = 1 + a4 + b4 + c4

 

Bài 2 (2đ):

1, Giải phương trình:

2, Giải h phương trình:

 

Bài 3 (1,5đ):

Tìm tất c các s nguyên dương n sao cho   n2 + 9n – 2 chia hết cho  n + 11.

 

Bài 4 (3,5đ):

Cho đường tròn (T ) và điểm I trong đường tròn. Qua I dựng hai dây cung bất k MIN và EIF. Gọi M, N, E, F là lần lượt là trung điểm của IM, IN, IE, IF.

1, Chứng minh rằng: T giác MENF nội tiếp.

2, Gi s I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp t giác MENF có bán kính không đổi.

3, Gi s I thay đổi, Các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng vuông góc với nhau. Tìm v trí của các dây cung MIN và EIF sao cho t giác MENFcó diện tích lớn nhất.

 

Bài 5 (1,5đ):

Cho các s dương x, y thay đổi tho mãn điều kiện: x + y = 1

Hãy tìm giá tr nh nhất của biểu thức:

P =


THPT Chuyên toán – ĐHSPHN

Năm học 1999 – 2000

(150 phút)

 

Ngày thứ nhất:

 

Bài 1 (2đ):

1, Tính:

A =

2, Cho a là s t nhiên đựoc viết thành 222 ch s 9. Hãy tính tổng các ch s của:

 n – an + 1

 

Bài 2 (2đ):

1, Giải phương trình:

2, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

 

Bài 3 (2đ):

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y, z > 0:

 

Bài 4 (4đ):

Trên cùng mặt phẳng to độ xOy cho hai điẻm A(- 3; 0) và B(- 1; 0). Xét hai điểm M và N thay đổi trên trục tung sao cho AM, BN luôn vuông góc với nhau.

1, Chứng minh AN, BM vuông góc với nhau và tích OM. ON không đổi khi M, N biến thiên. T đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua 2 điểm c định. Tìm to độ hai điểm c định này.

2, Tìm qu tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Xác định v trí M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nh nhất.


Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

Năm học 2000 – 2001

(150 phút)

 

Bài 1 (3đ):

Cho biểu thức:

P =

1, Rút gọn P.

2, So sánh P với 5.

3, Với mọi giá tr của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức ch nhận một giá tr nguyên.

 

Bài 2 (3đ):

Trong mặt phẳng to độ cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = x2

1, V parabol (P) và đường thẳng (d) khi  m = 1.

2, Chứng minh rằng với mọi giá tr của tham s m, đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm c định và luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

3, Tìm giá tr của tham s m để S∆ABC bằng 2 (đơn v diện tích).

 

Bài 3 (4đ):

Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng b AB v các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳng (d) thay đổi cắt Ax M, cắt By N sao cho luôn có AM. BN = a2

1, Chứng minh ∆AOM đồng dạng với ∆BNO và góc MON = 90o.

2, Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn c định tại H.

3, Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MON chạy trên một tia c định.

4, Tìm v trí của đường thng (d) sao cho chu vi tam giác AHB đạt giá tr lớn nhất. Tính giá tr lớn nhất đó theo a.


Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam

Năm học 2001 – 2002

(150 phút)

 

Bài 1 (2đ):

Cho biểu thức:

P =

1, Rút gọn P.

2, Tìm x để P

 

Bài 2 (3đ):

Cho phương trình:

   (1)

1, Tìm tham s m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất, tính nghiệm đó với

m =

2, Tìm các giá tr của m để phương trình (1) nhận x = là nghiệm.

3, Gọi m1, m2 là hai nghiệm của phương trình (1) (ẩn m). Tìm x để m1, m2 là s đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng .

 

Bài 3 (4đ):

Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O; ) tiếp xúc ngoài tại A. Trên đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đường tròn (O) tại điểm th hai N. Qua N k đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB tại Q và cắt đường tròn (O).

1, Chứng minh ∆OAM đồng dạng với ∆OAN.

2, Chứng minh độ dài đoạn NQ không ph thuộc vào v trí điểm M.

3, T giác ABQP là hình gì ? Tại sao ?

4, Xác định v trí điểm M để diện tích t giác ABQN đạt giá tr lớn nhất. Tính giá tr đó theo R.

Bài 4 (1đ):

Cho biểu thức:

A =  – x2 y2 + xy + 2x +2y

Tìm cặp s (x; y) để biểu thức A đạt giá tr lớn nhất và tìm giá tr lớn nhất đó.


THPT Chuyên – ĐHKHTN (ĐHQGHN)

Năm học 2001 – 2002

(150 phút)

 

Bài 1 (2đ):

Tìm các s nguyên x, y tho mãn đẳng thức:

(y + 2)x2 + 1 = y2

 

Bài 2 (2đ):

1, Giải phương trình:

2, Giải h phương trình:

 

Bài 3 (3,5đ):

Cho nửa vòng tròn đường kính AB = 2a. Trên đon AB lấy điểm M. Trong nửa mặt phẳng b AB chứa nửa vòng tròn ta k hai tia Mx, My sao cho góc AMx = góc Bmy = 30o. Tia Mx cắt nửa vòng tròn tại E, tia My cắt nửa vòng tròn tại F. K EE, FF vuông góc xuống AB.

1, Cho AM = Tính diện tích hình thang vuông EFEF theo a.

2, Khi M di động trên AB chứng minh EF luôn tiếp xúc với mt vòng tròn c định.

 

Bài 4 (1,5đ):

Gi s x, y, z là các s thực khác không tho mãn h đẳng thức:

Hãy tính giá tr biểu thức:

P =

 

Bài 5 (1đ):

Với x, y, z là những s thực dương. Hãy tìm giá tr lớn nhất của biểu thức:

M =


                                

Đ thi chung

Năm học 1998 – 1999

(150 phút)

 

Bài 1 (1,5đ):

Cho - 1 < x < 0. Hãy rút gọn biểu thức:

A =

 

Bài 2 (2,5đ):

1, Giải và biện luận theo a h phương trình sau:

  (*)

2, Trong trường hợp h (*) có nghiệm duy nhất (x0; y0). Tìm tất c các giá tr nguyên của a đ  x0, y0 đều là các giá tr nguyên.

 

Bài 3 (1,5đ):

Gi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 1 = 0. Không giải phương trình hãy chứng t:

A =  x17  +  x27   là một s nguyên & hãy phân tích s A thành các thừa s nguyên t.

Đề thi chung

Năm học 1999 – 2000

(150 phút)

Bài 1 (2đ):

1, Chứng minh hằng đẳng thức:

    (với x > 0)

2, Xét biểu thức:

A =         (với x > 0)

a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tìm x đ A = 4

Bài 2 (2đ)

Cho h phương trình:

        (I)  (m là tham s)

1, Giải h phương trình khi m = - 1   

2, Tìms m đ h (I) có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức:

                     S = x – y + 1 đạt giá tr nh nhất.

Bài 3 (2đ): 

Cho phương trình bậc hai ẩn x (a, b là tham s):

     (1)

1, Chứng minh rằng vói mọi giá tr của a, b thì phương trình (1) không th có hai nghiệm phân biệt.

2, Tìm a và b đ phương trình (1) có nghiệm kép = 1

 

Bài 4 (4đ):

Cho (O; 3cm) và hai điểm B, C nằm trên đường tròn sao cho góc BOC = 90o. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A bất k (A khác B). T A k hai tiếp tuyến AM, AN với M, N là hai tiếp điểm và M nằm trên cung nh BC. Gọi I là trung điểm của dây BC, tia MI cắt đường tròn tại K (K khác M).

1, Chứng minh 5 điểm ; A, M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.

2, T giác ABKN là hình gì ? vì sao ?

3, Xác định v trí điểm A đ t giác ABKN là hình bình hành.

4, Trong trường hợp ABKN là hình bình hành hãy tính các góc của hình bình hành đó và tính đ dài đoạn MN.


Đề thi chuyên toán + toán tin

Năm học 1999 – 2000

(150 phút)

Bài 1 (2,5đ):

1, Chứng minh rằng x ≠ 0 thì ta có hằng đẳng thức:

2, Xét biểu thức:

P =   (với x ≠ 0)

Chứng minh rằng:

a, Với x < 0 thì P là hằng s

b, Với x > 0 thì P , dấu bằng xảy ra khi nào ?

 

Bài 2 (2,5đ)

1, Cho đa thức:

P(x) = x2 + 3(a + b)x + 2a2 + 2b2 + 5ab

a, CMR với mọi giá tr của a, b phương trình P(x) = 0 luôn có nghiệm

b, Tìm a và b biết rằng:

P() = P() = 0

2, Phân tích đa thức sau thành nhân t:

                     3x.(y + z) + y.(3z + 2x) + z2 + 2(x2 + y2)

 

Bài 3 (2đ):

Cho hai đường tròn  (O; R) và (O; R) tiếp xúc trong với nhau tại điểm A (R < R). Trên đường tròn (O; R) lấy 1 đim B (B ≠ A), t B k tiếp tuyến BC với đường tròn (O; R) (C là tiếp điểm). Đoạn thẳng AB cắt đường tròn (O; R) tại đim D khác A

1, Chứng minh:

2, Cho biết BC = a, hãy tính đ dài đon thẳng AB theo R, R, và a.

 

Bài 4 (3đ):

Cho tam giác ABC cân B, góc ABC > 60o nội tiếp trong đường tròn (O; R). Trong hình tròn (O) lấy một điểm D (D và A nằm cùng phía so với BC) sao cho tam giác BCD là tam giác đều. Tia AD cắt đường tròn (O) tại điểm E khác A.

1, Tam giác OCE là tam giác gì ? vì sao ?

2, Biết rằng BC = , hãy tính đ dài đoạn DE và DA theo R.

 

 

Đề thi chung

Năm 2000 – 2001

(150 phút)

 

Bài 1 (2đ):

Xét biểu thức :

A =   với a ≠ 1 và a ≠

1, Rút gọn biểu thức A

2, Tính giá tr của biểu thức A khi a =

3, Tìm các s nguyên a sao cho A nhận giá tr là s nguyên

 

Bài 2 (2đ):

Cho h phương trình:

    (*)  (với m là tham s)

1, Giải h phương trình (*) khi m = 1

2, Với giá tr nào của m thì h phương trình (*) có nghiệm

 

Bài 3 (2đ):

Cho phương trình:

   (1) (mlà tham s)

1, Với giá tr nào của m thì (1) là phương trình bậc hai ?

2, Tìm m đ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

 

Bài 4 (4đ):

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD. Trên cạnh BC lấy điểm E bất kì sao cho 0 < CE < . Qua M k đường thẳng // với AE cắt cạnh CD tại điểm F.

1, Cmr:  T giác AMEF là hình thang nhưng không th là hình thang cân.

2, Cmr: ∆ABE đồng dạng với ∆FDM t đó => h thức BE. DF =

3, Đặt CE = x. Hãy tính chu vi ∆CEF theo a và x, nhn xét v kết qu vừa tìm được


Đề thi chuyên toán + toán tin

Năm 2000 – 2001

(150 phút)

 

Bài 1 (2,5đ):

Cho biểu thức:

A =    (với x 5)

1, Rút gọn biểu thức A.

2, Tính giá tr biểu thức A khi biết   9 x 21

3, Tìm x đ A = 4

 

Bài 2 (2đ):

Tìm các s nguyên a, b, c  (a ≠ 0). Biết rằng 4a + 2b + c = 3 đồng thời phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm đều là s nguyên

 

Bài 3 (1,5đ):

Gi s A = và B = với x R và x ≠ 0 sao cho A, B nhận giá tri dương.

Hãy tìm x đ nhn giá tr nh nhất.

 

Bài 4 (4đ):

Cho ∆ABC vuông tại A; AC = b, Ab = c. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; I và K theo th t là chân các đường vuông góc h t M xuống các cạnh AB và AC. D là một điểm bất k trên cạnh BC (D không trùng với các điểm B, C và M). Đường trung trực của đoạn thẳng AD cắt các đường thẳng MI và NK tại các điểm E và F tương ứng.

1, CMR 5 điểm A, E, M, D, F cùng nằm trên một đường tròn.

2, Chứng minh  ∆ABC đồng dạng ∆AEF

3, Đặt AD = x. Hãy tính diện tích ∆AEF theo b, c và x. Xác định v trí điểm D đ diện tích  ∆AEF là nh nhất.


Đề thi chung

Năm 2001 – 2002

(150 phút)

 

Bài 1 (2đ):

Cho biểu thức:

A =

1, Rút gọn biểu thức A

2, So sánh A và

 

Bài 2 (2,5đ):

1, Cho phương trình:

x2 + (m + 1)x + m = 0  (1)

a,Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá tr của m

b, Gọi x1, x2 là nghiệm của (1). Tìm m đ biểu thức:

B = x12x2 + x1x22     đạt giá tr lớn nhất.

c, Tìm m đ phương trình (1) và phương trình x2 + (m – 5)x + 7m + 6 = 0 có nghim chung.

2, Giải phương trình:

x4 + x2 + 6x + 1 = 0

 

Bài 3 (2đ):

Cho parabol y = ax2 (P) và đường thẳng y = x + m (d) trên cùng một h trục to đ xOy.

1, Tìm giá tr của a biết parabol đi qua điểm M( - 2; 1).

2, Với giá tr của a tìm được câu 1;  tìm giá tr của m đ đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại điểm N. Xác định to đ điểm N.

3, Tính diện tích tam giác OMN (cho đơn  v đ dài trên Ox và Oy là như nhau).

 

Bài 4 (3,5đ):

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R). Các đường cao BE và CF của tam giác ABC th t cắt đường tròn (O) tại điểm th hai M, N.

1, Chứng minh EF //MN

2, Chứng minh OA MN

3, Với góc BAC = 47o. Xét v trí tương đối của điểm O với đường tròn ngoại tiếp t giác BFEC.

4, C đnh BC = a < 2R. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có bán kính không đổi khi A thay đổi trên cung lớn BC.


Đề thi chung

Năm 2005 – 2006

(150 phút)

 

Bài 1 (2đ):

Xét biểu thức:

B =

1, Rút gọn B

2, So sánh B với 1

 

Bài 2 (2đ):

Cho phương trình ẩn x (m là tham s):

                     x2 – mx + m – 1 = 0

1, Chứng t rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. Tính nghiệm kép của phương trình (nếu có) và giá tr m tương ứng.

2, Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2

   a, Chứng minh : A = m2 – 8m + 8

   b, Tìm m sao cho A = 8

   c, Tính giá tr nh nhất của A và giá tr tương ứng của m

 

Bài 3 (2đ):

1, V đ th hàm s sau:

| y | + x =  – 1

2, Cho tam giác ABC. K đường cao AH và phân giác BE. Biết góc AEB = 45o. Tính góc EHC.

 

Bài 4 (3đ):

Cho đường tròn (O; R), k hai đưòng kính AB, CD c định và vuông góc với nhau. Những đường thẳng nối C và D với một điểm M chuyển động trên đường tròn lần lượt cắt AB E và F.

1, Chứng minh ∆EOC đồng dạng với ∆DOF và chứng minh tích OE. OF không đổi.

2, Cho I là trung điểm của EF. Tính góc IMO

3, Dựng điểm M sao cho EF = R

 

Bài 5 (1đ):

Tìm các cặp s nguyên không âm x, y tho mãn:

y2 ( x + 1 ) = 1576 + x2

 

 

 

Đề thi chuyên toán  + toán tin

Năm 2005 – 2006

(150 phút)

Bài 1 (1,5đ):     

Cho phương trình bậc hai:

ax2 + (ab + 1)x + b = 0

1, Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá tr của a, b

2, Xác định a, b đ phương trình có nghiệm x1 =  – 2; x2

Bài 2 (2đ):

1, V đ th hàm s:

y = | |

2, Căn c vào đ th, hãy cho biết nghiệm của phương trình = 0 và khẳng định lại kết qu bằng phép tính.

Bài 3 (2đ):

Giải các h phương trình sau:

1,                                   2,

Bài 4 (3đ):

Cho tam giác ABC và một diểm M bất k trong tam giác:

1, Các đường thẳng MA, MB, MC theo th t cắt các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1, C1. Chứng minh rằng:                     

2, Mt đường thẳng qua M và trọng tâm G của tam giác ABC cắt BC, CA, AB th t tại A2, B2, C2. Chứnh minh:        

3, Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh BC kéo dài v phía C và cắt cạnh CA, AB th t tại các điểm A3, B3, C3. Chứng minh:                                  

                                                    

 

Bài 5 (1,5đ):

1, Gọi A là tổng của 10 s thực dương, còn B là tổng của 10 s nghịch đảo của chúng. Tìm giá tr nh nhất của tích A. B

2, Gi s mỗi điểm trong mặt phẳng đều được tô bằng màu đ hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tốn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu.

 

 

Đề thi chung

Năm 2006 – 2007

(150 phút)

 

Bài 1 (2đ):

Xét biểu thức:

P =

1, Rút gọn P

2, Tìm a đ | P | = 1

3, Tìm các giá tr của a N đ  P N

 

Bài 2 (2đ):

Một lâm trường d định trồng 75 ha rừng trong một tuần l. Do mỗi tuần trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch, nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường d định trồng bao nhiêu ha rừng ?

 

Bài 3 (3,5đ):

Cho đưòng tròn (O) và dây AB, một điểm C ngoài đường tròn nằm trên tia AB. T điểm chính giữa P của cung lớn AB k đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm th hai I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K.

1, Chứng minh t giác PDKI nội tiếp

2, Chứng minh hai tam giác CID và CPK đồng dạng

3, Chứng minh IC là tia phân giác ngoài đỉnh I của tam giác AIB

4, Gi s A, B, C c định. Chứng minh rằng đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm c định.

 

Bài 4 (1đ):

Cho hai phương trình: ax2 + bx + c = 0  (1) và cx2 + bx + a = 0  (2)  với a. c < 0.

Gọi m và n tương ứng là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình (2).

Chứng minh rằng:   m + n 2

 

Bài 5 (1,5đ):

Tìm những giá tr của x tho mãn h thức sau:

         


Đề thi chung

Năm 2008 – 2009

(150 phút)

 

Bài 1 (1,5đ):

1, Giải h phương trình

2, Giải phương trinh: 

 

Bài 2 (3đ):

1, Cho hàm s: y = f(x) = 2x2 – x + 1

Tính f ;    f

2, Rút gọn biểu thức sau:

A =     với x  ≥  0; x  ≠  1

3, Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0   (*)

a, Tìm m đ phương trình (*) có nghiệm kép

b, Tìm m đ phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có

giá tr tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

Bài 3 (1,5đ):

Theo kế hoạch một t công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải nhiều hơn d định 4 sản phẩm.

Hỏi lúc đầu t có bao nhiêu công nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.

 

Bài 4 (3đ):

Cho đường tròn (O; R) và dây AC c định không đi qua tâm. B là điểm bất k thuộc đường tròn (B ≠ A, C). K đường kính BB. Gọi H là trực tâm của ∆ ABC.

1, Chứng minh: AH // BC.

2, Chứng minh: HB đi qua trung điểm của AC.

3, Khi điểm B chạy trên đường tròn (O) (B ≠ A, C). Chứng minh: H luôn nằm trên 1 đường tròn c định.

 

Bài 5 (1đ):

Trên mặt phẳng to đ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1  (d) và điểm  A (- 2;3).

Tìm m đ khoảng cách t A đến đường thẳng d đạt giá tr lờn nhất.

 

 

Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)

Năm học 2002 – 2003

(150 phút)

 

Bài 1 (3đ):

 Cho biểu thức:

  A =

 1, Rút gọn biểu thức A.

 2, Tìm các s nguyên x để biểu thức A nhận giá tr là một s nguyên.

 

Bài 2 (3đ):

 1, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:

  x2 – (2m – 3)x + 1 – m = 0

 Tìm các giá tr của m để: x12 + x22 + 3x1. x2. (x1 + x2) đạt giá tr lớn nhất

 2, Cho a, b là các s hữu t tho mãn:

  a2003  +  b2003    =   2. a2003. b2003

 Chứng minh rằng phương trình x2 + 2x + ab  = 0 có hai nghiệm hữu t

 

Bài 3 (3đ):

 1, Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o. Tính t s

 2, Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, Phân giác của góc AIO cắt OA tại D, qua D k đường thẳng song song với OB cắt cung tròn C.

 Tính góc ACD.

 

Bài 4 (1đ):

 Chứng minh bất đẳng thức:

  

 Với a, b, c là các s thực bất k.


Trường THPT năng khiếu Trần Phú (Hải Phòng)

Năm học

(150 phút)

Bài 1 (2đ):

 Cho biểu thức:   P(x) =

 1, Tìm tất c các giá tr của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).

 2, Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(- x) < 0

Bài 2 (2đ):

 1, Cho phương trình:   

  a, Giải phương trình trên khi m =

  b, Tìm tất c các giá tr của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 tho mãn:             x1 + 2x2 = 16

 2, Giải phương trình:      

Bài 3 (2đ):

 1, Cho x, y là hai s thực tho mãn: x2 + 4y2  = 1

 Chứng minh rằng:

 2, Cho phân s: A =

 Hỏi có bao nhiêu s t nhiên tho mãn 1  ≤  n  ≤  2004 sao cho A là phân s chưa tối giản ?

Bài 4 (3đ):

 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm th hai D khác P. Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng:

 1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn.

 2, ∆BPR cân

 3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB.

Bài 5 (1đ):

 Cho ∆ABC có BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE.


Trường THPT Trần Đại Nghĩa (TP HCM)

Năm học 2004 – 2005

(150 phút)

 

Bài 1:

 Cho phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình:

x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1, b2.

 Chứng minh:

  

 

Bài 2:

 Cho các s a, b, c, x, y, z tho mãn:

  

 Chứng minh:

 

Bài 3:

 1, Tìm x, y tho mãn:

  5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0

 2, Cho các s x, y, z tho mãn:

  x3  +  y3  +  z3 =  1

 Chứng minh: 

 

Bài 4:

 Chứng minh rằng không th có các s nguyên x, y tho mãn phương trình:

  x3 – y3   =   1993


Trường THPT Chuyên Bà Rịa – Vũng Tàu

Năm học 2004 – 2005

(150 phút)

 

Bài 1:

 1, Giải phương trình:

  

 2, Chứng minh không th tồn tại các s nguyên x, y, z tho mãn:

  x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2005

 

Bài 2:

 Cho h phương trình:

  

 1, Giải h khi a = - 1

 2, Tìm các giá tr của a để h có nghiệm duy nhất.

 

Bài 3:

 1, Cho x, y, z R tho mãn:

  x2 + y2 + z2 = 1

 Tìm giá tr nh nhất của: A = 2xy + yz + zx

 2, Tìm tất c các giá tr của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

  x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0

 

Bài 4:

 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh A. Gọi I, K, H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB, AC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn (O) tại N (N  ≠  D); AN cắt BC tại M. Chứng minh:

 1, ∆DKI  đồng dạng với  ∆BAM

 2,


Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)

Năm học 2005 – 2006

(150 phút)

 

Bài 1 (1đ):

 Tính giá tr biểu thức: A =   với

 

Bài 2 (1,5đ):

 Giải phương trình:

 

Bài 3 (3đ):

 Cho hàm s: y = x2 có đồ th ( P ). Hai điểm  A, B thuộc ( P ) có hoành độ lần lượt là: - 1 và 2.

 1, Viết phương trình đường thẳng AB.

 2, V đồ th (P) và tìm ta độ điểm M thuộc cung AB của đồ th (P) sao cho ∆MAB có diện tích lớn nhất.

 

Bài 4 (3,5đ):

 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong của góc A cắt  đường tròn (O) tại M. K đường cao AK của ∆ABC. Chứng minh:

 1, Đường thẳng OM đi qua trung điểm N của BC.

 2,

 3, AH = 2NO

 

Bài 5 (1đ):

 Tính tổng: S = 1. 2 + 2. 3 + 3. 4 + . . . .+ n. (n + 1)


Trường THPT Chuyên Thái Bình

Môn toán – toán tin năm 2005 – 2006

(150 phút)

 

Bài 1 (3đ):

 1, Giải phương trình:

  

 2, Trong h trục to độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm

M(x; y) tho mãn điều kiện:

  

Bài 2 (2,5đ):

 1, Cho phương trình:

  (m + 1)x2 – (m – 1)x + m + 3 = 0   (m là tham s)

 Tìm tất c các giá tr của m để phương trình có nghiệm đều là các s nguyên.

 2, Cho ba s x, y, z.

  Đặt a = x + y + z;   b = xy + yz + zx;    c = xyz

 Chứng minh các phương trình sau đều có nghiệm:

  t2 + 2at + 3b = 0;   at2 – 2bt + 3c = 0

Bài 3 (3đ):

 Cho ∆ABC

 1, Gọi M là trung đim của AC. Biết BM = AC. Gọi D là đim đối xứng của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C.

 Chứng minh: DM    BE.

 2, Lấy một điểm O bất k nằm trong ∆ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo th t tại các điểm D, E, F. Chứng minh:

  a,

  b,

Bài 4 (0,75đ):

 Cho các đa thức:

  P(x)  = x3 + ax2 + bx + c

  Q(x) = x2 + x + 2005

 Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô nghiệm.

 Chứng minh: P(2005) >

Bài 5 (0,75đ):

 Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất k 3 điểm nào trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù.

 

Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)

Năm học

(150 phút)

 

Bài 1 (3đ):

 Giải phương trình:

 1,

 2,

 

Bài 2 (1đ):

 Cho ba s a, b, c R+  tho mãn:  ab > c  và  a3 + b3 = c3 + 1

 Chứng minh rằng: a + b > c + 1

 

Bài 3 (2đ):

 Cho a, b, c, x, y là các s thực tho mãn các đẳng thức sau:

  

 Tìm đẳng thức liên h giữa a, b, c không ph thuộc vào x, y.

 

Bài 4 (1,5đ):

 Cho phương trình:

  (n + 1)x2 + 2x – n(n + 2)(n + 3) = 0  (*)

 Chứng minh rằng (*) có nghiệm là s hữu t với mọi s nguyên m.

 

Bài 5 (2,5đ):

 Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua O. M là điểm trên đường tròn sao cho ∆AMB nhọn. Đường phân giác của góc MAB và góc MBA cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ. Chứng minh rằng:

 1, MI    PQ

 2, Tiếp tuyến chung của đường tâm P tiếp xúc với MB và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng c định khi M thay đổi.

 

 

 

 

 

 

Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)

Năm học 2002 – 2003

(150 phút)

 

Bài 1 (3đ):

 Cho biểu thức:

  A =

 1, Rút gọn biểu thức A.

 2, Tìm các s nguyên x để biểu thức A nhận giá tr là một s nguyên.

 

Bài 2 (3đ):

 1, Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:

  x2 – (2m – 3)x + 1 – m = 0

 Tìm các giá tr của m để: x12 + x22 + 3x1. x2. (x1 + x2) đạt giá tr lớn nhất

 2, Cho a, b là các s hữu t tho mãn:

  a2003  +  b2003    =   2. a2003. b2003

 Chứng minh rằng phương trình x2 + 2x + ab  = 0 có hai nghiệm hữu t

 

Bài 3 (3đ):

 1, Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o. Tính t s

 2, Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, Phân giác của góc AIO cắt OA tại D, qua D k đường thẳng song song với OB cắt cung tròn C.

 Tính góc ACD.

 

Bài 4 (1đ):

 Chứng minh bất đẳng thức:

  

 Với a, b, c là các s thực bất k.


Trường THPT năng khiếu Trần Phú (Hải Phòng)

Năm học

(150 phút)

Bài 1 (2đ):

 Cho biểu thức:   P(x) =

 1, Tìm tất c các giá tr của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).

 2, Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(- x) < 0

Bài 2 (2đ):

 1, Cho phương trình:   

  a, Giải phương trình trên khi m =

  b, Tìm tất c các giá tr của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 tho mãn:             x1 + 2x2 = 16

 2, Giải phương trình:      

Bài 3 (2đ):

 1, Cho x, y là hai s thực tho mãn: x2 + 4y2  = 1

 Chứng minh rằng:

 2, Cho phân s: A =

 Hỏi có bao nhiêu s t nhiên tho mãn 1  ≤  n  ≤  2004 sao cho A là phân s chưa tối giản ?

Bài 4 (3đ):

 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm th hai D khác P. Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng:

 1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn.

 2, ∆BPR cân

 3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB.

Bài 5 (1đ):

 Cho ∆ABC có BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE.


Trường THPT Trần Đại Nghĩa (TP HCM)

Năm học 2004 – 2005

(150 phút)

 

Bài 1:

 Cho phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình:

x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1, b2.

 Chứng minh:

  

 

Bài 2:

 Cho các s a, b, c, x, y, z tho mãn:

  

 Chứng minh:

 

Bài 3:

 1, Tìm x, y tho mãn:

  5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0

 2, Cho các s x, y, z tho mãn:

  x3  +  y3  +  z3 =  1

 Chứng minh: 

 

Bài 4:

 Chứng minh rằng không th có các s nguyên x, y tho mãn phương trình:

  x3 – y3   =   1993


Trường THPT Chuyên Bà Rịa – Vũng Tàu

Năm học 2004 – 2005

(150 phút)

 

Bài 1:

 1, Giải phương trình:

  

 2, Chứng minh không th tồn tại các s nguyên x, y, z tho mãn:

  x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2005

 

Bài 2:

 Cho h phương trình:

  

 1, Giải h khi a = - 1

 2, Tìm các giá tr của a để h có nghiệm duy nhất.

 

Bài 3:

 1, Cho x, y, z R tho mãn:

  x2 + y2 + z2 = 1

 Tìm giá tr nh nhất của: A = 2xy + yz + zx

 2, Tìm tất c các giá tr của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

  x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0

 

Bài 4:

 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh A. Gọi I, K, H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB, AC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn (O) tại N (N  ≠  D); AN cắt BC tại M. Chứng minh:

 1, ∆DKI  đồng dạng với  ∆BAM

 2,


Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)

Năm học 2005 – 2006

(150 phút)

 

Bài 1 (1đ):

 Tính giá tr biểu thức: A =   với

 

Bài 2 (1,5đ):

 Giải phương trình:

 

Bài 3 (3đ):

 Cho hàm s: y = x2 có đồ th ( P ). Hai điểm  A, B thuộc ( P ) có hoành độ lần lượt là: - 1 và 2.

 1, Viết phương trình đường thẳng AB.

 2, V đồ th (P) và tìm ta độ điểm M thuộc cung AB của đồ th (P) sao cho ∆MAB có diện tích lớn nhất.

 

Bài 4 (3,5đ):

 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong của góc A cắt  đường tròn (O) tại M. K đường cao AK của ∆ABC. Chứng minh:

 1, Đường thẳng OM đi qua trung điểm N của BC.

 2,

 3, AH = 2NO

 

Bài 5 (1đ):

 Tính tổng: S = 1. 2 + 2. 3 + 3. 4 + . . . .+ n. (n + 1)


Trường THPT Chuyên Thái Bình

Môn toán – toán tin năm 2005 – 2006

(150 phút)

 

Bài 1 (3đ):

 1, Giải phương trình:

  

 2, Trong h trục to độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 những điểm

M(x; y) tho mãn điều kiện:

  

Bài 2 (2,5đ):

 1, Cho phương trình:

  (m + 1)x2 – (m – 1)x + m + 3 = 0   (m là tham s)

 Tìm tất c các giá tr của m để phương trình có nghiệm đều là các s nguyên.

 2, Cho ba s x, y, z.

  Đặt a = x + y + z;   b = xy + yz + zx;    c = xyz

 Chứng minh các phương trình sau đều có nghiệm:

  t2 + 2at + 3b = 0;   at2 – 2bt + 3c = 0

Bài 3 (3đ):

 Cho ∆ABC

 1, Gọi M là trung đim của AC. Biết BM = AC. Gọi D là đim đối xứng của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C.

 Chứng minh: DM    BE.

 2, Lấy một điểm O bất k nằm trong ∆ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo th t tại các điểm D, E, F. Chứng minh:

  a,

  b,

Bài 4 (0,75đ):

 Cho các đa thức:

  P(x)  = x3 + ax2 + bx + c

  Q(x) = x2 + x + 2005

 Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt, còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô nghiệm.

 Chứng minh: P(2005) >

Bài 5 (0,75đ):

 Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất k 3 điểm nào trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù.

 

Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)

Năm học

(150 phút)

 

Bài 1 (3đ):

 Giải phương trình:

 1,

 2,

 

Bài 2 (1đ):

 Cho ba s a, b, c R+  tho mãn:  ab > c  và  a3 + b3 = c3 + 1

 Chứng minh rằng: a + b > c + 1

 

Bài 3 (2đ):

 Cho a, b, c, x, y là các s thực tho mãn các đẳng thức sau:

  

 Tìm đẳng thức liên h giữa a, b, c không ph thuộc vào x, y.

 

Bài 4 (1,5đ):

 Cho phương trình:

  (n + 1)x2 + 2x – n(n + 2)(n + 3) = 0  (*)

 Chứng minh rằng (*) có nghiệm là s hữu t với mọi s nguyên m.

 

Bài 5 (2,5đ):

 Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua O. M là điểm trên đường tròn sao cho ∆AMB nhọn. Đường phân giác của góc MAB và góc MBA cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ. Chứng minh rằng:

 1, MI    PQ

 2, Tiếp tuyến chung của đường tâm P tiếp xúc với MB và đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đường thẳng c định khi M thay đổi.

 


 

                                 Năm 1997 – 1998

(150 phút)

 

Ngày thi 5/ 8/ 1997

 

Bài 1 (2đ):

Cho biểu thức:

A=   với x ≥ 0, x ≠ 1

1, Rút gọn biểu thức A

2, Tính giá tr của biểu thức A khi x = 4.

 

Bài 2 (2đ):  

Cho h phương trình:

1, Giải h phương trình với m = 1

2, Tìm các giá tr nguyên của m đ h có nguyệm (x; y) sao cho là s nguyên.

Bài 3 (2đ):  

Trên cùng một h trục to đ cho đường thẳng (d) và parabol (P) có phương trình:                                                                                                                                                      

                     (P):     y  = 2x + b

           (d):     y  = ax2

1, Tìm a và b biết rằng (P) và  (d) cùng đi qua điểm A(2; 3).

2, Với giá tr của a và b vừa tìm được câu (a) hãy tìm to đ điểm B (với B là giao điểm th hai của (P) và (d)).

 

Bài 4 (3,5đ):

T một đim M nằm ngoài đường tròn (O) ta k hai tia tiếp tuyến MA, MB với    đường tròn đó (A, B là hai tiếp điểm). T A ta k tia Ax // MB, Ax cắt (O) tại điểm C (C ≠ A). Đoạn thẳng MC cắt (O) tại điểm th hai E. Tiếp tuyến với (O) tại điểm C cắt             các đường thẳng MA, MB tại N và P.

1, Chứng minh tam giác MNPlà tam giác cân.

2, Chứng minh t giác MAPC là hình thang cân và MP = 2CP.

3, Kéo dài AE cho cắt đoạn thẳng MB tại I. Chứng minh rằng: tam giác MAI đồng dạng với tam giác PMC. T đó => I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

 

 

 

 

 

 

Ngày thi 6/ 8/ 1997

 

Bài 1 (2đ):

Cho biểu thức:

B =   với 0; x ≠ 1

1, Rút gọn biểu thức B

2, Tính giá tr của B khi x = 9

 

Bài 2 (2đ):

Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham s:

x2 – 2(m – 3)x + 2m – 7 = 0     (1)

1, Chứng t phương trình (1) luôn có nghiệm dương với mọi m

2, Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1, x2 hãy tìm m đ:

         

 

Bài 3 (2đ):

Trên cùng một mặt phẳng to đ cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:             

(d1):  y = ax + b – 8

                    (d2):  y =

1, Tìm a, b biết rằng (d1) và (d2) cùng đi qua điểm A(2; 3)

2, Với giá tr của a, b tìm được câu a hãy tìm to đ điểm B, C tương ứng là giao điểm của (d1) và (d2) với trục hoành.

 

Bài 4 (4đ):

T một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) k các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC và  M là điểm nằm trên tia đối của tia IJ. AM và AO cắt BC lần lượt tại N và H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác NAH cắt (O) tại điểm E thuộc cung nh BC.

1, Chứng minh: T giác BIJC ni tiếp được.

2, Chứng minh: OI2 = OH. OA = OC2.

3, Chứng minh: ∆OHE đồng dạng với ∆OEA. T đó suy ra ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).

 

 

 

 

Năm 1998 – 1999

(150 phút)

 

Ngày 17/ 7/ 1998

 

Bài 1 (2đ):                  

Cho a = ;                     b =

1, Hãy tính và

2, Hãy lập 1 phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1 = và x2 =

Bài 2 (2đ):

Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham s

                     x2 – 3mx + 3m – 4 = 0    (1)

1, Chứng minh rằng với mọi giá tr của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

2, Hãy tìm m đ phương trình (1) có 1 nghiệm là x = khi đó hãy tìm nghiệm còn lại của phương trình đó.

 

Bài 3 (2đ):

Hai đội công nhân I, II được giao sửa chữa một đoạn đưòng. Nếu c hai đội cùng làm chung thì sau 4 gi s hoàn thành công việc. Nếu đội I làm mình trong 2 gi sau đó đội II tiếp tục làm mình trong 3 gi thì h hoàn thành được công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì s hoàn thành công việc trong bao lâu ?

 

Bài 4 (4đ):

Cho hình ch nhật ABCD có AB = 3cm, AC = 5cm. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho BE = BC. Tia phân giác của góc CBE cắt cạnh CD F, đường thẳng EF cắt đường thẳng AB M còn đoạn thẳng CM cắt đoạn BD N.

1, Chứng minh ∆BCF = ∆BEF

2, Chứng minh BE2 = BA. BM. T đó tính đ dài đoạn thẳng BH

3, Chứng minh t giác MENB là t giác nội tiếp

4, Tính S∆ADN.

 

 

 

 

 

Ngày thi 18/ 7/ 1998

 

Bài 1 (2đ):

Cho biểu thức:

A =   với y < 0

1/ Phân tích A thành nhân t

2/  Tính giá trị của A khi x = và y = 15

 

Bài 2 (2đ)

Cho hệ phương trình:

         (m, n là tham số)

          1/ Giải hệ phương trình khi m = n =1

          2/ Tìm m, n để hệ đã cho có nghiệm

Bài 3 (2đ):

                                 Một ô tô dự định đi quảng đường từ A đế B cách nhau 120km với thời gian và vận tốc đã định. Nhưng sau khi khởi hành được 1 giờ thì xe bị hỏng nên phải dừng lại 20 phút để sửa chữa, vì cậy muốn đến B đúng thời gian quy định thì ô tô phải đi nốt quãng đường còn lại với vân tốc nhanh hơn vận tốc đã định là 8km/h. Tìm thời gian ô tô đã định đđi hết quãng đường AB.

 

Bài 4 (4đ)

          Cho ∆ABC vuông ở A, có AC < AB, AH là đường cao kẻ từ đỉnh A. Các tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O ngoại tiếp ∆ABC cắt nhau tại M. OM cắt AB tại E, MC cắt AH tại F. CA kéo dài cắt BM ở D. Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM ở N

          1/ Chứng minh OM // CD và M là trung điểm của đoạn thẳng BD

          2, Chứng minh BF //BC

          3, Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN.

          4, Biết OM = BC = 4cm. Tính diện tích ∆MFE.

 

 

 

 

 

 

 

 

Năm 1999 – 2000

(150 phút)

 

Ngày thi 13/ 7/ 1999

 

Bài 1 (2đ):

          Cho biểu thức:

                     P =       Với a, b > 0; a ≠ b

          1. Rút gọn biểu thức P

          2, Tính giá tr của P khi biết a, b là hai nghiệm của phưong trình:

                    

 

Bài 2 (2đ):

          Cho phương trình bậc hai ẩn x (m là tham s):

                        (1)

          1, Tìm m đ phương trình (1) có nghiệm

          2, Chứng minh rằng với mọi giá tr của m, phương trình (1) không th có hai nghiệm cùng là s âm

          3, Tìm m đ phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 tho mãn:

                     x1 – 2x= 5

 

Bài 3 (2đ):

          Một tam giác vuông có chu vi là 24cm. biết rằng đ dài cạnh huyền nh hơn tổng đ dài hai cạnh  góc vuông là 4cm. Tính đ dài các cạnh của tam giác đó.

 

Bài 4 (4đ):

          Cho hình vuông ABCD có đ dài cạnh bằng 4cm. Tia phân giác của góc ACB cắt cạnh AB tại M. V đường tròn đường kính CM cắt AC tại E (E ≠ C). Tia ME cắt cạnh AD tại điểm N; tia CNcắt đường tròn đường kính CM tại I (I ≠ C)

          1, Chứng minh rằng: ∆CBM = ∆CEM và ∆CEN = ∆CDN, t đó suy ra CN là tia phân giác của góc ACB

          2, Chứng minh h thức: AM2 + AN2 = (BM + DN)2

          3, Chứng minh 3 đim D, I, B thẳng hàng.

          4, Tính diện tích ∆AMN.

 

 

 

Năm 1999 – 2000

(150 phút)

 

Ngày thi 14/ 7/ 1999

 

Bài 1 (2đ):

          Cho biểu thức:

                     S =   với x, y ≠ 0; x ≠  ± y

 1, Rút gọn S.

          2, Tìm x và y biết rằng:

  

Bài 2 (2đ):

  Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a là tham s)

                     x2 – 3x + a – 2 = 0  (1)

                     x2 + ax + 1       = 0    (2)

          1, Giải các phương trình (1) và (2) trong trường hợp a = – 1

          2, Chứng minh với mọi giá tr của a thì ít nhất 1 trong 2 phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 3 (2đ):

          Trên mặt phẳng to đ Oxy cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình:

                     (P):  y = 2x2

                     (d):  y = ax + 2 – a

          1, Vẽ parabol (P)

          2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì (P) và (d) luôn có một điểm chung cố định. Tìm toạ đđiểm chung đó.

Bài 4 (4đ):

          Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4cm. Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Lấy O làm tâm vẽ một đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại D và E tương ứng. M là điểm trên cung nhỏ DE của đường tròn tâm O nói trên (M ≠ D, E). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M cắt các đoạn AD, AE tại các điểm P và Q tương ứng. Gọi L và K theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng OP, OQ với đường thẳng DE.

          1, Chứng minh DE // BC

          2, Chứng minh rằng góc POQ = góc DOE = 60o.

          3, Chứng minh t giác DOKP nội tiếp trong một đường tròn, t đó suy ra các đường thẳng OM, PK và QL cắt nhau tại một điểm.

          4, Tính chu vi tam giác APQ.

 

 

Năm 2000 – 2001

(150 phút)Ngày thi 22/ 6/ 2000

Bài 1 (2đ):

Cho các biểu thức:

A =    ( a 0 )

B =    ( b 0 và b ≠ 1)

1, Rút gọn A và B

2, Tính A – B khi a = và b =

 

Bài 2 (2đ):

Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n là tham s):

x2 – (m + n)x – (m2 + n2) = 0   (1)

1, Giải phương trình  (1) khi m = n =1

2, Chứng minh rằng với mọi giá tr của m, n thì phương trình (1) luôn có nghiệm

3, Tìm  m, n đ phương trình (1) tương đương với phương trình x2 – x – 5 = 0

 

Bài 3 (2)

Trong một k thi, hai trường A và B có tất c 350 học  sinh d thi. Kết qu là 2 trường đó có tất c 338 thí sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh trúng tuyn. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu thí sinh d thi.

 

Bài 4 (4đ):

Cho tam giác ABC vuông tại A, góc ACB = 30o ni tiếp đường tròn (O; 2cm). Trên (O) lấy đim D sao cho A & D nằm v hai phía so với đường thẳng BC & DB > DC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc h t B, C xuống AD còn I, K lần lượt là chân đường vuông góc h t A, D tới đường thẳng BC.

1, Chứng minh các t giác ABIE, CDFK, EKFI nội tiếp được đường tròn.

2, Chứng minh EK //AC và AE = DF.

3, Khi AD là đường kính của  (O), hãy tính chu vi của đường tròn ngoại tiếp t giác EKFI

 


Ngày thi 23/ 6/ 2000

 

Bài 1 (2đ):

  Cho các biểu thức:

                     A =   (với x 0 và x ≠ 1)

                     B =

1, Rút gọn A và B.

2, Tính giá tr của A khi x = 13

3, Tìm x đ A = B

 

Bài 2 (2đ):

Cho các h phương trình:

               (I)                           (II)   (m, n là tham s)

1, Giải h phương trình (I)

2, Tìm m, n đ h phương trình (I) tương đương với h phương trình (II)

 

Bài 3 (2đ):

Hai khu đất hình ch nhật, khu th nhất có chiều rộng bằng chiều dài; khu đất th hai có chiều rộng lớn hơn chiều rộng của khu th nhất là 1m, chiều dài nh hơn khu th nhất là 4m và có Skhu 2 = Skhu 1. Tính diện tích từng khu đất.

Bài 4 (4đ):

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; 2cm). Tiếp tuyến với (O) tại A và B cắt nhau tại M, đường thẳng MD cắt (O) tại E (E ≠ D) và cắt AB tại F. Gọi I, K th t là trung điểm các đon thẳng AB, DE. Tia OK cắt đường thẳng AB tại P, tia AK cắt (O) ti N (N ≠ A).

1, Chứng minh năm điểm A, M, O, B, K cùng thuộc một đường tròn, tính bán kính đường tròn đó.

2, Chứng minh ∆BKF đồng dạng với ∆PIO & PA. PB = PE. PI.

3, Tính S∆MND.

 

 

 


Năm học 2001 – 2002

(150 phút)

 

Ngày thi 13/ 7/ 2001

 

Bài 1: (1,5đ)

Cho biểu thức:

M = .

a, Rút gọn M.

b, Tìm x để M đạt giá trị nhỏ nhất.

 

Bài 2: (1,5đ):

Cho phương trình:  

x2 – 2(m + 1)x + 2m + 5   =   0

a, Giải phương trình khi m =

b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.

 

Bài 3: (2,5đ)

a, Giải hệ phương trình:  

                                                                                          

b, Hai ngư