Chú ý:Đây là bản xem thử online, xin hãy chọn download miễn phí bên dưới để xem bản đẹp dạng .doc

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

 

§Ò 1

Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng:

a)     85 + 211 chia hÕt cho 17

b)    1919 + 6919 chia hÕt cho 44

Bµi 2:

a)     Rót gän biÓu thøc:

b)    Cho . TÝnh

Bµi 3:(3®)

Cho tam gi¸c ABC . LÊy c¸c ®iÓm D,E  theo thø tù thuéc  tia ®èi cña c¸c tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD .Qua O vÏ ®­êng th¼ng song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, ®­êng th¼mg nµy c¾t AC ë K. Chøng minh r»ng AB = CK.

Bµi 4 (1®).

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã):

M = 4x2 + 4x + 5

§¸p ¸n

Bµi 1 : (3®)

a)     (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17

Râ rµng kÕt qu¶ trªn chia hÕt cho 17.

b)    (1,5®) ¸p dông h»ng ®¼ng thøc:

an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ.

Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)

                            = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hÕt cho 44.

Bµi 2 : (3®)

a)     (1,5®) Ta cã: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3)

                                                = (x+3)(x-2).

x3 – 4x2 – 18 x + 9 = x3 – 7x2  + 3x2 - 21x + 3x + 9

=(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9)

=x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3)

=(x+3)(x2 –7x +3)

=> = Víi ®iÒu kiÖn x -1 ; x2 -7x + 3 0

b) (1,5®) V×

Do ®ã : xyz(++)= 3

 

Bµi 3 : (3®)                                                                              

Chøng minh :

 VÏ h×nh b×nh hµnh ABMC ta cã AB = CM .

§Ó chøng minh  AB = KC  ta cÇn chøng minh KC = CM.

ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c CBE c©n t¹i C => v× gãc C1 lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c BCE => mµ AC // BM (ta vÏ) => nªn BO lµ tia ph©n gi¸c cña . Hoµn toµn t­¬ng tù ta cã CD lµ tia ph©n gi¸c cña  gãc BCM . Trong tam gi¸c BCM, OB, CO, MO ®ång quy t¹i O => MO lµ ph©n tia ph©n gi¸c cña gãc CMB

 : lµ hai gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh BMCA => MO // víi tia ph©n gi¸c cña gãc A theo gt tia ph©n gi¸c cña gãc A cßn song song víi OK => K,O,M th¼ng hµng.

Ta l¹i cã : mµ  (hai gãc ®ång vÞ) => c©n t¹i C => CK = CM. KÕt hîp AB = CM => AB = CK (®pcm)

Bµi 4: (1®)

Ta cã M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4

= (2x + 1)2  + 4.

V× (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + 4  4 M 4

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi  x = -

-------------------------------------------------

®Ò 2

C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè:    tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a vµ b sau:

a)           b)  

C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( xm + xn + 1 ) chia hÕt cho x2 + x + 1.

khi vµ chØ khi ( mn – 2) 3.

¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:  x7 +  x2 + 1.

C©u 3 .  Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).

C©u 4 .  Cho h×nh thang ABCD (®¸y lín CD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; c¸c ®­êng kÎ tõ A vµ B lÇn l­ît song song víi BC vµ AD c¾t c¸c ®­êng chÐo BD vµ AC t­¬ng øng ë F vµ E. Chøng minh:

EF // AB    

b).   AB2 = EF.CD.      

c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c OAB; OCD;   OAD Vµ OBC 

Chøng minh:  S1 . S2 = S3 . S4 .

C©u 5 .  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt:    A = x2  - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45.

§¸p ¸n

C©u 1 .   Ta cã  a1a2a3 = (a7a8)2  (1)    a4a5a6a7a8  =  ( a7a8)3   (2).

Tõ (1) vµ (2) =>

=> ( a7a8)3 =  a4a5a600 + a7a8     ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600.

( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6 

do ( a7a8 – 1)  ; a7a8 ;  ( a7a8 + 1) lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn cã 3 kh¶ n¨ng:

a)     . a7a8 = 24  => a1a2a3 . . . a8  lµ sè  57613824.

b)    . a7a8 – 1 = 24 =>  a7a8 = 25     => sè ®ã lµ  62515625

c)     . a7a8 = 26     => kh«ng tho¶ m·n

 

 c©u 2 .  §Æt m = 3k + r  víi         n = 3t + s  víi 

     xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + 1.

                        = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1

ta thÊy:  ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1)  vµ  ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1)

vËy:  ( xm + xn + 1)  ( x2 + x + 1) 

<=>  ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) víi  

<=>      r = 2 vµ s =1           =>            m = 3k + 2 vµ  n = 3t + 1

             r = 1 vµ  s = 2                          m = 3k + 1 vµ  n = 3t + 2

<=>     mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t)

           mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t)

=>    (mn – 2)   3   §iÒu ph¶i chøng minh.

¸p dông:  m = 7; n = 2     =>  mn – 2 = 12 3.

     ( x7 + x2 + 1)    ( x2 + x + 1)

     ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1

C©u 3 .   Gi¶i PT:

Nh©n 2 vÕ víi 6 ta ®­îc:

 

 

C©u 4 .a) Do     AE// BC   =>         A B

                 BF// AD                

MÆT kh¸c AB// CD ta l¹i cã

 D  A1B1 C

   nªn          =>  EF // AB

b).              ABCA1 vµ ABB1D  lµ h×nh b×nh hµnh  => A1C = DB1 = AB

V×  EF // AB // CD  nªn       =>  AB 2  = EF.CD.

c) Ta cã:   S1 = AH.OB;  S2 = CK.OD;  S3 = AH.OD;  S4 = OK.OD.

=> ;       => => S1.S2 = S3.S4

C©u 5.   A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45

                  = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4

                  = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4   

Gi¸ trÞ nhá nhÊt  A = 4 Khi:                        y- 1 = 0         =>        y = 1

 x- y- 6 = 0                x = 7 

---------------------------------------------

®Ò 3

C©u 1: a. Rót gän biÓu  thøc:

 A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1)  + 1

b. NÕu  x2=y2 + z2

Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2

C©u 2: a. Cho    (1) vµ (2)

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc  A= 

b. Biết a +  b + c = 0 TÝnh : B =

C©u 3: T×m x , biÕt :

  (1)

C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, M ®­¬ng chÐo AC. Gäi  E,F theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña M trªn AD, CD. Chøng minh r»ng:

 a.BM EF

 b. C¸c ®­êng th¼ng BM, EF, CE ®ång quy.

C©u 5:   Cho a,b, c, lµ c¸c sè d­¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 

P= (a+ b+ c) ().

§¸p ¸n

C©u 1: a.  ( 1,25 ®iÓm) Ta cã:

 A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1

    =   (22-1)(22+1) ......... (2256+1)

    =   (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1)

  ................ 

     =   [(2256)2 –1]  + 1

      =   2512

b, .  ( 1 ®iÓm) Ta cã: 

(5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z)  = (5x – 3y )2 –16z2=  25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*)

 x2=y2 + z2 (*) =  25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2)  =  (3x –5y)2

C©u 2: .  ( 1,25 ®iÓm)  a. Tõ (1)   bcx +acy + abz =0

Tõ (2)

b. .  ( 1,25 ®iÓm) Tõ   a + b + c = 0   a + b =  - c   a2 + b2 –c2 =  - 2ab

T­¬ng tù  b2 + c2 –  a2 = - 2bc;  c2+a2-b= -2ac

   B =

C©u 3: .  ( 1,25 ®iÓm)

(1)     

x= 2007 A  

C©u 4: a. ( 1,25 ®iÓm)  Gäi K lµ giao ®iÓm CB víi EM; B

H lµ     giao ®iÓm cña EF vµ BM

EMB =BKM ( gcg)

  Gãc    MFE =KMB BH EF                           E                M                K

b. ( 1,25 ®iÓm)  ADF = BAE (cgc) AF BE                                 H

T­¬ng tù: CE BF   BM;  AF;  CE 

lµ c¸c ®­êng cao cña  BEF ®pcm

C©u 5: ( 1,5 ®iÓm)  Ta cã:   D             F               C

              P = 1 +

MÆt kh¸c víi   mäi x, y d­¬ng. P 3+2+2+2 =9

VËy P min = 9  khi a=b=c.

---------------------------------------

®Ò 4

Bµi 1 (3®):

  1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

 a) x2 + 7x + 12

 b) a10 + a5 + 1

  2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

Bµi 2 (2®):

     T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn

Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC )

 1) KÎ ®­êng cao BM; CN cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng:

  a) ®ång d¹ng

  b) gãc AMN b»ng gãc ABC

 2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F lµ trung ®iÓm cña AK.

 Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC.

Bµi 4 (1®):

 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

, ( x kh¸c 0)

§¸p ¸n

Bµi 1 (3®):

1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®)

 b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 +  + a3 - a+ 1 )              (1®)

2)

(+1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®)

( x + 100 )( + - ) = 0   (0,25®)

V×: + - 0

Do ®ã : x + 100 = 0 x = -100

 VËy ph­­¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = -100   (0,25®)

 

Bµi 2 (2®):

P =  (0,5®)

 x  nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn

®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th× ph¶i nguyªn hay 2x - 1 lµ ­íc nguyªn cña 5 (0,5®)

=>  * 2x - 1 = 1 => x = 1

 * 2x - 1 = -1 => x = 0

 * 2x - 1 = 5 => x = 3

 * 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5®)

 VËy x = th× P cã gi¸ trÞ nguyªn. Khi ®ã c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña P lµ:

 x = 1 => P = 8

 x = 0 => P = -3

 x = 3 => P = 6

 x = -2 => P = -1 (0,5®)

 

Bµi 3 (4®):  

1) a) chøng minh ABM  ®ång d¹ng CAN (1®)

 b) Tõ c©u a suy ra: AMN ®ång d¹ng ABC

AMN = ABC ( hai gãc t­­¬ng øng) (1,25®)

2) Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H  (0,25®)

BAH = CHA ( so le trong, AB // CH)

CAH = BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®)

Suy ra:

CHA =CAH nªn CAH c©n t¹i C

do ®ã :  CH = CA   => CH = BK vµ CH // BK (0,5®)

  BK = CA

 VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm KH

Do F lµ trung ®iÓm cña AK nªn EF lµ ®­­êng trung b×nh cña tam gi¸c KHA. Do ®ã EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm)              (0,5®)

Bµi 4 (1®):

 A = = +

    =

  A min = khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®)

------------------------------------

®Ò 5

C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A =

 a,  T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh .

 b,  Rót gän biÓu thøc A .

 c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > O

C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau :

C©u 3 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau lÇn l­ît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S.

1, Chøng minh AQR vµ APS lµ c¸c tam gi¸c c©n.

2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt.

3, Chøng minh P lµ trùc t©m SQR.

4, MN lµ trung trùc cña AC.

5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng.

C©u 4 ( 1 ®iÓm): 

Cho biÓu thøc A =    . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña  x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn 

C©u 5 ( 1 ®iÓm) 

a, Chøng minh r»ng  

b, Cho       TÝnh  

§¸p ¸n

C©u 1 

 a,       x  # 2 , x # -2 , x # 0                                                                       

 b ,   A =

  =

  =

 c, §Ó A > 0 th×

C©u 2 .     §KX§  :  

PT 

x =1 ;  x = 2  ; x = - 2/ 3

C¶ 3 gi¸ trÞ trªn ®Òu tháa m·n §KX§ .

VËy PT ®· cho cã tËp nghiÖm S =

C©u 3:  

1, ADQ = ABR v× chóng lµ hai tam gi¸c vu«ng (®Ó ý gãc cã c¹nh vu«ng gãc) vµ DA=BD ( c¹nh h×nh vu«ng). Suy ra AQ=AR, nªn AQR lµ tam gi¸c vu«ng c©n. Chøng minh t­îng tù ta cã:              ARP=ADS

do ®ã AP = AS vµAPS lµ tam gi¸c c©n t¹i A.

2, AM vµ AN lµ ®­êng trung tuyÕn cña tam gi¸c vu«ng c©n AQR vµ APS nªn ANSP vµ AMRQ.

MÆt kh¸c :   = 45nªn gãc MAN vu«ng. VËy tø gi¸c AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt.

3, Theo gi¶ thiÕt: QARS, RCSQ nªn QA vµ RC lµ hai ®­êng cao cña SQR. VËy P lµ trùc t©m cña SQR.

4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM =QR.

Trong tam gi¸c vu«ng RCQ th× CM lµ trung tuyÕn nªn CM = QR.

MA = MC, nghÜa lµ M c¸ch ®Òu A vµ C.

Chøng minh t­¬ng tù cho tam gi¸c vu«ng c©n ASP vµ tam gi¸c vu«ng SCP, ta cã NA= NC, nghÜa lµ N c¸ch ®Òu A vµ C. Hay MN lµ trungtrùc cña AC

5,  V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn B vµ D còng c¸ch ®Òu AC. Nãi c¸ch kh¸c, bèn ®iÓm M, N, B, D cïng c¸ch ®Òu A vµ C nªn chóng ph¶i n»m trªn ®­êng trung trùc cña AC, nghÜa lµ chóng th¼ng hµng.   

C©u 4 . Ta cã §KX§ x -1/2

 A = (x  + 1)    +   v× x Z nªn ®Ó A nguyªn th× nguyªn

            Hay  2x+1 lµ ­íc  cña 2 . VËy :

            2x+1 = 2  x=1/2   ( lo¹i )

 2x+1 = 1 x = 0

 2x+1 = -1 x = -1

 2x +1 = -2 x = -3/2 ( lo¹i )

                              KL : Víi x = 0 , x= -1 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn

C©u  5. a, , Chøng minh   

BiÕn ®æi vÕ ph¶i ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh.

b, Ta cã th×

(v×   nªn )

Theo gi¶ thiÕt 

khi ®ã

=====================

®Ò 6

Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc :

M =

a) Rót gän

b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M .

Bµi 2 : (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn

   A =

Bµi 3 : 2 ®iÓm

Gi¶i ph­¬ng tr×nh :

a)     x2 - 2005x - 2006 = 0

b)    + +   = 9

Bµi 4 : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh BC . Qua E kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AE . Ax c¾t CD t¹i F . Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K . §­êng th¼ng qua E song song víi AB c¾t AI ë G . Chøng minh :

a)     AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi .

b)    AK~ CAF vµ AF2 = FK.FC

c)     Khi E thay ®æi  trªn BC chøng minh : EK = BE + DK vµ chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi .

Bµi 5 : (1®) Chøng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120

chia hÕt cho 24

§¸p ¸n

Bµi 1 :

a)     M  x4+1-x2)

b)    BiÕn ®æi : M = 1 - . M bÐ nhÊt khi lín nhÊt x2+1 bÐ nhÊt x2 = 0 x = 0 M bÐ nhÊt = -2

Bµi 2 : BiÕn ®æi A = 4x2+9x+ 29 + A Z Z x-3 lµ ­íc cña 4

x-3 = 1 ; 2 ; 4 x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7

Bµi 3 : a) Ph©n tÝch vÕ tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = 0

  (x-2006)(x+1) = 0 x1 = -1 ; x2 = 2006

c)     XÐt pt víi 4 kho¶ng sau :

x< 2 ; 2 x < 3 ; 3 x < 4 ; x 4

Råi suy ra nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : x = 1 ; x = 5,5

Bµi 4 :

a)  ABE = ADF (c.g.c) AE = AF

AEF vu«ng c©n t¹i t¹i A nªn AI EF .

IEG = IEK (g.c.g) IG = IK .

Tø gi¸c EGFK cã 2 ®­êng chÐo c¾t

nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®­êng vµ

vu«ng gãc nªn h×nh EGFK lµ h×nh thoi .

b) Ta cã :

= ACF = 450 , gãc F chung

 AKI  ~ CAF (g.g)

d)    Tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE

Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Kh«ng ®æi)  .

Bµi 5 :  BiÕn ®æi :

B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120

Suy ra B 24

================================

®Ò 7

C©u 1: ( 2 ®iÓm ) Cho biÓu thøc:

A=        ( Víi x 0 ; x )

1) Rót gän biÓu thøc A

2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A víi x=

C©u 2: ( 1 ®iÓm )

a) Chøng minh ®¼ng thøc: x2+y2+1  x.y + x + y      ( víi mäi x ;y)

b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:

A =

C©u 3: ( 4 ®iÓm )

Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . TRªn ®­êng chÐo BD lÊy ®iÓm P , gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña C qua P .

a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi?

b) Gäi E, F lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn AD , AB .

Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng.

c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc  vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.

d) Gi¶ sö CP DB vµ CP = 2,4 cm,;

TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.

C©u 4 ( 2 ®iÓm )

Cho hai bÊt ph­¬ng tr×nh:

3mx-2m > x+1   (1)

m-2x < 0             (2)

T×m m ®Ó hai bÊt ph­¬ng tr×nh trªn cã cïng mét tËp nghiÖm.

§¸p ¸n

C©u 1 ( 2 ®iÓm )

1) ( 1 ®iÓm ) §K: x 0; x )

A = =

=

2) A=

C©u2: ( 2 ®iÓm )

1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1 x. y+x+y x2+y2+1 - x. y-x-y 0

2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0 ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) 0

(x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2 0

BÊt ®¼ng thøc lu«n lu«n ®óng.

2) (2 ®iÓm )

(1) 3mx-x>1+2m (3m-1)x > 1+2m.     (*)

+ XÐt 3m-1 =0 m=1/3.

(*) 0x> 1+  x .

+ XÐt 3m -1 >0 m> 1/3.

(*) x>

+ XÐt 3m-1 < 0 3m <1 m < 1/3

(*) x < .

mµ ( 2 ) 2x > m x > m/2.

Hai bÊt ph­¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm.

m-2 =0 m=2.

VËy : m=2.

C©u 3: (4 ®iÓm )

a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña    AC vµ BD.

AM //PO  tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang.

b) ( 1 ®iÓm ) Do AM// BD

         gãc OBA= gãc MAE ( ®ång vÞ )

XÐt tam gi¸c c©n OAB

gãc OBA= gãc OAB

Gäi I lµ giao ®iÓm cña MA vµ EF AEI c©n ë I gãc IAE = gãc IEA

gãc FEA = gãc OAB EF //AC .(1)

MÆt kh¸c  IP lµ ®­êng trung b×nh cña MAC IP // AC        (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra : E,F, P th¼ng hµng.

c) (1 ®iÓm ) Do MAF DBA ( g-g) kh«ng ®æi.

d) NÕu    PD= 9k; PB = 16k.

Do ®ã CP2=PB. PD ( 2,4)2=9.16k2 k=0,2.

PD = 9k =1,8

PB = 16 k = 3,2

DB=5

Tõ ®ã ta chøng minh ®­îc BC2= BP. BD=16

Do ®ã : BC = 4 cm

CD = 3 cm

C©u4 ( 1 ®iÓm )

Ta cã A =

VËy Amax [ ( x+ min x+ = 0 x = -

Amax khi x = -1/2

========================

 

®Ò 8

Bµi1( 2.5 ®iÓm) 

a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0

b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)

Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm).

 Cho biÓu thøc: y = ; ( x>0)

 T×m x ®Ó biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã

Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm)

a, T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh: :

( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330.

B, Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:   3

Bµi 4: ( 3 ,5 ®iÓm) Cho gãc xoy vµ ®iÓm I n»m trong gãc ®ã. KÎ IC vu«ng gãc víi ox ; ID vu«ng gãc víi oy . BiÕt IC = ID = a. §­êng th¼ng kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b.

A, Chøng minh r»ng tÝch AC . DB kh«ng ®æi khi ®­êng th¼ng qua I thay ®æi.

B, Chøng minh r»ng

C, BiÕt SAOB = . TÝnh CA ; DB theo a.

§¸p ¸n

Bµi 1: 3 ®iÓm

a, TÝnh:   Ta cã:   a3 + a2c – abc + b2c + b3

= (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2)

= ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0  ( V× a+ b + c = 0 theo gi¶ thiÕt)

VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0   ( ®pCM)

b, 1,5 ®iÓm Ta cã:

  bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)

  = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)

  = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)

  = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]

  = b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a)

  = d(a-b)(a-c)(b-c)

 Bµi 2: 2 §iÓm  §Æt t =

Bµi to¸n ®­a vÒ t×m x ®Ó t bÐ nhÊt

Ta cã t = =

 =  =  (1)

Ta thÊy:  Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè d­¬ng ta cã:

 x2 + 20042 2. 2004 .x  (2)

DÊu “ =” x¶y ra khi x= 2004

Tõ (1) vµ (2) suy ra: t 4 VËy gi¸ trÞ  bÐ nhÊt cña t = 4 khi x =2004.

VËy ymax= Khi x= 2004

Bµi 3:  2 §iÓm

a, Nh©n c¶ 2 vÕ cña ph­¬ng tr×nh víi 2.3.4 ta ®­îc:

 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4

 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8

 VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn  liªn tiÕp kh¸c 0 nªn c¸c thõa sè ph¶I cïng dÊu ( + )hoÆc dÊu ( - ).

Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 . 10 . 9 . 8  (1)

Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) . (-10) . (-9) .(-8)  (2)

 Tõ ph­¬ng tr×nh (1) 12x -1 = 11  x = 1 ( tho¶ m·n)

 Tõ ph­¬ng tr×nh (2)  12x -1  = - 8 x= suy ra x Z.

VËy x=1 tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh.

b,  Ta cã   < 3  -3 < x – 6 < 3  3< x < 9

VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph­¬ng tr×nh lµ: S = { x R/ 3 < x < 9}.

Bµi 4 : 3 §iÓm

Ta cã A chung ;       AIC     =    ABI     ( cÆp gãc ®ång vÞ)

 IAC  ~   BAO  (gg).           

Suy ra:      (1)

T­¬ng tù: BID  ~   BAO (gg) 

Suy ra:      (2)

Tõ (1) vµ(2) Suy ra:

 Hay AC. BD = IC . ID = a2

  Suy ra: AC.BD = a2 kh«ng ®æi.

b, Nh©n (1) víi (2) ta cã:   

mµ IC = ID ( theo gi¶ thiÕt) suy ra:  

 C, Theo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vu«ng ta cã;

 SAOB = OA.OB mµ SAOB =     ( gi¶ thiÕt)

 Suy ra: OA.OB =    OA . OB =

Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) =    a2 + a( CA + DB ) + CA . DB =

Mµ CA . DB = a2 ( theo c©u a)  a(CA +DB) =  - 2a2

CA + DB +. VËy:

 Gi¶i hÖ pt    CA =  vµ DB = 3a

    HoÆc CA = 3a vµ DB =

====================

®Ò 9

Bµi 1( 2 ®iÓm).  Cho biÓu thøc : 

1.Rót gän P.

2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3.

Bµi 2(2 ®iÓm).  Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc: 

Bµi 4 (3 ®iÓm).  Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi E; F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC. M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF.

1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF.

2.Chøng minh MAD c©n.

3.TÝnh diÖn tÝch MDC theo a.

Bµi 5(1 ®iÓm).     Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n :  a + b + c = .

Chøng minh r»ng :      a2 + b2 + c2    .

§¸p ¸n

Bµi 1. (2 ®iÓm - mçi c©u 1 ®iÓm)

MTC :

1. 

 

        .Víi th× gi¸ trÞ biÓu thøc ®­îc x¸c ®Þnh.

2. §Ó P =3   

                 

C¸c ­íc nguyªn cña 2 lµ : 

Suy ra:

 

               

               (lo¹i).

                       

                        (lo¹i)

             VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3.

Bµi 2.(2 ®iÓm)  §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh:

Ta cã :

Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi  :                                   

tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ph­¬ng tr×nh.

Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 10; x = -2.

  Bµi 3.(2®iÓm)

   

M lín nhÊt khi   nhá nhÊt.

                nªn nhá nhÊt khi = 0.

DÊu “=” x¶y ra khi x-1 = 0 . VËy Mmax = 1 khi x = 1.

Bµi 4. . (3iÓm)

a. 

    vu«ng t¹i C vu«ng t¹i M

Hay CE DF.

b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE. Ta cã :

AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MDK vu«ng t¹i M

c©n t¹i A

c. 

Do ®ã :

Mµ : .

VËy : .

Trong theo Pitago ta cã :

.

Do ®ã :

Bµi 5 (1®iÓm)

Ta cã:

T­¬ng tù ta còng cã:                 ;

Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®­îc:

. nªn:

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c =.                              

=========================

®Ò 10

C©u 1. (1,5®)

Rót gän biÓu thøc : A = +++……….+

C©u 2. (1,5®)  T×m c¸c sè a, b, c sao cho :

§a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4)

C©u 3 . (2®)    T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc  cã gi¸ trÞ nguyªn.

C©u 4. Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c .

Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc)

C©u 5 . Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c , träng t©m G, trùc t©m H, t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ O. Th× H,G,O th¼ng hµng.

 

§¸p ¸n

C©u 1.

A = ( - + -+…….+ - )

    = ( - ) =

C©u 2.   Chia ®a thøc x4 + ax + b cho x2 – 4

®­îc ®a thøc d­ suy ra a = 0 ; b = - 16.

C©u 3.   Z x2 –x +1 = U(7)=

§­a c¸c ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch.

§¸p sè x = .

C©u 4. Tõ gi¶ thiÕt a < b + c a2 < ab + ac

T­ng tù         b2 < ab + bc

         c2 < ca + cb

Céng hai vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®­îc (®pcm)

C©u 5. trong tam gi¸c ABC  H lµ trùc t©m, G lµ

Träng t©m, O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp

tam gi¸c.

-         ChØ ra ®­îc  = , =

-         ChØ ra  =(B»ng c¸ch vÏ BK nhËn O lµ trung ®iÓm chøng minh CK = AH)

    (c.g.c)

  H,G,O th¼ng hµng.

======================

®Ò 11

C©u 1:Cho biÓu thøc: A=

a, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh.

b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0.

c, T×m gi¸ trÞ  nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.

C©u 2:

.a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= víi x>0.

.b, Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x+1+: 2x-1+2x =3

C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm thuéc c¸c c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x.

.a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸c ®iÓm K,L,M,N sao cho tø gi¸c MNKL cã diÖn tÝch mhá nhÊt.

.b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c MNKL lµ h×nh ch÷ nhËt.

C©u 4: T×m d­ cña phÐp chia ®a thøc

                                       x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1

 

§¸p ¸n

C©u1 (3®)

a.(1®)

Ta cã A=(0,5®)

VËy biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x3,x1/3(0,5®)

b. Ta cã A= do ®ã A=0 <=> 3x +4=0  (0,5®)

<=> x=-4/3 tho· m·n ®k(0,25®)

VËy víi x=-4/3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0 (0,25®)

c. (1®)

Ta cã A= = 1+

§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× ph¶i nguyªn<=> 3x-1 lµ ­íc cña 5<=> 3x-11,5

=>x=-4/3;0;2/3;2

VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cña xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (1®)

C©u: 2: (3®)

a.(1,5®)

Ta cã

A==x+ +25  (0,5®)

C¸c sè d­¬ng x vµ Cã tÝch kh«ng ®æi nªn tæng nhá nhÊt khi vµ chØ khi x =

     x=12 (0,5®)

VËy Min A =49 <=> x=12(0,5®)

b.(1,5®)

TH1:  nÕu x<-1 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi :-x-1-2x+1+2x=3=>x=-3<-1(lµ nghiÖm )(0,5®)

TH2: NÕu -1x<1/2 th× ta cã

x+1-2x+1+2x=3=> x=1>1/2(lo¹i )(0,25®)

TH3: NÕu x1/2ta cã

x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5<1/2 (lo¹i)(0,25®)

VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho x=-3 (0,5®)

C©u 3: (3®)

 

                                                               C                      L               D

 

 

                                                              M                                                     K

 

                                                              D                      N           B1                K1             A

Gäi S1,,S2, S3, S4 lÇn l­ît lµ diÖn tÝch tam gi¸c AKN,CLM,DMN vµ BKL.

KÎ BB1AD; KK1AD ta cã KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB

SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD(0,5®)

T­¬ng tù S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S (0,25®)

T­¬ng tù S3+S4= x(1-x)S

     S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25®)

     SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-1/2)2+1/2S1/2S(0,25®)

VËy SMNKL ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1/2S khi x=1/2 khi ®ã M,N,K,L lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh CD,DA,AB,BC (0,25®)

b.(1,5®)

  • tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh b×nh hµnh (1®)
  • tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh ch÷ nhËt khi BDAC (0,5®)

C©u 4: (1®)

Gäi Q(x) lµ th­¬ng cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1

ta cã x99+x55+x11+x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*)

trong ®ã ax+b lµ d­ cña phÐp chia trªn

Víi x=1 th×(*)=> 11=a+b

Víi x=-1 th×(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7

VËy d­ cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 lµ 4x+7

==========================

®Ò 12

Bµi 1: (3®)

Cho ph©n thøc :  M =

a) T×m tËp x¸c ®Þnh cña M

b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0

c) Rót gän M

Bµi 2: (2®)

a) T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai trong ba sè Êy ta ®­îc 242.

b) T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B.

A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n

Bµi 3: (2®)

a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc

         M =

b) Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c

Chøng minh r»ng:         

Bµi 4: (3®)

Cho tam gi¸c ABC, ba ®­êng ph©n gi¸c AN, BM, CP c¾t nhau t¹i O. Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lÖ víi 4,7,5

a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm

b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm

c) Chøng minh

 

§¸p ¸n

Bµi 1:

a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) 0 x2 vµ x- 4                                                     (0,5®)

TX§ =                                                                                  0,2®

b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1)                                              1,0®

                                           = 0 khi x=2; x=                                                      0,2®

 

§Ó M= 0  Th×      x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0

                            x2+ 2x- 8 0                                                                               0,5®

VËy ®Ó M = 0 th× x =                                                                                        0,3®

c) M =                                                             0,3®

Bµi 2:

a) Gäi x-1, x, x+1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp Ta cã: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242     (0,2®)

Rót gän ®­îc x2 = 81                                                                                               0,5®

Do x lµ sè tù nhiªn nªn x = 9                                                                                   0,2®

Ba sè tù nhiªn ph¶i t×m lµ 8,9,10                                                                             0,1®

b) (n3+2n2- 3n + 2):(n2-n) ®­îc th­¬ng n + 3 d­ 2                                                  0,3®

Muèn chia hÕt ta ph¶i cã 2n(n-1)  2n                                                            0,2®

Ta cã:  

n

1

-1

2

-2

n-1

0

-2

1

-6

n(n-1)

0

2

2

-3

 

lo¹i

 

 

lo¹i

                                                                                                                                 0,3®

VËy n = -1; n = 2                                                                                                     0,2®

Bµi 3:

a) V× xyz = 1  nªn x 0, y0, z0                                                                         0,2®

                                                                             0,3®

                                                                           0,3®

M =                                                                       0,2®

b) a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn

a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0                                                                              0,2®

víi x,y > 0

                                                                                       0,2®                                                                                                0,2®

                                                                                               0,2®

Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc råi chia cho 3 ta ®­îc ®iÒu ph¶i chøng minh.

X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b = c                                                         0,2®

Bµi 4:   a)         A

              B C

 N

AN lµ ph©n gi¸c cña Nªn                                                                    0,3®

Theo gi¶ thiÕt ta cã Nªn                                            0,2®                                                                                                    0,5®

b) BM lµ ph©n gi¸c cña nªn                                                               0,3®

 

Theo gi¶ thiÕt ta cã:                                                       0,2®

Nªn                                                  0,5®

c) V× AN,BM,CP lµ 3 ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC

 

    Nªn                                                                    0,5®

 

      Do ®ã                                                               0,5®

========================

®Ò 13

C©u 1: ( 2,5 ®iÓm)

 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

 a/. x2 – x – 6                      (1 ®iÓm)

 b/. x3 – x2 – 14x + 24 (1,5 ®iÓm)

C©u 2: ( 1 ®iÓm)

 T×m GTNN cña : x2 + x + 1

C©u 3: ( 1 ®iÓm)

 Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n Z.

C©u 4: ( 1,5 ®iÓm)

 Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi :

 x =       ;   y =

C©u 5: ( 1,5 ®iÓm)

 Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + + = 14

C©u 6: ( 2,5 ®iÓm)

 Trªn c¹nh AB ë phÝa trong h×nh vu«ng ABCD dùng tam gi¸c AFB c©n , ®Ønh F cã gãc ®¸y lµ 150 . Chøng minh tam gi¸c CFD lµ tam gi¸c ®Òu.                     

 

 

 

§¸p ¸n

C©u 1: a/. Ta cã:  x2 – x – 6 = x2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)

    = (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3)

 ( NÕu gi¶i b»ng c¸ch kh¸c cho ®iÓm t­¬ng ®­¬ng )

 b/. Ta cã: x = 2 lµ nghiÖm cña f(x) = x3 – x2 – 14x + 24

 Do ®ã f(x) x – 2, ta cã: f(x) : (x – 2) = x2 + x – 12

 VËy  x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)( x2 + x – 12)

 Ta l¹i cã: x = 3 lµ nghiÖm cña x2 + x – 12

 Nªn x2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4)

 Nh­ vËy:  x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) .

C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + x + 1    (1 ®’)

Ta cã : x2 + x + 1  = VËy f(x) ®¹t GTNN khi  = 0 Tøc x = -

C©u 3: Ta cã : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1)

   = n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2)  lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp trong ®ã cã Ýt nhÊt hai sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5).

VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120.

C©u 4: (1,5 ®’). Ta cã x,y > 0 vµ

V× a> b > 0 nªn . VËy x < y.

C©u 5: 1/. XÐt kho¶ng x < -2 ,ta cã: -3x + 2 = 14x = - 4.

  2/. -2 x < 1, ta cã : -x + 16 = 14  x = 2. (lo¹i)

  3/. 1 x < 3, ta cã : x + 4 = 14   x = 10 (lo¹i).

  4/. x 3 , ta cã: 3x – 2 = 14 x =   VËy ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm lµ x = - 4  vµ   x = .

C©u 6:  ( 2,5 ®’)                  D     C           

 

             

 

 

 

 

         

         F F

         

      A          B 

 

Dùng tam gi¸c c©n BIC nh­ tam gi¸c AFB cã gãc ®¸y 150 .

Suy ra : (1) .

Ta cã (theo c¸ch vÏ) nªn: FB = IB (2).

Tõ (1) vµ (2) suy ra : ®Òu .

§­êng th¼ng CI c¾t FB t¹i H . Ta cã: = 300 ( gãc ngoµi cña ).

Suy ra: = 900 ( v×  = 600 ) Tam gi¸c ®Òu FIB nªn IH lµ trung trùc cña FB hay CH lµ ®­êng trung trùc cña . VËy  c©n t¹i C . Suy ra : CF = CB (3)

MÆt kh¸c : c©n t¹i F . Do ®ã: FD = FC (4).

Tõ (3) vµ (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).

VËy ®Òu.

Gi¶I b»ng ph­¬ng ph¸p kh¸c ®óng cho ®iÓm t­¬ng ®­¬ng.

==============================

®Ò 14

C©u 1 (2 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc

f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x2+4-3x.

C©u 2  (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.

(x+y+z)3 –x3-y3-z3.

C©u 3 (2 ®iÓm ) :

a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2 +x+1

b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3)

C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a2+b2+c2=ab+bc+ac th× a=b=c

C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho

PAC = PBC. Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC. PK vu«ng gãc víi CA. Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB. Chøng minh : DK=DM.

 

§¸p ¸n

 

Bµi 1 (2 ®iÓm) Chia f(x) cho g(x)

Ta cã : x4-3x2+3x2+ax+b: x2-3x+4.

= x2+1 d­ (a-3)x + b+4   (1 ®iÓm)

f(x): g(x) khi vµ chØ khi sè d­ b»ng kh«ng.

Tõ ®©y suy ra    (1 ®iÓm ).

a-3=0  => a=3

b+4=0 => b=-4

Bµi 2 (2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.

(x+y+2)3 –x3-y3-z3 =A

Ta cã : (x+y+z)3 –x3-y3-z3 = [(x+y+z)3-x3]-(y3+23).

¸p dông h»ng ®¼ng thøc 6 vµ 7.

A= ( x+y+z-x) [(x+x+z)2 + (x+y+z)x + x2) – (x+z)(y2-y2+z2)       (1 ®iÓm)

   = (y+z)[x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+xy+xz+x2+x2-y2+yz-z2].

   = (y+z) (3x2+3xy+3xz+3yz).

   = 3(y+z) [x(x+y)+z((x+y)]

   = 3(x+y) (y+z) ) (x+z)            (1 ®iÓm).

Bµi 3 : (2 ®iÓm ).

a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2+x+1

Ta cã : x2+x+1 = (x+)2 +

Gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi (x+)2=0 Tøc x = -           (1 ®iÓm).

b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A= h(h+1) (h+2) (h+3)       (1 ®iÓm).

Ta cã : A= h(h+1) (h+2) (h+3)

               = h(h+3) (h+2) (h+1)

               = (h2+3h) (h2+3h+2)

§Æt :  3h+h2 =x

A= x(x+2) = x2+2x = x 2+2x+1-1

   =  (x+1)2-1 -1  Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ -1.

Bµi 4 (2 ®iÓm ) Chøng minh.

Theo gi¶ thiÕt : a2+b2+c2 = ab+ac+bc.

Ta cã : a2+b2+c2 – ab-ac-bc  = 0

Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0            (1 ®iÓm).

(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2= 0

§iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi.

a-b = b-c = a-c = 0    Tøc lµ : a=b=c  (1 ®iÓm).

Bµi 5 (2 ®iÓm)                                                      C

Gäi E lµ trung ®iÓm cña AP                           

F lµ trung ®iÓm cña BP                               K                      M

Ta cã :  KE=AP = EP                                       P                       

             FM = BP =FP                             E                   F             

               A                    D                        B

 

Tø gi¸c DEPF lµ h×nh b×nh hµnh v× DE//BP, DF//AP

Do ®ã : ED=FM        ;     EK =EP=DF

Tõ c¸c tam gi¸c vu«ng APK; BPM ta suy ra.

KEP =2KAP      ;    MEP = 2MBP

 DEPF lµ h×nh b×nh hµnh nªn DEP= DFP

Theo gi¶ thiÕt  KAD = MBP nªn KEP = MFP

VËy DEK = DPM suy ra DEK= MFO (c.g.c)

Do ®ã : DK=OM

==========================

®Ò 15

C©u 1: (2®) T×m hai sè biÕt

 a.  HiÖu c¸c b×nh ph­¬ng cña 2 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp b»ng 36

 b. HiÖu c¸c b×nh ph­¬ng cña 2 sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp b»ng 40

C©u 2: (1,5®) Sè nµo lín h¬n:

 

C©u 3: (1,5 ®) Gi¶i ph­¬ng tr×nh

 

C©u 4: (1®) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh ax –b> bx+a

C©u 5: (2,5®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®­êng th¼ng AK song song víi BC. Qua B vÏ ®­êng th¼ng BI song song víi AD. BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh r»ng:

a. EF song song víi AB

b. AB2 = CD.EF

C©u 6: (1,5®) Cho h×nh thang ABCD (AD//BC) cã hai ®­êng chÐo, c¾t nhau ë O . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam gi¸c BOC lµ 169 cm2 vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOD lµ 196 cm2.

§¸p ¸n

C©u 1: a. Gäi 2 sè ch½n liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (x ch½n).

 Ta cã: (x+2)2  -x2 =36  => x = 8.

 VËy 2 sè cÇn t×m lµ 8 vµ 10.

 b. Gäi 2 sè lÎ liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (xlÎ)

 Ta cã (x+2)2 –x2  = 40 => x = 9

 VËy 2 sè cÇn t×m lµ 9 vµ 11.

C©u 2: Theo tÝnh chÊt cña ph©n thøc ta cã:

 

= <

C©u 3: Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi:

               

             

x=-1001.

VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x=-1001.

C©u 4:  * NÕu a> b th× x>

                * NÕu a<b th× x<

 * NÕu a=b th× 0x> 2b

  + NghiÖm ®óngvíi mäi x nÕu b<0

  + V« nghiÖm nÕu b

C©u 5:

a. ®ång d¹ng (g.g) =

               ®ång d¹ng (g.g) =

Mµ  KD = CI = CD – AB = // KC

VËy AF// AB

b. ®ång d¹ng, suy ra

(1)

              Do EF// DI                 (2)

Tõ (1) vµ (2)

C©u 6: Theo ®Ò bµi ta ph¶i tÝnh diÖn

tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm2

                  SAOD = 196 cm2

Ta nhËn thÊy SABD = SACD (v× cã chung ®¸y AD

vµ ®­êng cao t­¬ng øng b»ng nhau)

Suy ra SABO = SCOD

Tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta rót ra r»ng: tû sè diÖn tÝch hai tam gi¸c cã chung ®­êng cao b»ng tû sè hai ®¸y t­¬ng øng.

Do ®ã: => SABO.SCOD  = SBOC.SAOD

Mµ SABO = SCOD nªn: S2ABO = SAOD . SBOD = 169.196 = 132 .142

=> SABO = 13.14 = 182 (cm2)

================

 

®Ò 16

C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn.

                              2x3 + x2 + 2x + 5

  A=

                                     2x + 1

C©u 2(2®): Gi¶i ph­¬ng tr×nh

  x2 - 3|x| - 4 = 0

C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t­¬ng øng c¸c ®iÓm P, Q, R. Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång qui lµ:

PB      QC       RA

       .           .             = 1

PC      QA       RB

C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

 M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2

C©u 5(2®): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

 A = 3x2 + y2

 

§¸p ¸n

C©u 1

                A nguyªn 2x+ 1 lµ ­íc cña 4

 ¦(4) = 1; 2; 4

Gi¶i ra x = -1; x= 0 th× A nguyªn.

C©u 2:  x2 - 3|x| - 4 = 0

3|x| = x2 - 4

3x = (x2 - 4)

x2 - 3x - 4 = 0 hoÆc x2 + 3x - 4 = 0

Gi¶i 2 ph­¬ng t×nh nµy ®­îc    S = -4; 4

C©u 3: (S¸ch ph¸t triÓn to¸n 8)

C©u 4: M = 18 khi a = b = …

C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc...

Ta cã: A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x- 1/4)2 + 1/4    A ≥ ¼

VËy Amin = 1/4 khi x = 1/4 ; y = 1/4.

=========================

®Ò 17

Bµi 1. Cho biÓu thøc:

A =

a)     T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh.

b)    Rót gän biÓu thøc A.

c)     T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 2:

a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:     

b) T×m a, b ®Ó: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1

Bµi 3.

Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M kÎ c¸c ®­êng th¼ng song song víi hai ®­êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®­êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn l­ît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J.

a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF.

b) Trong tr­êng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF.

Bµi 4. Cho a 4; ab  12. Chøng minh r»ng  C =  a + b

§¸p ¸n

Bµi 1:

a)     §iÒu kiÖn:

b)    A = =

c)     Ta cã: A nguyªn (x + 2006)

Do x = kh«ng tho· m·n ®k. VËy A nguyªn khi x =

Bµi 2.

a) Ta cã:

               

                    

 

    (2006 - x) = 0 x = 2006

b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc, råi tõ ®ã ta t×m ®­îc:

Bµi 3.                                                                                 

a) Ta cã:   (1)

  (2) 

  (3)

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra    hay   FI.FJ = EI.EJ  (4)

NÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× tõ (4) ta cã:

b) NÕu AB = 2CD th× nªn theo (1) ta cã

suy ra: EF = FI + IE = 3FI. T­¬ng tù tõ  (2) vµ (3) ta cã EF = 3EJ.

Do ®ã: FI = EJ = IJ = kh«ng liªn quan g× ®Õn vÞ trÝ cña M. VËy M tuú ý trªn AB

Bµi 4. Ta cã: C = a + b = (   (§PCM)

============================

®Ò 18

C©u 1:

  1. T×m sè m, n ®Ó: 
  2. Rót gän biÓu thøc:

   M =

C©u 2:

  1. T×m sè nguyªn d­¬ng n ®Ó n5 +1 chia hÕt cho n3 +1.
  2. Gi¶i bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn.

C©u 3:

 Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®­êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ ®­êng trung trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG = 2HE vµ AG = 2HF.

C©u 4:

 Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n:

  a = ;   b =

 

§¸p ¸n

C©u 1: (3®)

 a. m =1   (0.75®);                               n = -1   (0.75®)

b.(1.5®) ViÕt mçi ph©n thøc thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc

 (¸p dông c©u a)

  (0.25®)

   (0.25®)

   (0.25®)

   (0.25®)

 §æi dÊu ®óng vµ tÝnh ®­îc :

 M =  (0.5®)

C©u 2: (2.5®)

  1. (1.5®)

 BiÕn ®æi:

  n5 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1) – (n2 –1) n3 + 1 (0.5®)

  (n + 1) (n – 1) (n + 1)(n2 - n + 1) (0.25®)

  n – 1 n2 – n  + 1  (v× n + 1   0 ) (0.25®)

 NÕu n = 1 th× ta ®­îc 0 chia hÕt cho 1 (0.25®)

 NÕu n > 1 th× n – 1 < n(n – 1) + 1 = n2 – n +1

  Do ®ã kh«ng thÓ x¶y ra quan hÖ n – 1 chia hÕt cho n2 – n +1 trªn tËp hîp sè nguyªn d­¬ng

  VËy gi¸ trÞ duy nhÊt cña n t×m ®­îc lµ 1 (0.25®)

  1.      n – 1 n2 – n +1

n(n – 1) n2 – n  + 1

                n2 – n n2 – n  + 1

                             ( n2 – n  + 1) – 1 n2 – n  + 1

                             1                  n2 – n  + 1 (0.5®)

  Cã hai tr­êng hîp:

              n2 – n  + 1 = 1 n(n – 1) = 0 n = 0 hoÆc n = 1

C¸c gi¸ trÞ nµy ®Òu tho¶ m·n ®Ò bµi (0.25®)

              n2 – n  + 1 = - 1 n2 – n  + 2 = 0 v« nghiÖm

VËy n = 0, n = 1 lµ hai sè ph¶i t×m (0.25®)

C©u 3: (3®) (H×nh *)

              LÊy I ®èi xøng víi C qua H, kÎ AI vµ BI, ta cã HE lµ ®­êng trung b×nh cña ACI nªn HE//AI vµ HE = 1/2IA      (1)              (0.25®)

  T­¬ng tù trong CBI : HF//IB vµ HF = 1/2IB   (2)  (0.25®)

Tõ BGAC vµ HEAC BG//IA  (3)  (0.25®)

T­¬ng tù AKBC vµ HFBC AG//IB   (4) (0.25®)

Tõ (3) vµ (4) BIAG lµ h×nh b×nh hµnh (0.25®)

Do ®ã BG = IA vµ AG = IB (0.5®)

KÕt hîp víi kÕt qu¶ (1) vµ (2) BG = 2HE vµ AG = 2HF (0.5®)

                  

C©u 4: (1.5®)

Ta cã:  19702 – 1 < 19702

               1969.1971 < 19702

                 (*) (0.25®)

Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*)

ta cã:

              (0.25®)

              (0.25®)

              (0.25®)

VËy:               (0.25®)

 

===============================

®Ò 19

Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc

A =

a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A?

b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2

c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A < 0

d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn

bµi 2 (2,5®)

a. Cho P =

Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x

b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh

                   

Bµi 3 (1®)

    T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc  A =

Bµi 4 (3®)

   Cho vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn l­ît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB vµ AC

a. CMR: E, A, H th¼ng hµng

b. CMR: BEFC lµ h×nh thang, cã thÓ t×m vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë thµnh mét h×nh thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®­îc kh«ng.

c. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt?

Bµi 5 (1®)

Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1

CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1)

§¸p ¸n

Bµi 1 (2,5®)

sau khi biÕn ®æi ta ®­îc;

A =      0,5®

  1. TX§ =      0,25®

Rót gän:   A =   0,25®

  1. §Ó A = 2        (tho· m·n ®iÒu kiÖn cña x) 0,5®
  2. §Ó A < 0 th×   (Tho· m·n ®k cña x)    0,5®
  3. §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× (2 - x) ph¶i lµ ­íc cña 2. Mµ ¦ (2) =

suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4. Nh­ng x = 0 kh«ng tho· m·n §K cña x     0,25®

    VËy x = 1; x =3.; x=4                               0,25®

Bµi 2 (2,5®)

    a. P =       1®

    Tö: x4 + x3 + x + 1 = (x+1)2(x2- x + 1)   0,25®

    MÉu: x4 - x3 + 2x2 -x +1 = (x2 + 1)(x2 -x + 1)      0,25®

    Nªn mÉu sè (x2 + 1)(x2 -x + 1)  kh¸c 0. Do ®ã kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn cña x       0,25®

    VËy P =  v× tö =   vµ mÉu x2 + 1 >0 víi mäi x  0,25®

         Nªn P

b. Gi¶i PT:

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)

x2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)

Trong ®ã

TX§ =   ph­¬ng tr×nh trë thµnh:

                      

             VËy PT ®· cho cã nghiÖm x =2; x = -10

Bµi 3 (1®)

              T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc

          

               A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 hay x =   A = . A ®¹t GTLN lµ 4      

Bµi 4 (3®)

  a.(0,75®) do E ®«ie xøng víi H qua AB nªn AB lµ ®­êng trung trùc cña ®oanh th¼ng EH

   vËy gãc EAH = gãcIAH   (1)

    gãc FAD = gãcDAH   (2)

    céng (1) vµ (2) ta cã : gãc EAH  +  gãc FAD = gãcDAH +  gãcIAH   = 900 theo gi¶ thuyÕt

     hay gãcEAI + gßcAD + BAC = 900 + 900 = 1800. Do ®ã 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng

b. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A nªn gãcABC + ACB = 900 (hai gãc nhän tam gi¸c vu«ng)

          Mµ gãcEBA = gãcABH (tÝnh chÊt ®èi xøng)

                gãcCA = gãcHCA  (tÝnh chÊt ®èi xøng)

                suy ra gãc EBA + gãc FCA = 900

                haygãc EBA + gãc  FCA + gãc ABC + gãc ACB = 1800

                suy ra gãc EBC + gãc FBC = 1800 (hai gãc trong cïng phÝa bï nhau)

                do ®ã BE song song CF. Vậy tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang          0,75®

            Muèn BEFC lµ h×nh thang vu«ng th× ph¶i cã gãc AHC = 900 () vËy H ph¶i lµ ch©n ®­êng cao thuéc c¹nh huyÒn cña tam gi¸c ABC

           Muèn BEFC lµ h×nh b×nh hµnh th× BE = CF suy ra BM = HC. VËy H ph¶i lµ trung ®iÓm cña BC………….. 0,25®

           Muèn BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt th× BEFC ph¶i cã mét gãc vu«ng suy ra () ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× tam gi¸c ABC kh«ng phaØ lµ tam gi¸c vu«ng c©n…..0,25®

    c.lÊy H bÊt kú thuéc BC gÇn B h¬n ta cã:

          dùng h×nh ch÷ nhËt HPQD b»ng AIHD

           vËy Stam gi¸c EHF = Stø gi¸c  ¶IPQ. Ta cã tam gi¸c HBI = tam gi¸c HMB (g.c.g)

           suy ra

    víi H gÇn C h¬n ta còng cã:Stø gi¸c ABMQ < Stam gi¸c ABC

     khi H di chuyÓn trªn BC ta lu«n cã SEHF . T¹i vÞ trÝ h lµ trung ®iÓm cña BC th× ta cã

           SEHF = SABC. Do ®ã khi H lµ trung ®iÓm cña BC th× SEHF lµ lín nhÊt.

Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1

   Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1)

            Do a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng nªn ta cã;

            (a – 1)2    (1) …………0,25®

           T­¬ng tù (b + 1)2 4b   (2)………………0,25®

                (c + 1)2 4c   (3) …………0,25®

     Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã:

(b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 64abc   (v× abc = 1)

((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 64

(b + 1)(a – 1)(c + 1)  8…..0,25®

=======================================

®Ò 20

C©u I :(3®)

a)     Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

A = x3 +8x2 + 19x +12 .         B = x3 +6x2 +11x +6 .

b)    Rót gän ph©n thøc :

                                      .

C©u II : (3®) .

1 ) Cho ph­¬ng tr×nh Èn x.

           

a)     Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi a = 4.

b)    T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho ph­¬ng tr×nh nhËn x = -1 lµm nghiÖm.

2 ) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh sau : 2x2 + 10x +19 > 0.

C©u III (3®): Trong h×nh thoi ABCD ng­êi ta lÊy c¸c ®iÓm P vµ Q theo thø tù trªn AB vµ CD sao cho AP = 1/ 3 AB vµ CQ = 1/ 3 CD. Gäi I lµ giao ®iÓm cña PQ vµ AD , K lµ giao ®iÓm cña DP vµ BI , O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.

a)     Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhËn xÐt vÒ tam gi¸c BID vµ vÞ trÝ cña K trªn IB.

b)    Cho Bvµ D cè ®Þnh t×m quü tÝch cña A vµ I.

C©u IV : (1®) .T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh sau :

                                                    yx2 +yx +y =1.

§¸p ¸n

 

Bµi I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4)               (1®)

                     B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3)         (1®)

                2)        (1®) 

     Bµi II :1) . Ph­¬ng tr×nh        (1)

      §iÒu kiÖn: x -2 vµ x a.

(1)            x2 – a2+ x2 – 4 = 2x2 + 2(2- a)x – 4a

             – a2 - 4 + 4a     = 2(2- a)x

             - (a - 2)2         =   2(a - 2)x  (*)

a)     víi a =4 thay vµo (*) ta cã :

      4 =4x       x=1                                                     (1®)

b)    . Thay x= -1 vµo (*) ta ®­îc.

      (a – 2 )2 + (a - 2)= 0

(a - 2) (a – 2 + 2) = 0

         a = 2

    a = 0                                                                 (1®)

2) . Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh :

       2x2 + 10x + 19 > 0    (1)

      BiÕn dæi vÕ tr¸i ta ®­îc.

    2x2 + 10x + 19  =   2x2 + 8x +8 + 2x +4 +7

                                =2(x2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7

                                = 2(x + 2)2 +2(x + 2) + 7

   = (x + 3)2 + (x + 2)2 + 6  lu«n lín h¬n 0 víi mäi x                                                                                   

Nªn bÊt ph­¬ng tr×nh (1)  NghiÖm ®óng víi x .         (1®)          

   Bµi III .                                                                                                                 

                                           AP // DQ                                             

XÐt tam gi¸c IDQ  cã .       AP =     DQ                                                                           

Theo ®Þnh lý Ta LÐt trong tam gi¸c ta cã :   (0,75® )                                                   

            

Tam gi¸c BID lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B v×     AO DB      vµ AO lµ ®­êng trung

b×nh cña  BID 

    §iÓm   K lµ trung ®iÓm cña IB. (Do DK lµ ®­êng trung tuyÕn cñaBID ) .      (0,75®)

    b).   Víi B vµ D cè ®Þnh nªn ®o¹n DB cè ®Þnh.Suy ra trung ®iÓm O cè ®Þnh.

MÆt kh¸c AC BD , BI  DB vµ vai trß cña A vµ C lµ nh­ nhau . Nªn quü tÝch cña A lµ ®­êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm O.Quü tÝch cña ®iÓm I lµ ®­êng th¼ng ®i qua B vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm B.                                                  (1®)

§¶o: Víi A vµ I ch¹y trªn c¸c ®­êng ®ã vµ AD = AI .Th× AP = AB vµ CQ = CD.

ThËt vËy : Do AP // DQ  suy ra   mµ AB = CD §PCM. (0,5®)

Bµi IV:     y x2 + y x + y = 1   .  (1)

             NÕu ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x ,y > 0.

(1)                 y(x2 + x +1) = 1

                             y= 1                                 y = 1 ,x= 0

                                 x2 + x +1 =1

      VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trªn lµ (x,y) = (0 ,1).           (1®)

===================================

®Ò 21

I. §Ò bµi:

Bµi 1:(2 ®iÓm)  Cho A =

Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0.

Bµi 2:(3 ®iÓm)  Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

 1)  (x+1)4 + (x+3)4 = 16

 2)  

Bµi 3:(2 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè:

  a = kh«ng ph¶i lµ mét sè nguyªn.

Bµi 4:(3 ®iÓm)

Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA.

a)     Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao?

b)    T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng?

c)     Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c ABCD vµ MNPQ.

§¸p ¸n

Bµi 1:(2 ®iÓm)  Ta cã: a + b + c = 0 b + c = - a.  0.25 ®iÓm

B×nh ph­¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 =  a2

  b2 + 2bc + c2 = a2 b2 + c2 - a2 = -2bc     0.5 ®iÓm

T­¬ng tù, ta cã:  c2 + a2 - b2 = -2ca

 a2 + b2 - c2 = -2ab      0.5 ®iÓm

A = (v× a + b + c = 0)      0.5 ®iÓm

VËy A= 0.      0.25 ®iÓm

Bµi 2:(3 ®iÓm)  Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

1)           §Æt y = x + 2 ta ®­îc ph­¬ng tr×nh:

(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16

y4 + 6y2 -7 = 0     0.5 ®iÓm

§Æt z = y2 ta ®­îc ph­¬ng tr×nh: z2 + 6z – 7 = 0 cã hai nghiÖm lµ

z1 = 1 vµ z2 = -7.     0.5 ®iÓm

 

  • y2 = 1 cã 2 nghiÖm y1 = 1 ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3.
  • y2 = -7 kh«ng cã nghiÖm.      0.5 ®iÓm

 2)  

  

      0.5 ®iÓm

 = 0      0.5 ®iÓm

      0.5 ®iÓm

Bµi 3:(1,5 ®iÓm)  Ta cã:

 a =        0,5®iÓm

 = ;       0.5 ®iÓm

 MÆt kh¸c a > 0. Do ®ã a kh«ng nguyªn    0.5 ®iÓm

 

Bµi 4:(3,5 ®iÓm)

VÏ h×nh, viÕt gi¶ thiÕt - kÕt luËn ®óng     0.5 ®iÓm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh            1 ®iÓm

b) MNPQ lµ h×nh vu«ng khi vµ chØ khi AC = BD, ACBD        1 ®iÓm

c)   SABCD =;  SMNPQ =;   0.5 ®iÓm

       0.5 ®iÓm

=========================

®Ò 22

Bµi 1 (3 ®iÓm)

a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.

A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120

b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24

Bµi 2 ( 3 ®iÓm)

a. T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph­¬ng tr×nh:

b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B = víi x # 0

Bµi 3 ( 1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: P =

Bµi 4 ( 3 ®iÓm )

Cho Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A. §iÓm M trªn c¹nh BC. Tõ M kÎ ME vu«ng gãc víi AB, kÎ MF vu«ng gãc víi AC ( E AB ; F   AC )

a. Chøng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 vµ chu vi tø gi¸c MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M.

b. T©m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt.

c. Chøng tá ®­êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh

 

§¸p ¸n

Bµi 1:  a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120

KÕt qu¶ ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4)  ( 2®iÓm )

           b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)

 

=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)

Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A 24   (1 ®iÓm )

Bµi 2: a.

T×m ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x1 = 0; x2= -1 (1.5 ®iÓm)

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

B= víi x # 0 gi¶i vµ t×m ®­îc B max = 1/2 th×  x =    ( 1, 5 ®iÓm )

Bµi 3 Rót gän biÓu thøc:

P =  ( 1®iÓm )

Bµi 4: Gi¶i a. chøng minh ®­îc

F C . BA + CA. BE = AB2 (0,5 ®iÓm )

+ Chøng minh ®­îc chu vi tø gi¸c

MEAF = 2 AB

( kh«ng phô vµo vÞ trÝ cña M ) ( 0,5 ®iÓm )

b. Chøng tá ®­îc M lµ trung ®iÓm BC

Th× diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt (1 ®iÓm )

c. Chøng tá ®­îc ®­êng th¼ng

MH EF lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh ( 1 ®iÓm )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Đề 23       

 

 

Câu 1: (4đ)

a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6

b, Cho x Z  chứng minh rằng  x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1

Câu 2: (2đ)

Cho x,y,z 0 thoả mãn  x+ y +z = xyz  và + + =  

Tính giá trị của biểu thức  P =

Câu 3: (3đ)  Tìm x biết

a,    < 5x -4

b,   + =

Câu 4: (3đ)

a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9  với mọi n N*

b, Cho x,y,z > 0  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

Bài 5: (6đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

  1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
  2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
  3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .

Bài 6: (2 đ)

   Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.

 

 

Đề 23

 

Câu1(4đ)

 

 

a,đặt a = x2 -2x  thì x2 -2x -1 = a-1

A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)

b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)

=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)

dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1

A chia hết cho x4 + x2 + 1 

 

 

.1đ

 

 

 

 

Cau 2 :(2đ

 

 

Có (= + 2(

(= p + 2 vậyP+2=3

suy ra P = 1

 

 

 

 

0.75đ

 

0,75đ

 

0.5đ

Câu 3: (3đ)

 

 

 

 

 

giải  4-5x < 3x +2< 5x - 4

làm đúng được x> 3

b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung

(x+100)() = 0  S =

 

0.5đ

 

0.5đ

 

Câu 4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,  = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)

=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)

Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3

=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)

Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp )

3(n+1) chia hết cho3  B  chia hết cho 3 A =3B  chia hết cho 9

b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c  x+y+z =

x = ; y = ; z=

P = = =

Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z

 

 

0.5đ

 

0,5đ

 

 

0,5đ

 

 

 

 

 

0.5đ

 

 

 

 

 

 

Câu 5: (2đ)

 

 

 

 

 

 

 

+ Hai tam giác ADC và BEC có:

  Góc C chung.

  (Hai tam giác vuông CDE và CAB  đồng dạng)

 

 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).

Suy ra:BEC=(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên do đó  tam giác ABE vuông cân tại  A.

Suy ra:

 

 

0,25 đ

0,25 đ

 

 

 

 

0,25 đ

0,5 đ

 

0,25 đ

0,5 đ

 

b)

Ta có: (do~)

(tam giác AHD vuông vân tại H)

nên (doABH Đồng dạng      CBA)

Do đó        BHM đồng dạng       BEC (c.g.c)

 

suy ra:

0,5đ

 

 

 

 

 

 

0,5đ

C)

Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Suyra: ,

~nên   (DE//AH)

 

Do đó:

 

 

 

 

 

 

Câu 6

 

Đặt: 2p+1=a3  (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1)

Vì p là số nguyên tố nên:

Hoặc : a-1=2  suy ra p=13 ( thoả mãn)

Hoặc: a2+a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1

Vởy trong các số tự nhiên  có dang 2p+1 (p là số nguyên tố) chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác.

 

0,5đ

 

 

0,5đ

 

 

Đề 24                                                                 

 

 

     Câu 1:  (4điểm)

a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= 

b. Cho  (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0.  Chứng minh :

Câu 2: (3điểm)

a. Tìm x,y,x biết :

b.Giải phương trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9

Câu 3: (3điểm)

a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với aZ

b. Chứng minh rằng :  x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi xZ+

Câu 4: (2điểm)

Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức :

  Câu 5: (6 điểm)

cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H

a)tính tổng :

Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc  AIC; AIB(MAC;NAB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM

c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu thức :

đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 6(2điểm)

Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì

                  (1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ. 

                         ……………..Hết…………………….   

Đề 24

 

Bài

                                                    Nội dung

điểm

Bài1

a)

 

 

 

b)

3y-x=6   x=3y-6

Thay vào ta có A=4

Vì:   (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0. 

                                                                            Đặt :                                            chứng minh bài toánNếu   x+y+z=0 thì: x3+y3+z3=3xyz đpcm

0,5đ

 

 

1,5đ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bài 2:

a)

1,5đ

 

 

 

 

 

 

 

b)

1,5đ

. : =0

   

.phươngtrình:      

2x(8x-1)2(4x-1)=9

đặt :64x2-16x+0,5=k

Ta có pt :  (k+0,5)(k-0,5)=72

Với k=8,5    Ta có x=   

Với k=-8,5 phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2

 

 

 

 

 

 

 

0,5đ

 

 

 

 

 

0,25đ

 

 

 

0,5đ

 

 

0,25đ

 

 

 

0,25đ

 

0,25đ

Bài 3

a)

1.5đ

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

1.5đ

,    có: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5)

         = a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)

vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên(2)   

5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết cho 30

Từ (1); (2) suy rađpcm

 

b,Từ bài toán trên ta có:  x5-x x5-x+2 chia 5 dư 2

x5-x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương nào có tận cùng là 2hoặc 7)           Vậy:

x5-x+2 không thế là số chính phương với mọi x

 

 

0, 75đ

 

 

0,25đ

 

 

0,25đ

 

0,25đ

 

 

0,75đ

 

 

0,5đ

 

0,25đ

Câu4

đặt A=  = = =  

tacó x+ >0 Nên A8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

 

 

 

 

 

 

 

0,5đ

 

0,5đ

câu 5

a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b.

 

 

 

 

 

 

c)

 

 

Ta có : (1)

Tương Tự:                   (2)

(3)

Từ (1); (2); (3) ta có: =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 đ

 

 

0,25 đ

 

0,25 đ

 

0,5 đ

 

 

 

 

0,75 đ

 

0,75 đ

 

0,5 đ

 

 

0,5 đ

 

 

0,25 đ

 

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

 

0,25 đ

    b) áp d ụng tính chất đường phân giác  vào các tam giácABC, abi, aic:

        suy ra                                                                          

                                                            

c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx                            

-Chứng minh được góc  BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’                     

- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD                                                 

-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2                                                 

     AB2 + AD2   (BC+CD)2                                                                  

        AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2

                  4CC’2 (BC+AC)2 – AB2                                                                    

Tương tự:  4AA’2 (AB+AC)2 – BC2

                  4BB’2  (AB+BC)2 – AC2                                                         

-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)                                                                 

                                                                       

(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB=BC 

Tức tam giác ABCđều

u6

 có                          1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b)

                 Tương tự         1+b2  =(a+b)(b+c)

                                        1+c2=(b+c)(a+c)       đpcm 

 

 

 

0,5đ

0,5đ

                                            

 

Đề 25 

 

Bài 1: (5 điểm)

Cho biểu thức:

a/ Thu gọn  A

b/ Tìm các giá trị của x để A<1

c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên

Bài 2:

(3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện   a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0

Bài 3 (4 điểm):

             a) Giải phương trình:

           

  b)    Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức

      x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)

Bài 4 (6 điểm):

Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm  của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của Dk và EM.

a/ Tính số đo góc DBK.

b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng.

Bài 5: (2 điểm)

          Tìm nghiệm nguyên của phương trình:       x6+3x2+1=y3

 

Đề 25

 

BÀI

                            NỘI DUNG

 

Bài 1

a)

 

 

 

 

 

b)

 

 

c)       

A=     ĐKXĐX{0;1;-1}

A=

A=

Tacó:1-A=>0 khi x-1<0 suy ra x<1

Kết hợp với điều kiện xác định ta có:A<1 khi:x<1 và x≠0;-1

A= 1+

Vì x nguyên nên x-1 nguyên để A là số nguyên  thì x-1là ước của 1

Hoặc x-1=1 suy ra x=2

Hoặc x-1=-1 suy ra x=0 (loai)

Vởy x=2 là giá trị cần tìm

 

0,5đ

 

 

0,5đ

 

 

0,5đ

 

 

 

 

0,5đ

 

 

Bài 2:

 

Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vì a2+b2+c2=1

Nếu abc >0  ta có:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1

A=(a+b+c+1)2+abc(1)

Nếu: abc<0 ta có:

A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc

Biến đổi được :A=(1+a)(1+b)(1+c) +(-abc)

Vì ì a2+b2+c2=1nên -1  nên (1+a)(1+b)(1+c)

Và -abc nên A (2)

Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)

 

 

0,5đ

0,5đ

 

0,5đ

0;5đ

 

0,5đ

0,5đ

Bài 3:

a)

 

 

 

b)

Biến đổi phương trình về:

Đkxđ: y {3; }

3y+1=-2y+6

 y=1(thoả mãn) vậyphương trình có nghiệm duy nhất y=1

Từ giả thiết chỉ ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c

(x2-2x+5 )(x2+bx+c) mà b; c là các số nguyên nên b=-2; c=5

Khi đó P(1) =12-2.1+5 =4

0,75đ

 

0,25đ

 

0,5đ

0,5đ

0,75đ

0,75đ

0,5đ

 

 

 

Bài 4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số 1/2

Từ đó chứng minh:CK=ED (1)

EB=BC (2)  

=1350 (3)

từ: (1);(2);(3)suy ra:                               

 

 

Chứng minh tứ giác DEKM là hinhchữ       

nhật

Suy ra tam giác CKM vuông cân tại M

H là trung điểm củaCM

AI//DM (cùng vuông góc với DE) HI//DM (T/c đường trung bình) nên A; ;I;H thẳng hàng (1)

Các tam giác CIH; CHK vuông cân tại Cvà H nên    KH= CI =DI

Mà DI//KH nên tứ giác DIKH là hình bình hành

Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật

Do đó EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK

vậy: GIH (2)

Tử (1); (2) ta có  A;I;G;H thẳng hàng

0,5đ

 

 

0,5đ

 

 

 

 

0,5đ

 

 

 

0,5đ

 

0,5đ

 

0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0.5đ

0,25đ

0,5đ

Bài 5:

Với x≠ 0 ta có 3x4>0; 3x2>0  ta có

(x2)3 <y3<(x+1)3 nên phương trình vô nghiệm

Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1

Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1)

 

0,5đ

1,0đ

0,25đ

0, 25đ

 

 

ĐỀ THI SỐ 26

Câu 1: (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x2 – 7x + 2;                           b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm)

Cho biểu thức :

a)     Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?

b)    Tìm giá trị của x để A > 0?

c)     Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.

Câu 3: (5,0  điểm)

a)     Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

b)                 Cho . Chứng minh rằng : .

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

a)     Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 

b)    Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c)     Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

 

 

Nội dung đáp án

Điểm

Bài 1

 

 

a

 

2,0

 

3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 =

1,0

= 3x(x -2) – (x - 2)

0,5

= (x - 2)(3x - 1).

0,5

b

 

2,0

 

a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =

1,0

= ax(x - a) – (x - a) =

0,5

= (x - a)(ax - 1).

0,5

Bài 2:

 

5,0

a

 

3,0

 

ĐKXĐ :

1,0

1,0

0,5

0,25

Vậy với thì  .

0,25

b

 

1,0

 

Với

0,25

0,25

0,25

Vậy với x > 3 thì A > 0.

0,25

c

 

1,0

 

0,5

0,25

Với x = 11 thì A =

0,25

Bài 3

 

5,0

a

 

2,5

 

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0

 

(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0

1,0

9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)

0,5

Do :

0,5

Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1

0,25

Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

0,25

b

 

2,5

 

Từ :    

0,5

ayz + bxz + cxy = 0

0,25

                Ta có :          

0,5

0,5

0,5

0,25

Bài 4

 

6,0

 

0,25

a

 

2,0

 

Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF

0,5

Chứng minh :

0,5

=> BE = DF

0,25

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.

0,25

b

 

2,0

 

Ta có:

0,5

Chứng minh :

1,0

0,5

b,

 

1,75

 

Chứng minh :

0,25

 

0,25

 

Chứng minh :

0,25

 

0,25

 

Mà : CD = AB

0,5

 

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC  =  (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

0,25

 

ĐỀ SỐ 27

Câu1.

a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

       

b. Giải phương trình:  

c. Cho  . Chứng minh rằng:

 

Câu2. Cho biểu thức:     

  a. Rút gọn biểu thức A.

    b. Tính giá trị của A , Biết x =.

      c. Tìm giá trị của x để A < 0.

        d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

 

Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.

a. Chứng minh:

b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

 

Câu 4. 

a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 

b. Cho a, b d­¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002

Tinh: a2011 + b2011

 

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1

(6 điểm)

a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2

       = (x4 + 4x2 + 4) -  (2x)2

        = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)  

 

    ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24

     = (x2 + 7x  + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24

     = [(x2 + 7x  + 11)2 - 1] - 24

     = (x2 + 7x  + 11)2 -  52

     = (x2 + 7x  + 6)( x2 + 7x  + 16)

     = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x  + 16)

(2 điểm)

 

b.  <=>      (*)

Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0      

     (*)  <=> (x - 5)(x + 6) = 0 

                    

(2 điểm)

c. Nhân cả 2 vế của:

với a + b + c; rút gọn đpcm 

(2 điểm)

Câu 2

(6 điểm)

Biểu thức:

 

a. Rút gọn được kq:

(1.5 điểm)

b. hoặc         

hoặc

(1.5 điểm)

c.

(1.5 điểm)

d.

(1.5 điểm)

 

 

 

 

 

Câu 3

(6 điểm)

  

HV + GT + KL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 điểm)

 

a. Chứng minh:  

đpcm

(2 điểm)

b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm

(2 điểm)

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

không đổi

lớn nhất (AEMF là hình vuông)

là trung điểm của BD.

(1 điểm)

Câu 4:

(2 điểm)

 

a. Từ: a + b + c = 1         

 

Dấu bằng xảy ra a = b = c =

 

(1 điểm)

b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab =  a2002 + b2002

     (a+ b) – ab = 1

     (a – 1).(b – 1) = 0

     a = 1 hoÆc b = 1

Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i)

Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i)

VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

(1 điểm)

       

                §Ò thi S28

C©u 1 : (2 ®iÓm)           Cho      P=

a)   Rót gän P

b)   T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn

C©u 2 : (2 ®iÓm)

a)   Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph­¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.

b)   T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :

        P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)  cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .

C©u 3 : (2 ®iÓm)

a)  Gi¶i ph­¬ng tr×nh :  

b)  Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :

                                     A = 

C©u 4 : (3 ®iÓm)

  Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng  600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E . Chøng minh :

a) BD.CE=

b) DM,EM lÇn l­ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.

c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.

C©u 5 : (1 ®iÓm)

T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .             

®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái

C©u 1 : (2 ®)

a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)

                             =(a-1)(a+1)(a-4)                                                               0,5

    a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )

                              =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)                            0,5

    Nªu §KX§ : a                                                                 0,25   

    Rót gän P=                                                                                       0,25

b) (0,5®) P= ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ ­íc cña 3,

     mµ ¦(3)=                                                                                 0,25

    Tõ ®ã t×m ®­îc a                                                                        0,25

C©u 2 : (2®)

a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .   0,25

      Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=

                        =(a+b)   0,5 

      V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;

      Do vËy (a+b) chia hÕt cho 9   0,25

b) (1®)  P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36         0,5

     Ta thÊy (x2+5x)2 0  nªn P=(x2+5x)2-36 -36       0,25

     Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0

     Tõ ®ã ta t×m ®­îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36   0,25

C©u 3 : (2®)

a) (1®)  x2+9x+20   =(x+4)(x+5) ;

             x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;

           x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;   0,25

           §KX§ :