Chú ý:Đây là bản xem thử online, xin hãy chọn download miễn phí bên dưới để xem bản đẹp dạng .pdf
CHUYEÂN ÑEÀ: TÌM GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT,  
NHOÛ NHAÁT CUÛA MOÄT BIEÅU THÖÙC  
A. Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa moät bieåu thöùc  
1
) Khaùi nieäm: Neáu vôùi moïi giaù trò cuûa bieán thuoäc moät khoaûng xaùc ñònh naøo ñoù  
maø giaù trò cuûa bieåu thöùc A luoân luoân lôùn hôn hoaëc baèng (nhoû hôn hoaëc baèng) moät  
haèng soá k vaø toàn taïi moät giaù trò cuûa bieán ñeå A coù giaù trò baèng k thì k goïi laø giaù trò  
nhoû nhaát (giaù trò lôùn nhaát) cuûa bieåu thöùc A öùng vôùi caùc giaù trò cuûa bieán thuoäc  
khoaûng xaùc ñònh noùi treân  
2
) Phöông phaùp  
a) Ñeå tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A, ta caàn:  
+
Chöùng minh A  k vôùi k laø haèng soá  
+
Chæ ra daá “=” coù theå xaåy ra vôùi giaù trò naøo ñoù cuûa bieán  
b) Ñeå tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa A, ta caàn:  
+
Chöùng minh A  k vôùi k laø haèng soá  
+
Chæ ra daá “=” coù theå xaåy ra vôùi giaù trò naøo ñoù cuûa bieán  
Kí hieäu : min A laø giaù trò nhoû nhaát cuûa A; max A laø giaù trò lôùn nhaát cuûa A  
B.Caùc baøi taäp tìm Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa moät bieåu thöùc  
I) Daïng 1: Tam thöùc baäc hai  
Ví duï 1 :  
2
a) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = 2x  8x + 1  
2
b) Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa B = -5x  4x + 1  
Giaûi  
2
2
a) A = 2(x  4x + 4)  7 = 2(x  2)  7  
- 7  
min A = - 7  x = 2  
Vuihoc24h Kênh học tập Online  
Page 1  
4
5
2
5
4
9
5
9
5
2
5
9
5
2
2
2
25  
b) B = - 5(x + x) + 1 = - 5(x + 2.x. +  
) + = - 5(x + )  
9
2
5
max B = 5  
x =  
2
b) Ví d 2: Cho tam thöùc baäc hai P(x) = a x + bx + c  
a) Tìm min P neáu a > 0  
b) Tìm max P neáu a < 0  
Giaûi  
2
b
a
b
b
2
2
Ta coù: P = a(x + x) + c = a(x + 2a ) + (c -  
4a  
)
2
b
b
2
Ñaët c - 4a = k. Do (x + 2a  
)
0 neân:  
b
b
2
a) Neáu a > 0 thì a(x + 2a  
)
0 do ñoù P  k  min P = k  x = - 2a  
b
b
2
b) Neáu a < 0 thì a(x + 2a  
)
0 do ñoù P  k  max P = k  x = - 2a  
II. Daïng 2: Ña thöùc coù daáu giaù trò tuyeät ñoái  
) Ví duï 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa  
1
2
3x - 1  
a) A = (3x  1)  4  
+ 5  
3
x - 1  
2
2
1
ñaët  
= y thì A = y  4y + 5 = (y  2) + 1  
x = 1  
3x - 1 = 2  
1
3
3
x - 1 = - 2  
x = -  
3
x - 1  
= 2   
min A = 1  y = 2   
x - 2  
x - 3  
+
b) B =  
x - 2  
x - 3  
x - 2  
3 - x  
x - 2 + 3 - x  
= 1  
B =  
+
= B =  
+
min B = 1  (x  2)(3  x)  0  2  x   
3
2
2
x - x + 1  x - x - 2  
) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa C =  
2
Vuihoc24h Kênh học tập Online  
Page 2  
2
2
2
2
2
2
x - x + 1  x - x - 2  
x - x + 1  2 + x - x  x - x + 1 + 2 + x - x  
Ta coù C =  
=
= 3  
2
2
2
2
min C = 3 (x  x + 1)(2 + x  x ) 0  2 + x  x  
0  x  x  2   
0
(  
x + 1)(x  2)  0   
- 1  x  2  
3
) Ví duï 3:  
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  
Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  
|x-1+4-x| = 3 (1)  
x 2 x 3 x 2 3x x 23x  
Vµ  
= 1 (2)  
1 + 3 = 4  
1x4  
VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  
Ta cã tõ (1)  
2)  
DÊu b»ng x¶y ra khi  
DÊu b»ng x¶y ra khi  
2x3  
(
2
x3  
VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi  
III.Daïng 3: Ña thöùc baäc cao  
1
) Ví duï 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa  
2
2
a) A = x(x  3)(x  4)(x  7) = (x  7x)( x  7x + 12)  
2
2
Ñaët x  7x + 6 thì A = (y  6)(y + 6) = y  36 - 36  
2
Min A = - 36  y = 0  x  7x + 6 = 0 (x  1)(x  6) = 0 x = 1 hoaëc x = 6  
2
2
2
2
2
b) B = 2x + y  2xy  2x + 3 = (x  2xy + y ) + (x  2x + 1) + 2  
x - y = 0  
x - 1 = 0  
x = y = 1  
2 2  
(x  y) + (x  1) + 2 2   
=
2
2
2
2
c) C = x + xy + y  3x  3y = x  2x + y  2y + xy  x  y  
2
2
Ta coù C + 3 = (x  2x + 1) + (y  2y + 1) + (xy  x  y + 1)  
2 2  
=
(x  1) + (y  1) + (x  1)(y  1). Ñaët x  1 = a; y  1 = b thì  
2
2
2
b
2
b
3b  
4
b
2
3b  
4
2
2
2
2
4
0
C + 3 = a + b + ab = (a + 2.a. + ) +  
= (a + ) +  
Min (C + 3) = 0 hay min C = - 3  a = b = 0  x = y = 1  
) Ví duï 2: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa  
2
Vuihoc24h Kênh học tập Online  
Page 3  
4
4
a) C = (x + 8) + (x + 6)  
4
4
4
3
2
4
3
2
Ñaët x + 7 = y  C = (y + 1) + (y  1) = y + 4y + 6y + 4y + 1 + y - 4y + 6y -  
y + 1  
4
4 2  
2y + 12y + 2 2  min A = 2  y = 0  x = - 7  
=
4
3
2
4
3
2
2
b) D = x  6x + 10x  6x + 9 = (x  6x + 9x ) + (x  6x + 9)  
2
2
2
=
(x  3x) + (x  3)  
IV. Daïng phaân thöùc:  
. Phaân thöùc coù töû laø haèng soá, maãu laø tam thöùc baäc hai  
Bieåu thöùc daïng naøy ñaït GTNN khi maãu ñaït GTLN  
0  min D = 0  x = 3  
1
-
2
2  
2
2
2
2
Ví duï : Tìm GTNN cuûa A = 6x - 5 - 9x = 9  
x - 6x + 5 (3x - 1) 4  
1
1
2  
2  
4
2
2
2
2
(3x - 1) 4 4  
(3x - 1) 4  
Vì (3x  1)  
0  (3x  1) + 4  4   
1
A  - 2  
1
1
min A = - 2  
3x  1 = 0  x = 3  
2
. Phaân thöùc coù maãu laø bình phöông cuûa moät nhò thöùc  
2
3
x - 8x + 6  
2
x - 2x + 1  
a) Ví duï 1: Tìm GTNN cuûa A =  
+) Caùch 1: Taùch töû thaønh caùc nhoùm coù nhaân töû chung vôùi maãu  
2
2
3
x - 8x + 6 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1  
2
1
2
1
=
3  
2
2
x - 2x + 1  
(x - 1)  
x - 1 (x - 1)  
A =  
. Ñaët y = x - 1 Thì  
1
2
2
A = 3  2y + y = (y  1) + 2 2  min A = 2  y = 1   
x - 1  
= 1  x = 2  
+) Caùch 2: Vieát bieåu thöùc A thaønh toång cuûa moät soá vôùi moät phaân thöùc khoâng aâm  
2
2
2
2
3
x - 8x + 6 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4)  
(x - 2)  
(x - 1)  
=
2  
2  
2
2
(x - 1)  
2
x - 2x + 1  
A =  
Vuihoc24h Kênh học tập Online  
Page 4  
min A = 2  x  2 = 0  x = 2  
x
2
x 20x + 100  
b) Ví duï 2: Tìm GTLN cuûa B =  
x
x
1
1
10  
thì  
2
2
. Ñaët y = x + 10  
x 20x + 100 (x + 10)  
x = y  
Ta coù B =  
1
1
1
1
10  
2
2
2
B = ( y  
).y = - 10y + y = - 10(y  2.y. y + 400 ) + 40  
20  
2
1   
10   
1
1
y -  
- 10   
40  
=
+ 40  
1
1
1
y -  
Max B = 40  
10  
= 0  y = 10  
x = 10  
2
2
x + y  
2
2
x + 2xy + y  
c) Ví duï 3: Tìm GTNN cuûa C =  
1
2
2
2
2
(x + y) (x - y)   
2
1 1 (x - y)  
  .  
2 2 (x + y)  
x + y  
1
2
1
2
2
2
2
x + 2xy + y  
(x + y)  
2
min A = 2  
Ta coù: C =  
x
=
y
3
. Caùc phaân thöùc coù daïng khaùc  
3
- 4x  
2
x 1  
a)Ví duï : Tìm GTNN, GTLN (Cöïc trò) cuûa A =  
2
2
2
3
- 4x (4x 4x 4)(x 1) (x - 2)  
1 1  
2
2
2
x 1  
x 1  
x 1  
min A = - 1  x = 2  
Ta coù: A =  
2
2
2
3
- 4x (4x 4)(4x + 4x + 1)  
(2x 1)  
 4  4  
2
x 1  
2
2
x 1  
x 1  
Ta laïi coù: A =  
1
2
max A = 4  x =  
C. Tìm GTNN, GTLN cuûa moät bieåu thöùc bieát quan heä giöõa caùc bieán  
3 3  
1
) Ví duï 1: Cho x + y = 1. Tìm GTNN cuûa A = x + y + xy  
2
2
2
2
Ta coù A = (x + y)(x  xy + y ) + xy = x + y (vì x + y = 1)  
a) Caùch 1: Bieåu thò aån naøy qua aån kia, roài ñöa veà moät tam thöùc baäc hai  
Vuihoc24h Kênh học tập Online  
Page 5  
Töø x + y = 1  x = 1  y  
2
1
2
1
4
1
2
1   
2   
1 1  
+   
2 2  
y -  
2
2
2
2
neân A = (1  y) + y = 2(y  y) + 1 = 2(y  2.y. + ) + = 2  
1
1
Vaäy min A = 2  
x = y = 2  
b) Caùch 2: Söû duïng ñk ñaõ cho, laøm xuaát hieän moät bieåu thöùc môùi coù chöùa A  
2
2
Töø x + y = 1  x + 2xy + y = 1(1).  
2
2
2
Maët khaùc (x y)  
0  x  2xy + y  
0 (2)  
Coäng (1) vôùi (2) veá theo veá, ta coù:  
1
1
1
2
2
1  x + y2  
2
2
min A = 2  
x = y = 2  
2
2
(x + y )  
)Ví duï 2: Cho x + y + z = 3  
2
2
2
a) Tìm GTNN cuûa A = x + y + z  
b) Tìm GTLN cuûa B = xy + yz + xz  
Töø Cho x + y + z = 3  
2
2
2
2
x + y + z + 2(xy + yz + xz) = 9 (1)  
Cho (x + y + z) = 9  
1
2
2
2
2 2 2  
.2 .( x + y + z - xy  yz  zx)  
2
Ta coù x + y + z - xy  yz  zx =  
1
2 2 2  
(x  y)  (x z)  (y  z)   
2
2
2
= 2  
0
x + y + z  
xy+ yz + zx (2)  
Ñaúng thöùc xaåy ra khi x = y = z  
a) Töø (1) vaø (2) suy ra  
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
= x + y + z + 2(xy + yz + xz) x + y + z + 2(x + y + z ) = 3(x + y + z )  
2
2
2
x + y + z  
3  min A = 3  x = y = z = 1  
b) Töø (1) vaø (2) suy ra  
2
2
2
9
= x + y + z + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz)  
3(xy+ yz + zx)  
=
Vuihoc24h Kênh học tập Online  
Page 6  
xy+ yz + zx  3  max B = 3  x = y = z = 1  
) Ví duï 3:  
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x + y + z = 1  
3
1
1
3  
33 xyz  
xyz   xyz   
3
27  
V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã: x+ y + z  
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho x+y ; y+z ; x+z ta cã  
xy  
.
y z  
.
z x  
33  
xy  
.
y z  
.
xz  
2 33  
xy  
.
y z  
.
z x  
1
3
8 1  
.
8
S
27 27 729  
DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z =  
8
1
7
29  
3
khi x = y = z =  
VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ  
4
4
4
x  y  z  
4
)  duï 4: Cho xy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña  
p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z)  
¸
2
2
2
x  y  z  
2
2
2
2
2
2
xy  yz  zx  
x  y  z  
1  
Ta cã  
(1)  
2
2
2
x , y , z  
¸p dông B§T Bunhiacèpski cho (  
) vµ (1,1,1)  
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
2
2
4
4
4
(
x  y  z )  (1 1 1 )(x  y  z )  (x  y  z )  3(x  y  z )  
Ta cã  
1
4
4
4
4
4
4
 x  y  z   
1 3(x  y  z )  
3
Tõ (1) vµ (2)  
1
3
4
4
4
x  y  z  
3
3
VËy  
cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ  
khi x= y = z =  
D. Moät soá chuù yù:  
1
) Khi tìm GTNN, GTLN ta coù theå ñoåi bieán  
2
2
Ví duï : Khi tìm GTNN cuûa A =(x  1) + (x  3) , ta ñaët x  2 = y thì  
2
2
2
A = (y + 1) + (y  1) = 2y + 2 2…  
) Khi tìm cöïc trò cuûa moät bieåu thöùc, ta coù theå thay ñk cuûa bieåu thöùc naøy ñaït cöïc  
2
trò bôûi ñk töông ñöông laø bieåu thöùc khaùc ñaït cöïc trò:  
1
+
) -A lôùn nhaát  A nhoû nhaát ;  
+) B lôùn nhaát  B nhoû nhaát (vôùi B > 0)  
Vuihoc24h Kênh học tập Online  
Page 7  
2
+
) C lôùn nhaát  C lôùn nhaát  
4
x + 1  
2
2
x + 1  
Ví duï: Tìm cöïc trò cuûa A =  
1
a) Ta coù A > 0 neân A nhoû nhaát khi A lôùn nhaát, ta coù  
2
2
2
x + 1  
1
2x  
1
1  
1  
4
4
A
x + 1  
x + 1  
min A = 1  x = 0  max A = 1  x = 0  
2
2
4
2
4
2
0  x - 2x + 1  
0  x + 1 2x . (Daáu baèng xaåy ra  
b) Ta coù (x  1)  
2
khi x = 1)  
2
2
2
x
2x  
1
1
112  
4
4
4
2
Vì x + 1 > 0   
x + 1  
1   
x + 1  
max A = 2  x = 1  
1
min A = 2  
x = 1  
3
) Nhieàu khi ta tìm cöïc trò cuûa bieåu thöùc trong caùc khoaûng cuûa bieán, sau ñoù so  
saùmh caùc cöïc trò ñoù ñeå ñeå tìm GTNN, GTLN trong toaøn boä taäp xaùc ñònh cuûa bieán  
y
Ví duï: Tìm GTLN cuûa B = 5 - (x + y)  
a) xeùt x + y   
4
- Neáu 1  
 y  3  
thì A   
3
-
-
Neáu x = 0 thì A = 0  
Neáu y = 4 thì x = 0 vaø A = 4  
b) xeùt x + y  6 thì A   
0
So saùnh caùc giaù trò treân cuûa A, ta thaáy max A = 4  x = 0; y = 4  
4
) Söû duïng caùc haèng baát ñaúng thöùc  
2
x + 3y  
2 2  
bieát x + y = 52  
Ví duï: Tìm GTLN cuûa A =  
2
2 2 2 2  
(a + b )(x + y ) cho caùc soá 2, x , 3, y  
Aùp duïng Bñt Bunhiacoápxki: (a x + by)  
ta coù:  
2
2
2
2
2
2
2x + 3y  
26  
(
2x + 3y)  
(2 + 3 )(x + y ) = (4 + 9).52 = 26  
Vuihoc24h Kênh học tập Online  
Page 8  
2
3x   
2   
x
2
y
3
3x  
y = 2  
=
2
2
2
x + y = x +  
Max A = 26  
= 52  
2
1
3x = 52.4  
x =   
4
Vaäy: Ma x A = 26  x = 4; y = 6 hoaëc x = - 4; y = - 6  
) Hai soá coù toång khoâng ñoåi thì tích cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng  
5
nhau  
Hai soá coù tích khoâng ñoåi thì toång cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng  
nhau  
2
2
a)Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa A = (x  3x + 1)(21 + 3x  x )  
2
2
2
Vì (x  3x + 1) + (21 + 3x  x ) = 22 khoâng ñoåi neân tích (x  3x + 1)(21 + 3x –  
2
2
2
2
x = 5  
x ) lôùn nhaát khi vaø chæ khi x  3x + 1 = 21 + 3x  x  
x  3x  10 = 0  
hoaëc x = - 2  
Khi ñ A = 11. 11 = 121  Max A = 121  x = 5 hoaëc x = - 2  
x + 4)(x + 9)  
(
x
b) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa B =  
2
(
x + 4)(x + 9) x 13x + 36  
36  
x
x +  
13  
x
x
Ta coù: B =  
3
6
36  
36  
x
x +  
Vì caùc soá x vaø x coù tích x. x = 36 khoâng ñoåi neân  
nhoû nhaát  
3
6
x = x  
x = 6  
36  
x + 13  
x
nhoû nhaát laø min A = 25  x = 6  
A =  
)Trong khi tìm cöïc trò chæ caàn chæ ra raèng toàn taïi moät giaù trò cuûa bieán ñeå xaåy ra  
ñaúng thöùc chöù khoâng caàn chæ ra moïi giaù trò ñeå xaåy ra ñaúng thöùc  
6
m
n
1
1  5  
Ví duï: Tìm GTNN cuûa A =  
Vuihoc24h Kênh học tập Online  
Page 9  
m
n
Ta thaáy 11 taän cuøng baèng 1, 5 taän cuøng baèng 5  
m
n
m
n
Neáu 11 > 5 thì A taän cuøng baèng 6, neáu 11 < 5 thì A taän cuøng baèng 4  
khi m = 2; n = 3 thÌ A = 1  
21124  
= 4  min A = 4, chaúng haïn khi m = 2, n = 3  
Vuihoc24h Kênh học tập Online  
Page 10  
Có thể download miễn phí file .pdf bên dưới

phương pháp tìm GTLN,GTNN toán 8

Đăng ngày 12/16/2017 9:35:36 PM | Thể loại: Toán học 8 | Lần tải: 0 | Lần xem: 0 | Page: 10 | FileSize: 0.26 M | File type: pdf
0 lần xem

đề thi phương pháp tìm GTLN,GTNN toán 8, Toán học 8. . tailieuhoctap.com trân trọng giới thiệu tới các bạn tài liệu phương pháp tìm GTLN,GTNN toán 8 .Để chia sẽ thêm cho các Thầy cô, các bạn sinh viên, học viên nguồn thư viện tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy, học tập và nghiên cứu khoa học, trân trọng kính mời đọc giả quan tâm cùng tham khảo , Tài liệu phương pháp tìm GTLN,GTNN toán 8 trong danh mục Toán học 8 được chia sẽ bởi bạn Hương Nguyễn Thị Thu tới các bạn nhằm mục tiêu học tập , thư viện này đã đưa vào mục Toán học 8 , có 10 page, thuộc thể loại .pdf, cùng chủ đề còn có Đề thi Toán học Toán học 8 ,bạn có thể download free , hãy chia sẽ cho cộng đồng cùng học tập

http://tailieuhoctap.com/dethitoanhoc8/phuong-phap-tim-gtln-gtnn-toan-8.cuux0q.html

Nội dung

Cũng như các thư viện tài liệu khác được bạn đọc chia sẽ hoặc do sưu tầm lại và chia sẽ lại cho các bạn với mục đích tham khảo , chúng tôi không thu phí từ thành viên ,nếu phát hiện tài liệu phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho website ,Ngoài tài liệu này, bạn có thể tải tiểu luận miễn phí phục vụ học tập Một số tài liệu download mất font không xem được, nguyên nhân máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn tải các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

Bạn có thể Tải về miễn phí đề thi này , hoặc tìm kiếm các đề thi khác tại đây : tìm kiếm đề thi Toán học 8