Chú ý:Đây là bản xem thử online, xin hãy chọn download miễn phí bên dưới để xem bản đẹp dạng .doc

 


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN 8 CAÁP HUYEÄN

NAÊM HOÏC 2002 – 2003

(Thôøi gian 150 phuùt khoâng keå phaùt ñeà)

================

Baøi 1: (4 ñieåm) a/ Chöùng minh raèng, neáu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc

 b/ Cho xy + yx + xz = 0 vaø xyz 0. döïa vaøo keát quaû caâu treân haõy tính

     A =

Baøi 2: (4 ñieåm) Tìm taát caû caùc soá nguyeân n sao cho n2 + 2002 laø moät soá chính phöông

Baøi 3: (4 ñieåm) Tìm moïi soá nguyeân n thoaû maõn (n + 5)2 = (4(n – 2))3

Baøi 4: (4 ñieåm) Moät tröôøng coù 2392 hoïc sinh. Trong ñoù coù moät soá hoïc sinh ñaït giaûi trong kyø thi quoác teá, moät soá hoïc sinh ñaït giaûi quoác gia, moät soá ñaït giaûi cuûa tænh vaø moät soá ñaït giaûi cuûa tröôøng (nhöng khoâng coù hoïc sinh naøo ñaït 2 giaûi). Bieát raèng soá caùc hoïc sinh ñaït moãi giaûi noùi treân cuõng laø caùc chöõ soá cuûa hoïc sinh coøn laïi; vaø soá hoïc sinh ñaït giaûi quoác teá ít hôn soá hoïc sinh ñaït giaûi quoác gia, soá hoïc sinh ñaït giaûi quoác gia ít hôn soá hoïc sinh ñaït giaûi tænh vaø soá hoïc sinh ñaït giaûi tænh ìt hôn soá hoïc sinh ñaït giaûi cuûa tröôøng.

 Haõy cho bieát soá hoïc sinh ñaït moãi giaûi noùi treân vaø soá hoïc sinh coøn laïi khoâng ñaït giaûi?

Baøi 5: (4 ñieåm) Cho ABC, treân AB vaø AC veà phía ngoaøi tam giaùc ta döïng hai hình vuoâng ABDE vaø ACMN. Chöùng minh raèng trung tuyeán qua A cuûa AEN keùo daøi chính laø ñöôøng cao cuûa ABC

 

BAØI GIAÛI:

Baøi 1: a/ Töø a + b + c = 0 <=> a + b = -c <=> (a + b)3 = -c3 <=> a3 + b3 + 3ab(a + b) = -c3

<=> a3 + b3 + 3ab(-c) = -c3 <=> a3 + b3 + c3 = 3abc

 b/ Vì xyz 0 neân töø xy + yz + xz = 0 <=> = 0.

 Aùp duïng caâu a ta suy ra: = 3.

 Töø  A = = = xyz() = xyz. 3. = 3

Baøi 2: Giaû söû coù soá chính phöông thì n2 + 2002 = k2 (x N) <=> 2002 = (k + n)(k – n)     (1)

 Suy ra (k + n) vaø (k – n) laø öôùc cuûa 2002.

  Maø (k + n) + (k – n) = 2k laø soá chaün, neân (k + n) vaø (k – n) cuøng tính chaün leû. Do 2002 laø soá chaün neân (k + n) vaø (k – n) ñeàu laø soá chaün;

  Suy ra (k + n)(k – n) 4. Khi ñoù töø (1) ta laïi coù 2002 4. Ñieàu naøy voâ lí.

 Vaäy khoâng coù soá nguyeân n naøo ñeå n2 + 2002 laø soá chính phöông.

Baøi 3: (n + 5)2 = (4(n – 2))3 <=> n2 + 10n + 25 = 64(n3 – 6n2 + 12n – 8)

<=> n2 + 10n + 25 = 64n3 –  384n2 + 768n – 512 <=> 64n3 –  385n2 + 758n – 537 = 0

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

<=> (n – 3)(64n2 – 193n + 179) = 0 <=> n – 3 = 0 hoaëc 64n2 – 193n + 179 = 0 <=> n = 3 Vì 64n2 – 193n + 179 = 0 voâ nghieäm

Baøi 4: Goïi soá hoïc sinh ñaït giaûi laø a, b, c, d; Trong ñoù 1 a, b, c, d 9

 Theo baøi toaùn ta coù: + a + b + c + d = 2392

 Vì 1 a, b, c, d 9 => a + b + c + d 36 => > 2300 => a = 2 vaø b = 3

 Luùc ñoù ta coù: + 2 + 3 + c + d = 2392 <=> 2300 + 10c + d + 5 + c + d = 2392

<=> 11c + 2d = 87

 Maø 0 2d 18 <=> 69 11c 87 <=> 6 c 7

 Neáu c = 6 => 11.6 + 2.d = 87 => d = 21/2 (khoâng thoaû maõn)

 Neáu c = 7 => 11.7 + 2.d = 87 => d =  5

 Vaäy soá hoïc sinh gioûi quoác teá cuûa tröôøng ñoù laø 2; Soá hoïc sinh gioûi quoác gia laø 3; Soá hoïc sinh gioûi caáp tænh laø 5 vaø Soá hoïc sinh gioûi caáp tröôøng laø 7; Vaø soá hoïc sinh coøn laïi laø 2375

Baøi 5: Goïi F laø trung ñieåm FN Noái FA keùo daøi caét BC taïi H

Treân tia ñoái tia FA laáu I sao cho FI = FA

=> AEIN laø hình bình haønh

=> IN = AE = AB vaø IE = AN =  AC

(cuøng buø vôùi goùc EAN)

=> AEI = BAC (c-g-c)

=>

Maø (Sole trong EI//AN)

=>

Maët khaùc: = 1v

=> = 1v

=> = 1v

Hay AF BC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN 8 CAÁP HUYEÄN

NAÊM HOÏC 2003 2004

(Thôøi gian 150 phuùt khoâng keå phaùt ñeà)

================

Baøi 1: (3 ñieåm) Chöùng minh raèng tích cuûa moät soá chính phöông vôùi soá töï nhieân ñöùng lieàn tröôùc noù laø moät soá chia heát cho 12

Baøi 2: (3 ñieåm) Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình: 2x3 + xy – 7 = 0

Baøi 3: (3 ñieåm) Giaûi phöông trình sau vôùi aån soá laø x:  

Baøi 4: (4 ñieåm) Cho 0 < x, y, z < 1. Chöùng minh 0 < x + y + z – xy – yz – xz < 1

Baøi 5: (3 ñieåm) Cho ABC. Haõy xaùc ñònh  (döïng hình) treân caïnh BC moät ñieåm E vaø treân caïnh AB moät ñieåm D sao cho BD = DE = EC

Baøi 6: (4 ñieåm) Cho ABC coù caùc caïnh khoâng baèng nhau. Haõy tìm moät ñieåm trong tam giaùc sao cho toång caùc khoaûng caùch töø ñieåm ñoù ñeán caùc ñöôøng thaúng AB, BC, CA laø nhoû nhaát.

 

BAØI GIAÛI:

Baøi 1: Theo baøi toaùn ta phaûi chöùng minh: n2(n2 – 1) 12

 Thaät vaäy: n2(n2 – 1) = (n – 1)n2(n + 1) = (n – 1)n.n(n + 1)

 Ta coù: (n – 1)n 2 vaø n(n + 1) 2 => n2(n2 – 1) 4

 Vaø: n2(n2 – 1) = n(n – 1)n(n + 1) 4

 Maø (3, 4) = 1 => n2(n2 – 1) 3.4 = 12

Baøi 2:  Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình: 2x3 + xy – 7 = 0  (1)

 (1) <=> x(2x2 + y) = 7; Maø 7 = 1.7 = -1.(-7); Vì x nguyeân döông neân  ta chæ choïn caùc giaù trò cuûa x > 0; Vaø x nguyeân döông neân x < 2x2 + y. Neân ta coù: <=>

Caùch 2: Töø (1) <=> y = = – 2x2;

 Ñeå y nguyeân thì laø soá nguyeân => x laø Ö(7); Maø x nguyeân döông neân choïn x = 1 vaø x = 7

=> y = 5 vaø y = -97 maø y nguyeân döông neân ta chæ choïn caëp soá x = 1; y = 5

Baøi 3: Giaûi phöông trình  (1)

 ÑKXÑ: x vaø x

(1) <=> a(1 – ax) = b(1 – bx) <=> a – a2x = b – b2x <=> a2x – b2x = a – b <=> (a2b2)x = a – b

 Neáu a2b2 0 thì phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x =

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

 Neáu a = b thì phöông trình ñaõ cho coù daïng: 0x = 0 <=> Phöông trình (1) coù nghieäm vôùi moïi x vaø x

 Neáu a = -b = 0 thì phöông trình ñaõ cho coù daïng: 0x = 0 <=> Phöông trình (1) coù nghieäm vôùi moïi x vaø x

 Neáu a = -b 0 thì phöông trình ñaõ cho coù daïng: 0x = -2b <=> Phöông trình (1) voâ nghieäm

Baøi 4:  Vì 0 < x, y, z < 1 => 1 – x > 0 => y(1 – x) > 0 => y – xy > 0

 Töông töï ta coù: x – xz > 0 vaø z – yz > 0

 => 0 < x + y + z – xy – yz – xz (1)

 Maët khaùc töø: 1 – x > 0; 1 – y > 0 vaø 1 – z > 0 => (1 – x)(1 – y)(1 – z) > 0

=> 1 – x – y – z + xy + xz + yz – xyz > 0 => 1 – (x + y + z  –xy–  xz  – yz + xyz) > 0

=> 1 – (x + y + z  –xy–  xz  – yz) > 0 ( vì xyz > 0) Hay 1 > x + y + z  –xy–  xz  – yz  (2)

 Töø (1) vaø (2) ta suy ra ñieàu caàn chöùng minh.

Baøi 5: Giaû söû ta tìm ñöôïc D, E thoaû maõn ñieàu kieän baøi toaùn thì ta coù

BD = DE = EC; Luùc ñoù ta coù ECD caân taïi E =>

Maø =>

Maët khaùc ta cuõng coù: EDB caân taïi D =>

=>

Töø ñoù ta coù caùch döïng nhö sau:

 + Taïi C döïng tia Cx naèm trong tam giaùc ABC taïo CB moät goùc baèng ; Cx caét AB taïi D

 + Taïi D döïng tia Dy naèm trong tam giaùc DBC taïo CD moät goùc baèng ; Cy caét BC taïi E

Chöùng minh: Töø caùch döïng ta coù => ECD caân taïi E => DE = EC

Maët khaùc = + = => EDB caân taïi D => DE = BD

 Vaäy BD = DE = EC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN 8 CAÁP HUYEÄN

NAÊM HOÏC 2004 2005

(Thôøi gian 150 phuùt khoâng keå phaùt ñeà)

================

Baøi 1: (3 ñieåm) Cho soá töï nhieân N = 20032004.

  Vieát N thaønh toång cuûa k soá töï nhieân naøo ñoù n1; n2; …; nk

 Sn = n13 + n23 +  … + nk3. Tìm soá dö cuûa pheùp chia S cho 6

Baøi 2: (6 ñieåm) 1/ Chöùng minh raèng neáu P(x) laø moät ña thöùc vôùi heä soá nguyeân, theâm vaøo ñoù P(0) vaø P(1) laø caùc soá leû thì ña thöùc P(x) khoâng theå coù nghieäm soá nguyeân

 2/ Cho caùc soá  a1; a2; …; a2003. Bieát raèng: ak = vôùi moïi k = 1,2,3, …, 2003.

 Tình toång a1 +  a2 + … + a2003

Baøi 3: (2 ñieåm)  Bieát raèng |a + b + c| 1; |c| 1; 1.

 Chöùng minh raèng: |a| + |b| + |c| 17

Baøi 4: (3 ñieåm) Cho ABC. Treân caùc tia ñoái cuûa caùc tia CB, AC, BA laàn löôït laáy caùc ñieåm A1, B1, C1 sao cho AB1 = BC1 = CA1. Chöùng minh raèng neáu tam giaùc A1B1C1 ñeàu thì ABC cuõng ñeàu.

Baøi 5: (4 ñieåm) Cho ABC caân taïi A, = 400, ñöôøng cao AH. Caùc ñieåm E, F theo thöùc töï thuoäc caùc ñoaïn thaúng AH, AC sao cho = 300. Chöùng minh raèng AE = AF

 

BAØI GIAÛI:

Baøi 1:  Vì a3 – a = a(a – 1)(a + 1) neân chia heát cho 6 vôùi moïi soá nguyeân a

 Ñaët N = n1 + n2 + … +  nk, ta coù: S – N = (n13 + n23 + … + nk3) – (n1 + n2 + … +  nk) =

 = (n13 - n1) + (n23 - n2) + … + (nk3 - nk) chia heát cho 6

   => S vaø N coù cuøng soá dö khi chia cho 6

  Maët khaùc, 2003 chia cho 6 dö 5 => 20032 chia cho 6 dö 1 => N = 20032004 = (20032)1002 chia cho 6 dö 1. Vaäy S chia cho 6 dö 1.

Baøi 2:  1/ Giaû söû ña thöùc P(x) coù nghieäm soá nguyeân laø a, ta coù P(x) x – a.

  Do ñoù P(x)= (x – a).g(x) (g(x) laø ña thöùc coù heä soá nguyeân)

 Ta coù: P(0) = -a.g(0) laø soá leû => a laø soá leû

 Maët khaùc P(1) = (1 – a)g(1) laø soá leû => 1 – a laø soá leû => a chaün (Maâu thuaãn)

 Vaäy P(x) coù nghieäm soá nguyeân laø sai. Do ñoù ña thöùc P(x) khoâng theå coù nghieäm nguyeân

 2/ Ta coù: ak =   = = … = Vôùi moïi k = 1, 2, 3, …, 2003

 Vôùi k = 1: a1 = ; k = 2:a2 = ; … ; k = 2003: a2003 =

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

 => S = a1 + a2 + a3 + … + a2003 = =

Baøi 3: Đặt : M = a + b + c (1);   N = c (2) ;    P = (3)

Theo giả thiết, ta có : |M| ; |N| ; |P| ≤ 1.

Từ (1), (2) => M - N = a + b (4) ;  Từ (2), (3) => P - N =  (5) ; 

Từ (4), (5) ta dễ dàng => a = 2M + 2N - 4P; b = - M - 3N + 4P

Khi đó : |a| + |b| + |c| = |2M + 2N - 4P| + | - M - 3N + 4P| + |N|

≤ 2|M| + 2|N| + 4|P| + |M| + 3|N| + 4|P| + |N| = 3|M| + 6|N| + 8|P| ≤ 3 + 6 + 8 = 17 (do |M| ; |N| ; |P| ≤ 1)

Vậy : |a| + |b| + |c| ≤ 17.

Baøi 4

Giả sử ∆A1B1C1 đều. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết :

 (*)

Khi đó : CB1 ≥ AC1 ≥ BA1 hay CA ≥ AB ≥ BC (do AB1 = BC1 = CA1), suy ra

  (1)

Mặt khác, từ (*) suy ra : (do ∆A1B1C1 đều). Nhưng

=>  (2)

T (1), (2) suy ra ABC đñu (đñpcm).

Baøi 5: Trên nửa mặt phẳng bờ AB, chứa C, lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều (hình 1)

Trong tam giác ABC, theo giả thiết, ta có :

Đ ABC = Đ ACB = (180o - 40)/2 = 70o
=> Đ ABF = Đ ABC - Đ FBC = 70o - 30o = 40o.

Vậy Đ ABF = Đ BAF => ΔABF cân tại F => FA = FB.

Theo cách dựng điểm K, KA = KB. Vậy KF là đường trung trực của đoạn AB => KF là phân giác của Đ AKB (vì ΔABK đều) => Đ FKB = 30o => Đ FKB = Đ EBA (1) (theo giả thiết)

ΔABC cân tại A, Đ BAC = 40o , AH là đường cao, => Đ BAE = 1/2.40o = 20o .

Mặt khácĐ KAF = Đ KAB - Đ FAB = 60o - 40o = 20o

Vậy Đ KAF = Đ BAE (2) . Chú ý rằng ΔABK đều nên AB = AK (3)

Từ (1), (2), (3) => : ΔKAF = ΔBAE  => AF = AE (đpcm)

 

 

 

 

 

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN 8 CAÁP HUYEÄN

NAÊM HOÏC 2005 2006

(Thôøi gian 150 phuùt khoâng keå phaùt ñeà)

================

Baøi 1: (4 ñieåm) Tính toång goàm 2004 soá haïng:

  f + f + … + f; trong ñoù f(x) =

Baøi 2: (4 ñieåm) Cho ABC caân taïi A, = 400, ñöôøng cao AH. Caùc ñieåm E, F theo thöùc töï thuoäc caùc ñoaïn thaúng AH, AC sao cho = 300. Chöùng minh raèng AE = AF

Baøi 3: (4 ñieåm)  Cho x, y, z laø caùc soá thöïc khoâng aâm baát kyø. Chöùng minh:

  x(x – y)2 + y(y – z)2 (x – y)(y – z)(x + y – z)

Baøi 4: (4 ñieåm) Coù 3 caùi chuoâng trong phoøng thí nghieäm. Chuoâng thöùc nhaát cöù 8 phuùt reo moät laàn. Chuoâng thöù hai cöù 12 phuùt reo moät laàn. Chuoâng thöù 3 cöù 16 phuùt reo moät laàn. Caû 3 caùi cuøng reo vaøo luùc 7 giôø 30 phuùt saùng.

 a/ Hoûi 3 caùi chuoâng laïi cuøng reo tieáp vaøo luùc naøo?

 b/ Hoûi trong khoaûng töø  7 giôø 30 phuùt ñeán 11 giôø 30 phuùt, coù bao nhieâu laàn nghe thaáy tieáng reo ñoàng thôøi cuûa 2 trong 3 chuoâng?

Baøi 5: (4 ñieåm) Tìm moïi caëp soá nguyeân döông x, y thoaû maõn: x4 + (x + 1)4 = y2 + (y + 1)2

 

BAØI GIAÛI:

Baøi 2: Baøi 5 ñeà naêm hoïc 2004 - 2005

Baøi 3: Laàn löôït  goïi veá phaûi vaø veá traùi cuûa (1) laø F vaø T, ta coù:

T – F = x(x – z)2 + y(y – z)2 – (x – z)(y – z)(x + y – z)

 = (x(x – z)2 – (x – z)(y – z)x) + y(y – z)2 – (x – z)(y – z)y + (x – z)(y – z)z

 = x(x  z)(x – y) + y(y – z)(y – x) + z(x – z)(y – z)

 = (x – y)(x2 – xz – y2 + yz) + z(x – z)(y – z)

 = (x – y)2(x + y – z) + z(x – z)(y – z)

+ Neáu F 0, ta coù T 0 F, Vaäy (1) ñuùng.

+ Neáu F > 0, ta seõ chöùng minh khi ñoù (x – z)(y – z) > 0 vaø x + y – z > 0 (3)

Thaät vaäy, phaûn chöùng (x – z)(y – z) < 0 vaø x + y – z < 0, ta coù:

(x – z)(y – z) < 0 => x > z hoaëc y > z => x + y > z => x + y – z > 0 maâu thuaãn vôùi giaûi thieát phaûn chöùng. Vaäy (3) ñuùng, töø (2) => T – F 0 => (1) ñuùng.

Ñaúng thöùc xaûy ra khi

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

Baøi 4:  a/ Thôøi gian 3 chuoâng cuøng reo laø BC(8; 12; 16); Maø baøi toaùn yeâu caàu laàn cuøng reo keá tieáp neân thôøi gian ñoù laø BCNN(8; 12; 16)

 BCNN(8; 12; 16) = 48. Neân sau 48 phuùt caû 3 chuoâng cuøng reo

 Vaäy luùc ñoù laø: 7giôø 30phuùt + 48phuùt = 8giôø 18phuùt

 Vaø töø  7giôø 30phuùt ñeán 11 giôø 30 phuùt laø 240 phuùt, neân caû 3 chuoâng cuøng reo 240 : 5 = 5 laàn; vaøo luùc: 8 giôø 18 phuùt; 9 giôø 06 phuùt; 9 giôø 54 phuùt; 10 giôø 42 phuùt vaø 11 giôø 30 phuùt.

b/ Vì chuoâng 1 cöù 8 phuùt reo 1 laàn, chuoâng 2 cöù 12 phuùt reo 1 laàn neân caû 2 chuoâng cuøng reo laø BC(8; 12) = 24. Vaäy cöù 24 phuùt caû 2 chuoâng cuùng reo neân töø 7 giôø 30 phuùt ñeán 11 giôø 30 phuùt reo 10 laàn; nhöng coù 5 laàn reo cuøng luùc 3 chuoâng; Neân neáu chæ nghe 2 chuoâng reo thì 5 laàn

 Töông töï ; cöù 48 phuùt caû 2 chuoâng 2 vaø 3 cuøng reo neân töø 7 giôø 30 phuùt ñeán 11 giôø 30 phuùt reo 5 laàn; nhöng coù 5 laàn reo cuøng luùc 3 chuoâng; Neân neáu chæ nghe 2 chuoâng reo thì 0 laàn

 Vaø cöù  16 phuùt caû 2 chuoâng 1 vaø 3 cuøng reo neân töø 7 giôø 30 phuùt ñeán 11 giôø 30 phuùt reo 15 laàn; nhöng coù 5 laàn reo cuøng luùc 3 chuoâng; Neân neáu chæ nghe 2 chuoâng reo thì 10 laàn

 Vaäy neáu nghe 2 trong 3 chuoâng cuøng reo trong khoaûng thôøi gian treân laø 15 laàn

Baøi 5: Ta coù: x4 + (x + 1)4 = y2 + (y + 1)2 <=> 2x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 = 2y2 + 2y + 1

<=> 2x4 + 4x3 + 6x2 + 4x = 2y2 + 2y  <=> x4 + 2x3 + 3x2 + 2x = y2 + y

<=> x2(x + 1)2 + 2x(x + 1) =  y2 + y <=>  x2(x + 1)2 + 2x(x + 1) + 1 =  y2 + y + 1

<=>  [x(x + 1) + 1]2 = y2 + y + 1 <=> (x2 + x + 1)2 = y2 + y + 1   (1)

 + Neáu y > 0 thì töø y2 < y2 + y + 1 < (y + 1)2 => y2 + y + 1 khoâng laø soá chính phöông neân (1) khoâng coù nghieäm nguyeân

 + Neáu y = 0 thì töø (1) suy ra: x2 + x + 1 = 1 <=> x = 0 vaø x = 1

 Vaäy phöông trình coù caùc caëp nghieäm nguyeân döông laø (0; 0) vaø (0; 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN 8  HUYEÄN AN NHÔN

NAÊM HOÏC 2006 – 2007

(Thôøi gian 150 phuùt khoâng keå phaùt ñeà)

================

Baøi 1: (4 ñieåm) a/ Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân n thì n2 + n + 1 khoâng chia heát cho 9

 b/ Toàn taïi hay khoâng soá töï nhieân n sao cho 10n + 2005 chia heát cho 102005 – 1.

Baøi 2: (3 ñieåm) Tìm caùc chöõ soá töï nhieân a, b, c sao cho = .7

Baøi 3: (5 ñieåm) a/ Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân döông x2 – 2y2 = 5

 b/ Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A = (x + 1)2 + (x – 3)2

Baøi 4: (4 ñieåm) Cho hình vuoâng ABCD vaø ñieåm P naèm trong ABC. Giaû söû goùc BPC baèng 1350. Chöùng minh raèng 2PB2 + PC2 = PA2

Baøi 5: (4 ñieåm) Cho ABC caân taïi A. Treân caïnh BC laáy ñieåm D sao cho CD = 2BD. So saùnh soá ño hai goùc vaø

 

BAØI GIAÛI:

Baøi 1: (4 ñieåm) a/ Giaû söû toàn taïi soá nguyeân n ñeå: n2 + n + 1 9 => 4n2 + 4n + 4 9

=> 4n2 + 4n + 4 3  => 4n2 + 4n + 1 + 3 3  => (2n + 1)2 + 3 3  => (2n + 1)2 3

=> 2n + 1 3  => (2n + 1)2 9

  Nhöng khi ñoù 4n2 + 4n + 4 = (2n + 1)2 + 3 khoâng chia heát cho 9, voâ lyù

 Vaäy vôùi moïi soá nguyeân n thì n2 + n + 1 khoâng chia heát cho 9

 b/ Ta coù 102005 – 1 = (10 – 1)(102004 + … + 1) = 9. (102004 + … + 1) 9

 Maø 10n + 2005 = 10n – 1  + 2006 = (10 – 1)(10n-1 + … + 1) + 2006 = 9.M + 2006 khoâng chia heát cho 9

 Vaäy khoâng toàn taïi soá töï nhieân n sao cho 10n + 2005 chia heát cho 102005 – 1.

Baøi 2:   Theo baøi toaùn ta coù: 1000 9999 <=> 1000 .7 9999

<=> 143 1428; Do vai troø cuûa b, c nhö nhau neân giaû söû b < c

=>143 1428 <=> 12 37 => a = 1; 2; 3 vaø 2 b 7

 + Neáu a = 3 ta coù: < 4000 nhöng vôùi 2 b 7 thì .7 > 7000 voâ lyù

 + Neáu a = 2 ta coù: < 3000 nhöng vôùi 2 b 7 thì .7 > 3000 voâ lyù

 + Neáu a = 1 thì ta tìm ñöôïc b = 5 vaø c = 9 vaø soá caàn tìm laø: 15.19.7 = 1995

Baøi 3: (5 ñieåm) a/ Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa pt: x2 – 2y2 = 5   (1)

Töø pt (1) ta suy ra x phaûi laø soá leû. Thay x = 2k + 1 (k Z) vaøo (2), ta ñöôïc:

 4k2 + 4k + 1 – 2y2 <=> 2(k2 + k – 1) = y2 => y2 laø soá chaün. Ñaët y = 2t (t Z), ta coù:

 2(k2 + k – 1) = 4t2 <=> k2 + k – 1 = 2t2 <=> k(k + 1) = 2t2 + 1 (**)

 Nhaän xeùt: k(k + 1) laø moät soá chaün, 2t2 + 1 laø soá leû => pt (**) voâ nghieäm

Vaäy phöông trình ñaõ cho khoâng coù nghieäm nguyeân.

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

b/ Ta coù A = (x + 1)2 + (x – 3)2 = x2 + 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2x2 – 4x + 10 = 2(x – 1)2 + 8

 Vì 2(x – 1)2 0 x => A 8 x

 Vaäy minA = 8 <=> x – 1 = 0 <=> x = 1

Baøi 4: Töø B ta keõ BE BP

 Theo giaû thieát suy ra: = 450 => BEP caân taïi B

=> BE = BP vaø = 450

 Vaø ta cuõng coù: = (cuøng phuï goùc ABP)

Maø AB = BC => ABE = CBP (c-g-c)

=> AE = CP vaø = = 1350

=> =  900 (do = 450). Aùp duïng ñònh lyù Pitago cho tam giaùc vuoâng AEP ta coù:

 PA2 = AE2 + EP2

Aùp duïng ñònh lí Pitago cho tam giaùc BEP ta coù: PE2 = EB2 + BP2 =  BP2 + BP2 = 2BP2

=> PA2 = AE2 + 2BP2 = PC2 + 2BP2 (do BE = BP)

Baøi 5:  Goïi E laø trung ñieåm DC => BD = DE = EC

=> ABD = ACE (BD = EC; AB = AC; )

=> vaø AE = AD

Goïi I laø trung ñieåm A  => AI = AE = AD

Vaø DE laø ñöôøng trung bình ABE

=> DI = AB vaø DI//AB

Maø D BC vaø BD = BC => AD < AB => AI < DI => <

Maø DI//AB => = (so le trong)

=> < => + < + => 2 < + => < (+ )

Hay <

 

 

 

 

 

 

 

 

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8


Tröôøng THCS Nhôn Taân  GV: Huyønh Vaên Roã

ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI TOAÙN 8 CAÁP HUYEÄN

NAÊM HOÏC 2007 2008

(Thôøi gian 150 phuùt khoâng keå phaùt ñeà)

================

Baøi 1: (2 ñieåm) Cho m, n laø soá nguyeân. Chöùng minh raèng m3n – mn3 chia heát cho 6

Baøi 2: (3 ñieåm) Cho 2 bình, moãi bình coù dung tích 1 lít. Bình thöù nhaát ñöïng ñaày nöôùc vaø bình thöù hai khoâng ñöïng gì caû. Ban ñaàu, ngöôøi ta roùt luôïng nöôùc trong bình thöù nhaát sang bình thöù hai, tieáp ñoù laïi roùt löôïng nöôùc trong bình thöù hai sang bình thöù nhaát, sau ñoù laïi roùt löôïng nöôùc trong bình thöù nhaát sang bình thöù hai vaø quaù trình naøy tieáp tuïc: , , , … Hoûi cöù roùt ñi, roùt laïi nhö theá thì sau laàn roùt thöù 2007 coù bao nhieâu nöôùc trong moãi bình?

Baøi 3: (3 ñieåm) Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû: (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

Baøi 4: (3 ñieåm) Cho bieát = . Haõy tính giaù trò bieåu thöùc A =

Baøi 5: (4 ñieåm) Cho a, b, c laø 3 caïnh cuûa moät tam giaùc. Chöùng minh raèng:

 ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

Baøi 6: (5 ñieåm) Cho ABC caân taïi A. Goïi E laø ñieåm tuyø yù naèm giöõa B vaø C. Ñöôøng thaúng qua E vuoâng goùc vôùi AB vaø ñöôøng thaúng qua C vuoâng goùc vôùi AC caét nhau ôû D. Goïi K laø trung ñieåm cuûa BE. Tính soá ño goùc cuûa goùc AKD

 

BAØI GIAÛI

Baøi 1: Ta coù: m3n – mn3 = mn(m2 – n2) = mn(m2 1 – n2 + 1) = mn(m2 – 1) – mn(n2 – 1) =

= mn(m + 1)(m – 1) – mn(n – 1)(n + 1)

Vì tích 2 soá nguyeân lieân tieáp luoân coù moät soá chaün neân chia heát cho 2 => mn(m + 1)(m – 1) 2

 Tích 3 soá nguyeân tieân tieáp chie heát cho 3

 => Tích 3 soá nguyeân lieân tieáp chia heát cho 6 ( vì (2; 3) = 1)

=>  mn(m + 1)(m – 1) 6 vaø mn(n – 1)(n + 1) 6 => mn(m + 1)(m – 1) – mn(n – 1)(n + 1) 6

Hay m3n – mn3 6

Baøi 2: Theo baøi toaùn thì laàn 1: Bình 1 coøn 1 – = lít; Bình 2 coù lít

 Laàn 2: Bình 1 coù + = lít; Bình 2 coù lít

 Laàn 3: Bình 1 coù = lít; Bình 2 coù lít

 Laàn 4: Bình 1 coù lít; Bình 2 coù lít

Taøi lieäu Tích luyõ chuyeân moânÑeà thi HSG Toaùn 8

Có thể download miễn phí file .doc bên dưới

de thi HSG mon Toan 8-Co dap an

Đăng ngày 3/28/2011 11:23:17 PM | Thể loại: Toán học 8 | Lần tải: 167 | Lần xem: 0 | Page: 1 | FileSize: 0.60 M | File type: doc
0 lần xem

đề thi de thi HSG mon Toan 8-Co dap an, Toán học 8. . tailieuhoctap.com giới thiệu đến các bạn thư viện de thi HSG mon Toan 8-Co dap an .Để giới thiệu thêm cho bạn đọc nguồn tài liệu tham khảo giúp đỡ cho công tác giảng dạy, học tập và nghiên cứu khoa học, trân trọng kính mời bạn đọc đang cần cùng xem , Tài liệu de thi HSG mon Toan 8-Co dap an trong thể loại Toán học 8 được chia sẽ bởi bạn Lực Hà Tấn tới bạn đọc nhằm mục tiêu tham khảo , tài liệu này được giới thiệu vào chủ đề Toán học 8 , có tổng cộng 1 page, thuộc định dạng .doc, cùng danh mụ còn có Đề thi Toán học Toán học 8 ,bạn có thể tải về free , hãy chia sẽ cho mọi người cùng nghiên cứu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2002 – 2003 (Thời gian 150 phút ko kể phát đề) ================ Bài 1: (4 điểm) a/ Chứng minh rằng, giả dụ a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc b/ Cho xy + yx + xz = 0 và xyz 0, ngoài ra dựa vào kết quả câu trên hãy tính A = Bài 2: (4 điểm) Tìm tất cả những số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phương Bài 3: (4 điểm) Tìm mọi số nguyên

http://tailieuhoctap.com/dethitoanhoc8/de-thi-hsg-mon-toan-8-co-dap-an.sq9swq.html

Nội dung

Giống các thư viện tài liệu khác được bạn đọc giới thiệu hoặc do sưu tầm lại và giới thiệu lại cho các bạn với mục đích nghiên cứu , chúng tôi không thu phí từ bạn đọc ,nếu phát hiện nội dung phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho website ,Ngoài tài liệu này, bạn có thể download đồ án thạc sĩ tiến sĩ phục vụ tham khảo Một số tài liệu tải về lỗi font chữ không xem được, nguyên nhân máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn tải các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

Bạn có thể Tải về miễn phí đề thi này , hoặc tìm kiếm các đề thi khác tại đây : tìm kiếm đề thi Toán học 8


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2002 – 2003
(Thời gian 150 phút không kể phát đề)
================
Bài 1: (4 điểm) a/ Chứng minh rằng, nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
b/ Cho xy + yx + xz = 0 và xyz 0. dựa vào kết quả câu trên hãy tính
A =
Bài 2: (4 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phương
Bài 3: (4 điểm) Tìm mọi số nguyên n thoả mãn (n + 5)2 = (4(n – 2))3
Bài 4: (4 điểm) Một trường có 2392 học sinh. Trong đó có một số học sinh đạt giải trong kỳ thi quốc tế, một số học sinh đạt giải quốc gia, một số đạt giải của tỉnh và một số đạt giải của trường (nhưng không có học sinh nào đạt 2 giải). Biết rằng số các học sinh đạt mỗi giải nói trên cũng là các chữ số của học sinh còn lại; và số học sinh đạt giải quốc tế ít hơn số học sinh đạt giải quốc gia, số học sinh đạt giải quốc gia ít hơn số học sinh đạt giải tỉnh và số học sinh đạt giải tỉnh ìt hơn số học sinh đạt giải của trường.
Hãy cho biết số học sinh đạt mỗi giải nói trên và số học sinh còn lại không đạt giải?
Bài 5: (4 điểm) Cho ABC, trên AB và AC về phía ngoài tam giác ta dựng hai hình vuông ABDE và ACMN. Chứng minh rằng trung tuyến qua A của AEN kéo dài chính là đường cao của ABC


BÀI GIẢI:
Bài 1: a/ Từ a + b + c = 0 <=> a + b = -c <=> (a + b)3 = -c3 <=> a3 + b3 + 3ab(a + b) = -c3
<=> a3 + b3 + 3ab(-c) = -c3 <=> a3 + b3 + c3 = 3abc
b/ Vì xyz 0 nên từ xy + yz + xz = 0 <=> = 0.
Aùp dụng câu a ta suy ra: = 3.
Từ A = = = xyz= xyz. 3. = 3
Bài 2: Giả sử có số chính phương thì n2 + 2002 = k2 (x N) <=> 2002 = (k + n)(k – n) (1)
Suy ra (k + n) và (k – n) là ước của 2002.
Mà (k + n) + (k – n) = 2k là số chẵn, nên (k + n) và (k – n) cùng tính chẵn lẻ. Do 2002 là số chẵn nên (k + n) và (k – n) đều là số chẵn;
Suy ra (k + n)(k – n4. Khi đó từ (1) ta lại có 20024. Điều này vô lí.
Vậy không có số nguyên n nào để n2 + 2002 là số chính phương.
Bài 3: (n + 5)2 = (4(n – 2))3 <=> n2 + 10n + 25 = 64(n3 – 6n2 + 12n – 8)
<=> n2 + 10n + 25 = 64n3 – 384n2 + 768n – 512 <=> 64n3 – 385n2 + 758n – 537 = 0
<=> (n – 3)(64n2 – 193n + 179) = 0 <=> n – 3 = 0 hoặc 64n2 – 193n + 179 = 0 <=> n = 3 Vì 64n2 – 193n + 179 = 0 vô nghiệm
Bài 4: Gọi số học sinh đạt giải là a, b, c, d; Trong đó 1 a, b, c, d 9
Theo bài toán ta có: + a + b + c + d = 2392
Vì 1 a, b, c, d 9 => a + b + c + d 36 => > 2300 => a = 2 và b = 3
Lúc đó ta có: + 2 + 3 + c + d = 2392 <=> 2300 + 10c + d + 5 + c + d = 2392
<=> 11c + 2d = 87
Mà 0 2d 18 <=> 69 11c 87 <=> 6 c 7
Nếu c = 6 => 11.6 + 2.d = 87 => d = 21/2 (không thoả mãn)
Nếu c = 7 => 11.7 + 2.d = 87 => d = 5
Vậy số học sinh giỏi quốc tế của trường đó là 2; Số học sinh giỏi quốc gia là 3; Số học sinh giỏi cấp tỉnh là 5 và Số học sinh giỏi cấp trường là 7; Và số học sinh còn lại là 2375