Chú ý:Đây là bản xem thử online, xin hãy chọn download miễn phí bên dưới để xem bản đẹp dạng .docx

Nguyễn Văn Tề

Bài 1 : Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE . Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N .

a)     Chứng minh : tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh :

c)     Chứng minh : DE // với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác

d)    Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh : OA là phân giác của

e)     Chứng minh :

Bài 2 : Cho (O) đường kính AC trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’ , đường kính BC . Gọi M là trung điểm của AB  . Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB ; DC cắt đường tròn tâm O’ tại I .

a)     Tứ giác ADBE là hình gì ?

b)    Chứng minh : DBMI là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh : B , I , C thẳng hàng và MI = MD

d)    Chứng minh : MI là tiếp tuyến của (O’)

Bài 3 : Cho (O) đường kính BC , điểm A nằm trên cung BC . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB = AD . Dựng hình vuông ABDE , AE cắt (O) tại điểm thứ hai F . Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G .

a)     Chứng minh : BDCG là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn này

b)    Chứng minh : tam giác BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

c)     Chứng minh : GEFB là tứ giác nội tiếp

d)    Chứng minh : C , F , G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Bài 4 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O) . Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC . Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC . P là trung điểm AB , Q là trung điểm FE

a)     Chứng minh : MFEC là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : BM . EF = BA . EM

c)     Chứng minh :

d)    Chứng minh : =90

Bài 5 : Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn . Vẽ các tiếp tuyến AB ; AC và cát tuyến ADE . Gọi H là trung điểm DE

a)     Chứng minh : A , B , H , C , O cùng nằm trên 1 đường tròn

b)    Chứng minh : HA là phân giác của

c)     Gọi I là giao điểm của BC và DE . Chứng minh :

d)    BH cắt (O) ở K . Chứng minh : AE // CK

Bài 6 : Cho tam giác ABC đểu nội tiếp (O ; R ) . Trên cạnh AB ; AC lấy hai điểm M ; N sao cho BM = AN

a)     Chứng minh : tam giác OMN cân

b)    Chứng minh : OMAN là tứ giác nội tiếp

c)     BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E . Chứng minh :

d)    Đường thẳng CE và AB cắt nhau tại F . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I ; AO kéo dài cắt BC tại J . Chứng minh : BI đi qua trung điểm của AJ

Bài 7 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , bán kính . Gọi M là 1 điểm trên cung BC . Kẻ đường cao CH của tam giác ACM .

a)     Chứng minh : AOHC là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : tam giác CHM vuông cân và OH là phân giác của

c)     Gọi giao điểm của OH với BC là I . MI cắt (O) tại D . Chứng minh : CDBM là hình thang cân

d)    BM cắt OH tại N . Chứng minh : , từ đó suy ra BN . MC = IN . MA

Bài 8 : Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) . Vẽ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm ) . Vẽ dây BC của (O) vuông góc với OA

a)     Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O)

b)    Chứng minh : A , B , C , D cùng thuộc một đường tròn

c)     Kẻ đường kính BD của (O) , vẽ CK vuông góc tại K . Chứng minh : AC .  CD = AO . CK

d)    AD cắt CK ở L . Chứng minh : I là trung điểm CK

Bài 9 : Cho đường tròn (O) có đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Lấy M thuộc cung AC nhỏ sao cho MA < MC . Tia OA cắt tia CM tại E và cắt MD tại F .

a)     Chứng minh : M , C , O , F cùng thuộc một đường tròn

b)    Chứng minh : = và MF . MD = ME . MC

c)     Vẽ dây CQ đi qua F . Chứng minh : E , Q , D thẳng hàng

d)    Gọi I là trung điểm EF . Chứng minh : IM là tiếp tuyến của (O)

Bài 10 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) . Tiếp tuyến tại B , C cắt nhau tại D , kẻ cát tuyến DEF // AB cắt AC tại I , cắt BN tại C

a)     Chứng minh : BOCD là tứ giác nội tiếp

                       ID là phân giác của

b)    Chứng minh :  ;

c)     Chứng minh : BN . BC = AB . ND

d)    Chứng minh : I là trung điểm EF

                       Tam giác ABI cân

Bài 11 : Từ điểm C nằm ngoài đường tròn (O) . Kẻ tiếp tuyến CE , CF đến (O) ( E , F là tiếp điểm ) và cát tuyến CMN

a)     Chứng minh : CEOF là tứ giác nội tiếp

                      

b)    EF cắt OC tại I . Chứng minh : O ; I ; M ; N cùng thuộc đường tròn

c)     Chứng minh : =

d)    Tia MI cắt (O) tại D . Chứng minh : CO là tia phân giác của

e)     Tiếp tuyến tại M và N của (O) cắt nhau tại K . Chứng minh : E , F , K thẳng hàng

Bài 12 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) , có các đường cao BD và CE . Đường thẳng DE cắt (O) tại 2 điểm M và N

a)     Chứng minh : BEDC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I

b)    Chứng minh : =

c)     Kẻ tiếp tuyến xy của (O) tại A . Chứng minh : DE // xy

d)    Chứng minh : OA là tia phân giác

e)     Chứng minh :

Bài 13 : Cho đường tròn (O) đường kính BC . Lấy một điểm A trên đường tròn (O) sao cho AB > AC . Từ A vẽ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) . Từ H vẽ HE vuông góc với AB , HF vuông góc với AC ( E thuộc AB , F thuộc AC )

a)     Chứng minh : AEHF là hình chữ nhật

                      

b)    Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q ( E nằm giữa P và F ) . Chứng minh :

và suy ra APH là tam giác cân

c)     Gọi D là giao điểm PQ và BC , K là giao điểm của AD và đường tròn (O) ( K≠A) . Chứng minh :AEFK là tứ giác nội tiếp

d)    Gọi I là giao điểm FC và BC . Chứng minh :

Bài 14 : Cho đường tròn (O ; R ) và đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B . Từ một điểm M trên đường thẳng d và ở ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F là hai tiếp điểm )

a)     Chứng minh : MEOF là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh :

c)     OM cắt đường tròn (O ; R ) tại C . Chứng minh : C là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF

d)    Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MEOF là một hình vuông

Bài 15 : Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) . Đường tròn tâm (O) , đường kính BC lần lượt cắt AB và AC tại M và N ; BN và CM giao nhau tại H , AH cắt BC tại K

a)     Chứng minh :

b)    Chứng minh :

c)     Chứng minh : MH là phân giác

d)    NM và BC kéo dài cắt nhau tại S . Chứng minh : SB . SC = SK . SO

Bài 16 : Cho (O ; R) , đường kính BC , trên cung BC lấy điểm A sao cho AB < R . Gọi D là điểm chính giữa cung AC , E là giao điểm AC và BD

a)     Chứng minh :

b)    Trên BC lấy điểm F sao cho CF = AB . Từ F vẽ đường song song với AC cắt BD , AB lần lượt tại M , N . Chứng minh : BD là phân giác của

                                                                     EA . BF = EC . BN

c)     Tia AM cắt (O) tại I . Chứng minh : D , F , I thẳng hàng

d)    Từ C vẽ đường vuông góc với DC cắt AI tại K . Chứng minh : BKFA là hình bình hành

Bài 17 : Cho (O ; R) và điểm M ở ngoài đường tròn (O) . Vẽ các tiếp tuyến MA , MB ( A , B là các tiếp điểm ) ; vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D )

a)     Chứng minh : OM là trung trực của AB

b)    Chứng minh :

c)     Chứng minh : AC . BD = BC . AD

d)    Vẽ dây DE song song với AB ; Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh :

IC . IE = IO . IM

Bài 18 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tiếp tuyến Ax . Trên Ax lấy điểm C (AC > OA) , vẽ tiếp tuyến thứ hai CD (D là tiếp điểm ) , vẽ OE vuông góc với BC tại E

a)     Chứng minh : A , C , D , E cùng thuộc một đường tròn

b)    AD cắt OE tại F . Chứng minh : FD . FA = FE . FO

c)     BC cắt nửa đường tròn (O) tại M (M≠A) . Chứng minh FM là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)

d)    Cho , tính diện tích tam giác DEF theo R

Bài 19 : Cho đường tròn (O ; R) , hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Gọi I là điểm di động trên bán kính OB ( I ≠ B , O ) . Tia CI cắt đường tròn (O ; R) tại E

a)     Chứng minh : OIDE là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh :

c)     DB cắt CE tại H , AE cắt CD tại K . Chứng minh : HK // AB

d)    Chứng minh : không đổi khi I chuyển động trên OB ( I ≠ B , O )

Bài 20 : Cho đường tròn ( O ; R) đường kính AB . Điểm M nằm trên đường tròn (MA < MB ) . Đường thẳng qua M và vuông góc với AB cắt đường tròn (O ; R) tại N . Kéo dài BM và NA cắt nhau tại I . Vẽ IH vuông góc với đường thẳng AB tại H

a)     Chứng minh : AHIM là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm và bán kính

b)    Chứng minh : =

c)     Chứng minh : MH là tiếp tuyến của (O ; R )

d)    Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O ; R) sao cho A là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HMO

Bài 21 : Cho tam giác có 3 góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) . Tia phân giác của BAC đường tròn (O) tại E

a)     Chứng minh :

b)    Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M . Chứng minh :

c)     AE cắt BC tại K . Chứng minh : MA = MK

d)    Chứng minh : = 2

Bài 22 : Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R . Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E . Vẽ MP vuông góc với AB ( P thuộc AB ) , vẽ MQ vuông góc với AE ( Q thuộc AE )

a)     Chứng minh : AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật

b)    Gọi I là trung điểm của PQ . Chứng minh : O , I , E thẳng hàng

c)     Gọi K là giao điểm của EB và MP . Chứng minh : Suy ra K là trung điểm MP

d)    Đặt AP = x . Tính MP theo R và x . Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất

Bài 23 : Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn . Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF ) . Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) ( C là tiếp điểm , A nằm giữa hai điểm M và B , A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO )

a)     Chứng minh : MA . MB = ME . MF

b)    Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO . Chứng minh : AHOB là tứ giác nội tiếp

c)     Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính MF ; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K . Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF . Chứng minh :

d)    Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T lần lượt là trung điểm của KS . Chứng minh : P , Q , T thẳng hàng

Bài 24 : Cho tam giác ABC không có góc tù ( AB < AC ) , nội tiếp đường tròn ( O ; R )( B ; C cố định , A di động trên cung lớn BC ) . Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M . Từ M kẻ đường đường thẳng song song với AB , đường thẳng này cắt (O) tại D và E ( D thuộc cung nhỏ BC ) , cắt BC tại F , cắt AC tại I .

a)     Chứng minh : = . Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : FI . FM = FD . FE

c)     Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB ) . Đường thẳng QF cắt (O) tại T ( T ≠ Q) . Chứng minh : P , T , M thẳng hàng

d)    Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất

Bài 25 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đường tròn tâm (O) (AB < AC ) . Các đường tròn AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : BFHD là tứ giác nội tiếp . Suy ra = 180 –

b)    Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) ( M khác B và C ) và N là điểm đối xứng của M qua AC . Chứng minh : AHCN là tứ giác nội tiếp

c)     Gọi I là giao điểm của AN và HC ; J là giao điểm của AC và HN . Chứng minh : =

d)    Chứng minh :

Bài 26 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có 3 góc nhọn . Đường tròn (O) đường kính BC cắt cạnh AC , AB lần lượt tại E , F . Gọi H là giao điểm của BE và CF ; D là giao điểm của AH và BC

a)     Chứng minh : và AH . AD = AE . AC

b)    Chứng minh : EFDO là tứ giác nội tiếp

c)     Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao cho DL = DF . Tính số đo

d)    Gọi R , S lần lượt là hình chiếu của B , C lên EF . Chứng minh : DE + DF = RS

Bài 27 : Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH . Gọi lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB và AC . Đường thẳng cắt AB và AC tại K và I

a)     Tam giác là tam giác gì ? Chứng minh : =

b)    Chứng minh : C , K cùng thuộc đường tròn ( )

c)     Chứng minh : AH , CK , BI đồng qui ( Gợi ý : CK là đường cao của tam giác ABC )

Bài 28 : Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH . Gọi I và K là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHB và tam giác AHC . BI cắt AK tại E ; CK cắt AI tại F ; BI cắt CK tại O

a)     Chứng minh : = =

b)    Chứng minh : HBAE và HACF là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh : O là trực tâm tam giác AIK

d)    IK cắt AB tại M và cắt AC tại N . Chứng minh : tam giác AMN vuông cân tại A

Bài 29 : Cho tam giác ABC nhọc có tia phân giác trong ở đỉnh B cắt tia phân giác ngoài ở đỉnh C tại I , tia phân giác trong ở đỉnh C cắt tia phân giác ngoài ở đỉnh B tại K . BI cắt CK tại H . M là trung điểm IK .

a)     Chứng minh : BCIK là tứ giác nội tiếp và I , A , K thẳng hàng

b)    Chứng minh : AHBK và AHCI là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh : BCMA là tứ giác nội tiếp

Bài 30 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) , nội tiếp đường tròn (O) . Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC . Vẽ MH vuông góc với BC tại H ; MK vuông góc với AB tại K và giả sử K nằm ngoài cạnh AB

a)     Chứng minh : MHBK là tứ giác nội tiếp và

b)    Gọi D và E lần lượt là trung điểm của CA và HK . Chứng minh :

c)     Kéo dài KH cắt AC tại I . Chứng minh : MEDI là tứ giác nội tiếp

d)    Chứng minh : MCIH là tứ giác nội tiếp và

Bài 31 : Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC . Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE , đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự tại H và K .

a)     Chứng minh : BHCD là tứ giác nội tiếp

b)    Tính

c)     Chứng minh : KC . KD = KH . KB

d)    Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào ?

Bài 32 : Cho đường tròn (O) BC là dây bất kì ( BC < 2R ) . Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A . Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , AC , AB . Gọi giao điểm BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q

a)     Chứng minh : tam giác ABC cân

b)    Chứng minh : BIMK , CIMH là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh :

d)    Chứng minh :

Bài 33 : AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) bán kính R ( B , C là tiếp điểm ) . Vẽ CH vuông góc với AB tại H , cắt (O) tại E và cắt OA tại D

a)     Chứng minh : CO = CD

b)    Chứng minh : OBCD là tứ giác nội tiếp

c)     Gọi M là trung điểm của CE , BM cắt OH tại I . Chứng minh : I là trung điểm của OH

d)    Tiếp tuyến tại E của (O) cắt AC tại K . Chứng minh : O , M , K thẳng hàng

Bài 34 : Từ A nằm ngoài (O ; R) , kẻ tiếp tuyến AB , AC ( B , C là tiếp điểm ) của (O) và cát tuyến ADE ( không đi qua O , D nằm giữa A và E ) . Gọi H là giao điểm OA , BC , I là trung điểm

a)     Chứng minh :

b)    Chứng minh : O , I , B , A  , C cùng thuộc một tròn

c)     Chứng minh : OHDE là tứ giác nội tiếp

d)    Đường thẳng qua D và vuông góc OB cắt BC tại M , cắt BE tại N . Chứng minh : MD = MN

Bài 35 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R ) . Vẽ tiếp tuyến AB , AC ( B ,C là tiếp điểm ) , vẽ cát tuyến ADE ( D nằm giữa A và E ) . Gọi H là giao điểm BC và OA .

a)     Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn này

b)    Chứng minh :

c)     Chứng minh : AH . AO = AD . AE . Từ đó suy ra OHDE là tứ giác nội tiếp

d)    Tia AO cắt đường tròn (O ; R ) tại M và N ( M nằm giữa O và A) . Chứng minh : BM là tia phân giác . Suy ra HM . NA = MA . NH

Bài 36 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp ( O ; R ) . Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC

a)     Chứng minh : BCDE là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp

b)    Gọi F là giao điểm AH và BC . Vẽ đường kính AK của (O) . Chứng minh : =

c)     Chứng minh : BHCK là hình bình hành . Suy ra : H , I , K thẳng hàng

d)    Cho . TÍnh tổng AB . CK + AC . BK theo R

Bài 37 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) , vẽ đường cao AH ( H thuộc BC ) . Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ BC

a)     Chứng minh : và AI là phân giác

b)    Gọi D , E lần lượt là hính chiếu của H trên AB , AC . Chứng minh : ADHE , BDEC là tứ giác nội tiếp

c)     Vẽ đường kính AK . Chứng minh : AK . AH = AB . AC

d)    Giả sử . Chứng minh :

e)     Vẽ đường tròn ( A ; AH ) cắt đường tròn (O) tại M , N . Chứng minh : M , D , E , N thẳng hàng

Bài 38 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có đường cao AD . Tia AD cắt (O) tại điểm M ( M ≠ A) . Vẽ ME vuông góc với AC tại E . Đường thẳng ED cắt đường thẳng AB tại I

a)     Chứng minh : MDEC là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh :

c)     Chứng minh : AB . AI = AE . AC

d)    Gọi N là điểm đối xứng với M qua AB ; F là điểm đối xứng với M qua AC . NF cắt AD tại H . Chứng minh : H là trực tâm ABC

Bài 39 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt BC tại H .

a)     Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O) và BH . BC = 4OB

b)    Gọi D là điểm chính giữa của cung AH , tiếp tuyến tại H với (O) cắt AC tại M . Chứng minh : BD là phân giác và ba điểm O , D , M thẳng hàng

c)     Chứng minh : OAMH là tứ giác nội tiếp và = 2

d)    Tia BD cắt AC tại E , gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE . Chứng minh :

e)     Từ C vẽ tiếp tuyến Cx với (O) , từ O vẽ tia Oy vuông góc OC . Gọi K là giao điểm Cx và Oy . Chứng minh : BK là tiếp tuyến (O)

Bài 40 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( A , B là tiếp điểm ) . Vẽ dây AD của đường tròn (O) song song MB ; MD cắt (O) tại E . Tia AE cắt MB tại K . Chứng minh :

a)     MAOB là tứ giác nội tiếp và tam giác ABD cân tại B

b)   

c)     K là trung điểm MB

d)    BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AME

Bài 41 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) . Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H . Vẽ đường kính AD của đường tròn (O)

a)     Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp và

b)    Chứng minh : HD đi qua trung điểm của BC

c)     Gọi K là giao điểm EF và AD . Chứng minh :

d)    Gọi M , N lần lượt là giao điểm của EF với (O) . Chứng minh : tam giác AMN cân

e)     Chứng minh :

Bài 42 : Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB , AC đến (O) ( B ; C là tiếp điểm ) . Gọi H là giao điểm của OA và BC , qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OB cắt (O) tại D . ( D thuộc cung nhỏ BC ) . AD cắt (O) tại E ( E ≠ D ) . Gọi K là trung điểm của DE

a)     Chứng minh : A , B , O , K , C cùng nằm trên một đường tròn

b)    Chứng minh : KCDH là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh : AH . AO = AD . AE và tam giác OKH là tam giác cân

d)    Kẻ OI vuông góc CE tại I . Chứng minh : I , K , H thẳng hàng

Bài 43 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) . Kẻ đường phân giác AE của cắt BC và đường tròn (O) lần lượt tại D và E

a)     Chứng minh :

b)    Chứng minh : CD . AB = BD . AC

c)     Trên AB , AC lần lượt lấy điểm M , N sao cho BM = CN . Gọi H là trung điểm MN . Kẻ NK vuông góc OE tại K . Chứng minh : tam giác HKN luôn đi qua 1 điểm cố định khi A di chuyển trên cung BC

d)    Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AE cắt AC tại I . Đường tròn ( I ; IA) cắt AB , AC lần lượt tại Q và P . Chứng minh : BQ = CP

Bài 44 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) sao cho OMM = 2R . Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A , B là hai tiếp điểm ) . Kẻ cát tuyến MCD đến đường tròn (C nằm giữa M và D )

a)     Chứng minh : MAOB là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b)    Chứng minh :

c)     OM cắt (O) tại F sao cho O nằm giữa M và F . Chứng minh tam giác ABF đều

d)    Gọi E là giao điểm của FC và đường tròn (I) . Xác định vị trí của cát tuyến MCD để đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó theo R

Bài 45 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O ; R) . Vẽ BD vuông góc với AC , CE vuông góc với AB . BD và CE cắt nhau tại H . Vẽ đường kính AK

a)     Chứng minh : BHCK là hình bình hành

b)    Chứng minh : BCDE là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I

c)     Chứng minh :

d)    Gọi F là giao điểm AH và BC . Chứng minh : H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Bài 46 : Cho đường tròn (O ; R ) đường kính BC , A là một điểm trên đường tròn sao cho AB = R , hạ AH vuông góc BC . Đường tròn tâm I đường kính AH cắt BC , AC và đường tròn (O) tại D , E , F

a)     Chứng minh : ADHE là hình chữ nhật

b)    Chứng minh : BDEC là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh :

d)    AF cắt đường thẳng BC tại S . Chứng minh : S , D , E thẳng hàng

Bài 47 : Cho đường tròn (O) và dây CD bất kỳ khác đường kính . Từ điểm M trên tia đối của tia CD vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn ( A , B là tiếp điểm )

a)     Chứng minh :

b)    Tia phân giác của góc CAD cắt CD tại E và cắt đường tròn tại F . Chứng minh : MA = ME

c)     Chứng minh : BE là phân giác của

d)    Đường thẳng OF cắt CD tại K và cắt AB kéo dài tại N . Chứng minh rằng OK . ON không phụ thuộc vị trí điểm M trên tia đối của tia CD và NC , ND là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 48 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) bán kính R ( AB < AC) . 3 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của dường tròn

b)    Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K . Chứng minh : KF . KE = KB . KC

c)     AK cắt đường tròn (O) tại M . Chứng minh : A, M , F , H , E cùng nằm trên đường tròn

d)    Chứng minh : M , H , I thẳng hàng

Bài 49 : Cho đường tròn ( O ; R ) có đường kính AB . Bán kính CO vuông góc với AB , M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC ( M ≠ A , C ) ; BM cắt AC tại H . Gọi K là hình chiếu của H trên AB

a)     Chứng minh : CBKH là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : CA là phân giác của

c)     Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM . Chứng minh : ECM là tam giác vuông cân

d)    Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A ; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P , C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Chứng minh : PB đi qua trung điểm của HK

Bài 50 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R) . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC ( B , C là tiếp điểm ) . Qua B kẻ dây BE song song với AC . Cát tuyến AE cắt đường tròn (O) tại D ( D nằm giữa A , E) . Gọi F là trung điểm của DE

a)     Chứng minh : A , B , F , O , C cùng thuộc một đường tròn

b)    Tia BD cắt AC tại I . Chứng minh : và I là trung điểm CA

c)     Tia BF cắt đường tròn (O) tại K ( K ≠ B ) . Gọi T là giao điểm của OA với (O) ( T nằm giữa O và A ) , KT cắt BC tại H . Chứng minh : TC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK

d)    Trên đoạn thẳng OA lấy điểm S sao cho AS = 3OS . Chứng minh : ABSI là tứ giác nội tiếp

Bài 51 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp (O) . Ba đường AD , BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Tia AD cắt (O) tại K . ( K ≠ A) . Kẻ đường kính AM của (O) . Tia MH lần lượt cắt BC tại N và cắt (O) tại P

a)     Chứng minh : BC là đường trung trực HK

b)    Chứng minh : A , H , E , F , P cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm I của đường tròn đó

c)     Chứng minh : BK = CM và N là trung điểm BC

d)    Chứng minh : OI = NK

Bài 52 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O ; R ) và H là giao điểm của 3 đường cao AD , BE , CF

a)     Chứng minh : AEHF , AFDC là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : FC là tứ phân giác

c)     Vẽ đường kính BM của (O) . Chứng minh : EF . BM = MC . BC

d)    Trường hợp cho biết : . Chứng minh : tam giác AHO cân

Bài 53 : Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) , kẻ tiếp tuyến AB , AC đến (O) , BC là hai tiếp điểm

a)     Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp và

b)    Gọi M là trung điểm AC , BM cắt (O) tại E , tia AE cắt (O) tại F . Chứng minh : và AC // BF

c)     Tia CO cắt BF tại N và cắt (O) tại D . Chứng minh : BC , AF , MN đồng qui

d)    AO cắt (O) tại P và Q , AD cắt (O) tại T , BT cắt OA tại I . Chứng minh : IH = IA và

Bài 54 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp (O) có AH là đường cao và I là tâm đường tròn nội tiếp

a)     Chứng minh :

b)    Chứng minh : tam giác IBC cân và

c)     Qua D vẽ đường thẳng vuông góc AD cắt AH , BC lần lượt tại P , R . Chứng minh :

d)    Vẽ IK vuông góc BC , DK cắt AH tại S . Chứng minh : IS // BC

Bài 54 : Cho đường tròn (O) và điểm B nằm ngoài đường tròn . Từ B vẽ tiếp tuyến BA , BC đến đường tròn ( A , C là tiếp điểm ) , và vẽ cát tuyến BDE sao cho D nằm giữa B và E ( D , E thuộc (O)) . Gọi F là trung điểm của ED

a)     Chứng minh : A , B , C , F , O cùng thuộc một đường tròn

b)    Gọi H là giao điểm của OB , AC . Chứng minh : BH . BO = BD . BE

c)     Gọi I là giao điểm AC và DE . Chứng minh : OHDE là tứ giác nội tiếp và ID . EB = EI . EB

d)    Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng OB với đường tròn . Chứng minh : EK là phân giác

Bài 55 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có ba đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H .

a)     Chứng minh : BDHF , BCEF là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF

b)    Vẽ đường kính AK của đường tròn (O) . Chứng minh : AB . AC = AD . AK

c)     Vẽ CN vuông góc AK ( N thuộc AK ) . Chứng minh : ID = IN

d)    EF cắt BC tại M , KH cắt (O) tại P . Chứng minh : M , P , A thẳng hàng

Bài 56 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) có 3 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . EF cắt AD , BC lần lượt tại I , K

a)     Chứng minh :

b)    Chứng minh : KB . KC = KF . KE

c)     Gọi T là điểm đối xứng của H qua BC . Chứng minh : T thuộc (ABC)

d)    Gọi G là điểm đối xứng của A qua E . KG cắt AD tại N . Chứng minh : FN // EG

Bài 57 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) , vẽ đường thẳng xy vuông góc với OA . Lấy điểm B thuộc (O) sao cho góc AOB là góc tù . Tiếp tuyến tại B của (O) cắt đường thẳng xy tại c . Đường thẳng qua B và vuông góc với OC tại H cắt OA , xy và (O) lần lượt tại D , E , F ( F ≠ B )

a)     Chứng minh : ACOB là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh :

c)     Chứng minh :

d)    Đường trung tuyến CM của tam giác CBO cắt BH tại I , tia OI cắt BC tại N . Gọi K là trung điểm OI . Chứng minh : N , H , K thẳng hàng

Bài 58 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn (O) , ở đây A , B là các tiếp điểm và C nằm giữa M , D

a)     Chứng minh :

b)    Gọi I là trung điểm của CD . Chứng minh : M , A , O , I , B cùng nằm trên một đường tròn

c)     Gọi H là giao điểm của AB và MO . Chứng minh : CHOD là tứ giác nội tiếp . Suy ra AB là đường phân giác

d)    Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến C và D của đường tròn (O) . Chứng minh : A , B , K thẳng hàng

Bài 59 : Cho đường tròn ( O ; R ) , qua điểm K ở bên ngoài đường tròn , kẻ các tiếp tuyến KB , KD ( B , D là tiếp điểm ) , kẻ cát tuyến KAC ( A nằm giữa K và C )

a)     Chứng minh :

b)    Chứng minh : AB . CD = AD . BC

c)     Gọi I là trung điểm BD . Chứng minh : AIOC là tứ giác nội tiếp

d)    Kẻ dây CN // BD . Chứng minh : A , I , N thẳng hàng

Bài 60 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O ; R ) . Gọi H là giao điểm 3 đường cao AD , BE , CF của tam giác ABC . Gọi S là diện tích tam giác ABC

a)     Chứng minh : AEHF , AEDB là tứ giác nội tiếp

b)    Vẽ đường kính AK của (O) . Chứng minh : . Suy ra AB . AC = 2R . AD và

c)     Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh : EFDM là tứ giác nội tiếp đường tròn

d)    Chứng minh : và ( DE + EF + FD) . R = 2S

Bài 61 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O ; R) , các tiếp tuyến tại B và C với đường tròn (O) cắt nhau tại E , AE cắt (O) tại D ( khác điểm A)

a)     Chứng minh : OBEC là tứ giác nội tiếp

b)    Từ E kẻ đường thẳng d // với tiếp tuyến tại A của (O) , d cắt các đường thẳng AB , AC lần lượt tại P , Q . Chứng minh : AB . AP = AD . AE

c)     Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh : EP = EQ và =

d)    Chứng minh :

Bài 62 : Cho tam giác ABC đều , gọi O là trung điểm của BC . Các điểm D , E lần lượt di động trên các cạnh AB , AC sao cho = 60

a)     Chứng minh : tích BD . CE không đổi

b)    Chứng minh : DO là phân giác của

c)     Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB . Chứng minh : đường tròn này luôn tiếp xúc với DE và AC

d)    Gọi P , Q lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB , AC . I và N lần lượt là giao điểm của PQ và OD và OE . Chứng minh : DE = 2IN

Bài 63 : Từ điểm A nằm ngoài (O ; R ) , dựng các tiếp tuyến AB , AC và cát tuyến ADE ( D ,E thuộc (O) và D nằm giữa A, E ) . Đường thẳng qua D vuông góc với OB cắt BC , BE lần lượt tại H và K . Vẽ OI vuông góc với AE tại I .

a)     Chứng minh : B , I , O , C cùng thuộc một đường tròn

b)    Chứng minh : IA là phân giác của

c)     Gọi S là giao điểm của BC và AD . Chứng minh : và IHDC là tứ giác nội tiếp

d)    Chứng minh : và DH = HK

Bài 64 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R ) ( AB > AC ) . Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD , CE của tam giác ABC , F là giao điểm của AH , BC

a)     Chứng minh : BEHF là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : FA . FH = FB . FC

c)     Vẽ đường kính AI của đường tròn (O) . Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC . Chứng minh : BIKC là hình thang cân

d)    Cho = 30 . Tính diện tích của tứ giác ABIC theo R

Bài 65 : Cho đường tròn ( O ; R ) , đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A , B . Từ một điểm C trên tia đối của tia AB , kẻ hai tiếp tuyến CM , CN với đường tròn ( O) ( M , N thuộc (O)) . Gọi H là trung điểm của AB , tia HO cắt tia CN tại K

a)     Chứng minh : C , M , H , N cùng thuộc một đường tròn

b)    Chứng minh : KN . KC = KH . KO

c)     Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I . Chứng minh : I cách đều CM , CN và MN

d)    Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt tia CM , CN lần lượt tại E và F . Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 66 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O ; R ) . Dựng đường tròn (K) đường kính BC cắt cạnh AB , AC lần lượt tại các điểm F , E . Gọi H là giao điểm của BE và CF .

a)     Chứng minh : AF . AB = AE . AC và AH vuông góc BC

b)    Chứng minh :

c)     Từ A dựng các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (K) với M , N là các tiếp điểm và N thuộc cung . Chứng minh : M , H , N thẳng hàng

d)    Kẻ tia AD là tia phân giác góc BAC ( D thuộc BC ) , AD kéo dài cắt đường tròn (O) tại P . Chứng minh : OP , CI cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD )

Bài 67 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Vẽ đường tròn tâm A , bán kính AH . Từ B và C kẻ các tiếp tuyến BD , CE với đường tròn ( D , E là các tiếp điểm không nằm trên BC )

a)     Chứng minh : BD + CE = BC

b)    Chứng minh : D , A , E thẳng hàng

c)     Chứng minh : DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

d)    Đường tròn đường kính BC cắt đường tròn (A) tại M ,  N . MN cắt AH tại I . Chứng minh : I là trung điểm AH

Bài 68 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) , vẽ AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) ( B là tiếp điểm ) . Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H .

a)     Chứng minh : AC là tiếp tuyến của (O)

b)    Kẻ đường kính CD của đường tròn (O) . Chứng minh : BD // OA

c)     Tính tích OA . OH theo R

d)    Giả sử . Cho M là điểm di động trên đoạn thẳng BC , qua A vẽ đường thẳng vuông góc đường thẳng OM tại N . Tìm giá trị nhỏ nhất của ( 4OM + ON )

Bài 69 : Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó ( C ≠ A , B ) . Lấy điểm D thuộc dây BC ( D ≠ B ,C ) . Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E , tia AC cắt tia BE tại điểm F

a)     Chứng minh : FCDE là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : DA . DE = DB . DC

c)     Chứng minh : = . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh : IC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d)    Cho biết DF = R  . Chứng minh :

Bài 70 : Cho nửa đường tròn (O ; R ) đường kính AB . Vẽ bán kính OC vuông góc với AB . Gọi K là điểm nằm giữa hai điểm B và C . Tia AK cắt đường tròn (O) tại M .

a)     Tính số đo của =

b)    Vẽ CI vuông góc với AM ( I thuộc AM ) . Chứng minh : AOIC là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh : AI . AK = AO . AB

d)    Nếu K là trung điểm của BC . Tính

Bài 71 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) . Đường phân giác góc A cắt (O) tại M , AH là đường cao của tam giác ABC , I là trung điểm BC , D và E là hình chiếu của M lên AB , AC

a)     Chứng minh : AM là phân giác

b)    Chứng minh :

c)     Tia MO cắt (O) tại N . Vẽ OF vuông góc với NC . Chứng minh : OICF là tứ giác nội tiếp và

d)    Chứng minh : đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác OICF tiếp xúc

Bài 72 : Cho đường tròn ( O ; R ) có đường kính BC . Trên (O) lấy điểm A sao cho ( AB > AC ) . Vẽ các tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại S .

a)     Chứng minh : SAOB là tứ giác nội tiếp

b)    SC cắt (O) tại D ( D ≠ C ) . Chứng minh :

c)     Gọi H là giao điểm của SO và AB . Chứng minh : DHOC là tứ giác nội tiếp

d)    DH cắt (O) tại K ( K ≠ D ) . Chứng minh : O , A , K thẳng hàng

Bài 73 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O ; R) . Các đường cao AD , BM , CN cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : AMHN , BCMN là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : AM . AC = AN . AB . Biết . Tính số đo

c)     Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại S . AS cắt (O) tại T . Chứng minh : ATNM là tứ giác nội tiếp

d)    Kẻ đường kính AK . Chứng minh : K , H , T thằng hàng

Bài 74 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp ( O ; R ) , vẽ đường cao AK và đường kính AD

a)     Tính số đo . Chứng minh : AK . AD = AB . AC

b)    Chứng minh :

c)     Vẽ BM vuông góc AC , AK và BM cắt nhau tại H , CH cắt AB tại N . Chứng minh : BNMC là tứ giác nội tiếp . Từ đó suy ra

d)    BM kéo dài cắt đường tròn (O) tại E và CN kéo dài cắt (O) tại F . Chứng minh : E , H , F cùng nằm trên một đường tròn . Xác định tâm đường tròn này

Bài 75 : Cho đường tròn (O ; R ) . Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến ME , MF với đường tròn (O) ( E , F là tiếp điểm )

a)     Chứng minh : MEOF là tứ giác nội tiếp

b)    Kẻ cát tuyến MAB với đường tròn (O) . Chứng minh :

c)     OM cắt đường tròn (O) tại C và cắt EF tại H . Chứng minh : C là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF

d)    Chứng minh : HF là tia phân giác của

Bài 76 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O ; R ) . Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : CDHE , BCEF là tứ giác nội tiếp

b)    Gọi I là trung điểm của BC . Lấy K đối xứng với H qua I . Chứng minh : AK là đường kính của (O)

c)     Chứng minh : nếu thì OH // BC

d)    Các tia BE và CF cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N . Lấy điểm S trên cung nhỏ BC , SM cắt AC ở J , SN cắt AB ở L . Chứng minh : H , J , L thẳng hàng

Bài 77 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R) . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC (B , C là các tiếp điểm )

a)     Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp và

b)    Lấy điểm M trên cung lớn BC kẻ CN vuông góc CM tại N . Gọi I là trung điểm của BN , MI cắt (O) tại E khác M , AE cắt (O) tại F khác E . Chứng minh : AB . AC = AE . AF

c)     Chứng minh : vuông

d)    Chứng minh : khi M di động trên cung lớn BC thì EF có độ dài không đổi

Bài 78 : Cho đường tròn (O ; R ) có đường kính BC . Trên (O) lấy điểm A sao cho ( AB > AC ) . Vẽ các tiếp tuyến tại A , B của (O) cắt nhau tại S

a)     Chứng minh : SAOB là tứ giác nội tiếp và

b)    Kẻ đường kính AE của (O) ; SE cắt (O) tại D . Chứng minh :

c)     Gọi I là trung điểm của DE ; K là giao điểm của AB và SE . Chứng minh : SD . SE = SK . SI

d)    Vẽ tiếp tuyến tại E của (O) cắt tia OI tại F . Chứng minh : A , B , F thẳng hàng

Bài 79 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D

a)     Chứng minh : OBDC là tứ giác nội tiếp

b)    Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC , BC lần lượt tại E và F . Chứng minh : B , O , E , C , D cùng nằm trên một đường tròn

c)     Đường thẳng AD cắt (O) tại K ( khác A ) . Chứng minh : DE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKF

d)    Gọi M là trung điểm cạnh BC . Chứng minh : =

Bài 80 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O ; R ) ( AB < AC ) . Hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H . Gọi F là trung điểm của AH

a)     Chứng minh : BDEC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I , xác định I , IF vuông góc DE

b)    Kẻ dây BK // CD . Chứng minh : BHCK là hình bình hành và AH = 2OI

c)     Qua A vẽ đường thẳng xy // DE . Chứng minh : xy là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d)    Cho điểm M nằm giữa B , C . Hãy xác định vị trí của A để tổng khoảng cách từ M đến AB và AC bằng khoảng cách từ B đến AC

Bài 81 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) . Phân giác của góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại P

a)     Chứng minh : DA . DP = DB . DC và AB . AC = AD . AP . Suy ra

b)    Kẻ đường cao AH của tam giác ABC ( H thuộc BC ) . Chứng minh : AD là phân giác của

c)     Đường trung tuyến AM ( M thuộc BC ) của tam giác ABC cắt (O) tại Q .Gọi E là điểm đối xứng của D qua M . Chứng minh : PMEQ là tứ giác nội tiếp

d)    Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD . Chứng minh : PM , CI , QE đồng qui tại một điểm thuộc đường tròn (O)

Bài 82 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Điểm M thuộc AC . Vẽ đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và tia BM tại D

a)     Chứng minh : ABCD là tứ giác nội tiếp và MA . MC = MB . MD

b)    Tia AD cắt đường tròn đường kính MC tại S . Chứng minh : CA là phân giác của ; BD là phân giác của

c)     Chứng minh : AB , MN , CD đồng qui tại 1 điểm

d)    Tia AN cắt đường tròn đường kính MC tại E . Chứng minh : DE // AB

e)     Chứng minh :

Bài 83 : Cho đường tròn (O ; R ) và điểm P ở ngoài (O) . Một cát tuyến qua P cắt (O) tại M và N (PMN không qua tâm (O)) . Hai tiếp tuyến tại M và N (O) cắt nhau tại A . Vẽ AE vuông góc OP

a)     Chứng minh : A , M , E , O , N cùng nằm trên một đường tròn

b)    Tia AE cắt (O) tại I và K . Chứng minh :

c)     OA cắt MN tại F . Chứng minh :

d)    Chứng minh : PI , PK là hai tiếp tuyến của (O)

e)     Chứng minh : MI . MK = IN . MK

Bài 84 : Cho tam giác ABC (AB < AC ) nội tiếp (O) và đường kính AK . AB và CK cắt nhau tại E . AC và BK cắt nhau tại F

a)     Chứng minh : BECF là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : EF // với tiếp tuyến tại A của (O)

c)     Hai tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D . AK cắt EF tại H . Chứng minh : B , O , C , H , D cùng nằm trên một đường tròn . Suy ra E , D , F thẳng hàng

d)    AD cắt cung tại N . Chứng minh : BEND là tứ giác nội tiếp

e)     Kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC . Chứng minh : =

Bài 85 : Đường tròn (O ; R ) có đường kính AB và tiếp tuyến Ax . Điểm M trên Ax và điểm C trên (O) sao cho MA = MC

a)     Chứng minh : MC là tiếp tuyến của (O) và tứ giác OAMC là tứ giác nội tiếp

b)    Tia BC cắt Ax tại D . Vẽ CH vuông góc AB ( H thuộc AB ) . Tia CH cắt MB tại K . Tính BC . BD theo R và chứng minh rằng K là trung điểm của CH

c)     BM cắt cung tại E và DE cắt (O) tại F . Chứng minh : DMEC là tứ giác nội tiếp và C , H , F thẳng hàng

d)    Đường trung trực của BC và tia AK cắt nhau tại N . Chứng minh : tam giác ANB vuông

Bài 86 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Điểm M thuộc cung BC nhỏ . Vẽ

a)     Chứng minh : ADMF là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : MD . MC = MB . MF

c)     Gọi E là giao điểm của DF và BC . Chứng minh :

d)    Cho BC cố định trên (O) , A và M di động trên 2 cung . Xác định vị trí của A và M để diện tích tam giác MDF có giá trị lớn nhất

Bài 87 : Cho đường tròn ( O ; R ) đường kính AB . Hai điểm I và K thuộc AB với OI = OK < R . Điểm M thuộc (O) . MI ; MO ; MK cắt (O) tại C ; E ; D . AB cắt CD tại F ; EI cắt CD tại N và MI cắt EF tại H .

a)     Chứng minh : MIEK là tứ giác nội tiếp và DE // HN

b)    Chứng minh : ENCH là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh : EF là tiếp tuyến của (O)

d)    MK cắt EF tại P . Chứng minh : ABPH là tứ giác nội tiếp

Bài 88 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H . BD và CE kéo dài gặp (O) tại M và N

a)     Chứng minh : BDCE là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : cân và MN // DE

c)     Chứng minh : cân và tại F

d)    Gọi K là điểm đối xứng của D qua BC . Chứng minh : E , F , K thẳng hàng

e)     DE cắt (O) tại P . Chứng minh : AP là tiếp tuyến ( )

Bài 89 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có đường kính AD = 2R ; AC và BD cắt nhau tại E . Vẽ

a)     Chứng minh : ABEF , CDEF là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : EF là tia phân giác của

c)     Chứng minh :

d)    Gọi M và N là trung điểm của EA và ED . Chứng minh : O , B , C , N , F , M cùng nằm trên một đường tròn

e)     AB và CD kéo dài gặp nhau tại K . Tính số đo và độ dài KE để cho

Bài 90 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O ; R ) có đường cao AD cắt cung tại E . Kẻ dây EK // BC

a)     Chứng minh : BCKE là hình thang cân và A , O , K thẳng hàng

b)    Trên đoạn AD lấy DH = DE . Chứng minh : H là trực tâm của tam giác ABC

c)     Gọi M là trung điểm BC . AM cắt HO tại G . Chứng minh : G là trọng tâm của tam giác ABC và

d)    BH ; CH cắt AC và AB tại P và Q . PQ cắt AH tại I . Gọi F là trung điểm của AH . Chứng minh : I là trực tâm tam giác FBC

Bài 91 : Gọi AB , AC là 2 tiếp tuyến của (O) . Gọi M là trung điểm của AC . Đường thẳng BM cắt cung tại E .

a)     Chứng minh :

b)    Đường thẳng AE cắt cung lớn tại F . Chứng minh : BF // AC và

c)     Chứng minh : BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC

d)    Tia CO cắt BF tại N . Chứng minh : BC ; AF ; MN đồng qui tại 1 điểm

Bài 92 : Cho đường thẳng (d) cắt ( O ; R ) tại A và B . Điểm M thuộc (d) và ở ngoài (O) với ( MA < MB ) . Vẽ tiếp tuyến MD đến (O) với D là tiếp điểm . Vẽ dây DE vuông góc OM tại N , gọi H là trung điểm của AB .

a)     Chứng minh : ME là tiếp tuyến (O)

b)    Chứng minh : MN . MO = MA . MB . Suy ra ANOB là tứ giác nội tiếp

c)     Vẽ đường kính DF của (O) . Đường thẳng qua A và song song với MO cắt DF tại K và tia BF tại I . Chứng minh : ADKH là tứ giác nội tiếp

d)    Chứng minh : K là trung điểm AI

Bài 93 : Cho điểm A nằm ngoài ( O ; R ) . Vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC ( B , C là tiếp điểm ) và cát tuyến ADE ( D nằm giữa A và E ) . Đoạn AO cắt BC tại H

a)     Chứng minh : AH . AO = AD . AE . Suy ra OHDE là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : BC là phân giác của

c)     Vẽ dây DK // BC . Chứng minh : H , K ,E thẳng hàng ; = ;

d)    Qua D , vẽ đường thẳng song song với BE cắt AB tại F và tia BC tại G . Chứng minh : D là trung điểm của FG

Bài 94 : Cho hai dây BC và EF của (O) cắt nhau tại M . Hai tiếp tuyến từ B và C cắt nhau tại A

a)     Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp và tại H

b)    Hai tiếp tuyến tại E và F cắt nhau tại D . OD cắt EF tại K . Chứng minh : OHMK là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh : OH . OA = OM . OD

d)    Chứng minh :

Bài 95 : Cho hai đường tròn (O ; R ) và (O’ ; R’ ) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’) . Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A ) . EF là dây cung của đường tròn (O’) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC , EC cắt đường tròn (O’) tại D

a)     Tứ giác BEFC là hình gì ?

b)    Chứng minh : A , D , F thẳng hàng

c)     CF cắt đường tròn (O’) tại G . Chứng minh : EG , DF , CI đồng qui

d)    Chứng minh : ID tiếp xúc với đường tròn (O’)

Bài 96 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC ) . Hai đường cao BE , CF cắt nhau tại H . Tia BE cắt (O) tại M ( M không trùng với B ) , tia CF cắt (O) tại N ( N không trùng với C )

a)     Chứng minh : CM = CI

b)    Tia MN cắt AB , AC và tia CB lần lượt tại P , Q , R . Chứng minh : RN . RM = RP . RQ

c)     Tia AH cắt BC tại D , gọi K là trung điểm AC . Chứng minh : KEFD là tứ giác nội tiếp

d)    Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF cắt (O) tại T ( T không trùng với B ) . Chứng minh : H , K , T thẳng hàng

Bài 97 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có ba góc nhọn . Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AC , AB lần lượt tại D , E . Gọi H là giao điểm của BD và CE ; F là giao điểm của AH và BC

a)     Chứng minh : =

b)    Gọi M là trung điểm của AH . Chứng minh : và M , D , O , F , E cùng thuộc một đường tròn

c)     Gọi K là giao điểm của AH và DE . Chứng minh : và K là trực tâm của tam giác MBC

d)    Chứng minh :

Bài 98 : Từ điểm M nằm ngoài (O ; R ) , sao cho OM = 2R vẽ tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn ( A , B là tiếp điểm ) . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm MA , MB

a)     Chứng minh : tam giác ABM đều và tính độ dài AB theo R

b)    Gọi H là giao điểm của AB và OM . Chứng minh : HEMF là hình thoi và tính diện tích hình thoi theo R

c)     OM cắt (O) tại C . Chứng minh : A , C , F thẳng hàng

d)    Gọi I là điểm bất kỳ thuộc EF ( I khác giao điểm 2 đường chéo hình thoi ) . Từ I , vẽ tiếp tuyến IK đến (O) . Chứng minh : IK = IM

Bài 99 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Ba đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC

b)    Chứng minh : AB . AF = AC . AE

c)     Tiếp tuyến tại F của (O) cắt AH tại S . Chứng minh : S là trung điểm AH và SE là tiếp tuyến của (O)

d)    Kẻ tiếp tuyến AM của (O) . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD . Chứng minh : M , I , O thẳng hàng

Bài 100 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O . H là giao điểm 2 đường cao CE và BF . D là một điểm trên cung không chứa điểm A .

a)     Chứng minh : và tứ giác AEHF , BEFC là tứ giác nội tiếp

b)    Xác định vị trí của điểm D để tứ giác BHCD là hình bình hành

c)     Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB , AC . Chứng minh : P , H , Q thẳng hàng

d)    Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất

Bài 101 : Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC sao cho ( AC > AB ) . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC . Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD ; AD và CE

a)     Chứng minh : =

b)    Chứng minh : DE // BC

c)     Chứng minh : PACQ là tứ giác nội tiếp

d)    Chứng minh :

Bài 102 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , M thuộc cung AB , I thuộc đoạn thẳng OA . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M , kẻ các tiếp tuyến Ax , By với (O) . Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM cắt Ax tại C . Qua I dựng một đường thẳng vuông góc với IC cắt tia By tại D . Gọi E là giao điểm của AM và CI , F là giao điểm của ID và MB

a)     Chứng minh : ACMI , MEIF là tứ giác nội tiếp \

b)    Chứng minh : EF // AB

c)     Chứng minh : C , M , D thẳng hàng

d)    Chứng minh : hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CME và MFD tiếp xúc nhau tại M

Bài 103 : Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R , C là điểm bất kì trên (O) ( C không trùng A , B ) . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại I . Gọi M là trung điểm BC

a)     Chứng minh : AOMI là tứ giác nội tiếp

b)    Kẻ dây cung AK vuông góc với OI tại H . Chứng minh : AIKM là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh : CO , KM và đường thẳng đi qua A song song với BC cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn (O) và HK là tia phân giác của

d)    Gọi E là giao điểm của tia AK và OM . Chứng minh : EB là tiếp tuyến của (O)

Bài 104 : Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB , điểm C thuộc nửa đường tròn ( AC > AB ) . Kẻ CH vuông góc với AB tại H . Đường tròn tâm K đường kính CH cắt CA , CB tại D , E và cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là F

a)     Chứng minh : CH = DE và CA . CD = CB . CE

b)    Chứng minh : ADEB là tứ giác nội tiếp và

c)     CF và AB tại Q . Chứng minh : Q là giao điểm của DE với đường tròn ngoại tiếp tam giác OKF

d)    Cho . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB theo R

Bài 105 : Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC ) , đường cao AH . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính AH cắt AB tại E , nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F

a)     Chứng minh : AFHE là hình chữ nhật

b)    Chứng minh : BEFC là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh : AE . AB = AF . AC

d)    Chứng minh : EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

Bài 106 : Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G

a)     Chứng minh :

b)    Chứng minh : ADEC , AFBC là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh : AC // FG

d)    Chứng minh : AC , DE , BF đồng qui

Bài 107 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp ( O ; R ) . Hai đường cao BM , CN cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : AMHN là tứ giác nội tiếp và tại D

b)    Chứng minh : AM . AC = AN . AB . Biết  ; Tính số đo độ của

c)     Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại S . AS cắt (O) tại T . Gọi I là trung điểm BC . Chứng minh : ATMN là tứ giác nội tiếp và I , H , T thẳng hàng

d)    Kẻ đường kính BK . Chứng minh : AHCK là hình bình hành và tam giác AHO cân

Bài 108 : Cho đường tròn (O ; R ) và dây . Vẽ đường tròn ( O’ ; ) đi qua A , B . Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn tiếp xúc (O) tại C và (O’) tại D . AB cắt OO’ tại I và CD tại K

a)     Chứng minh : . Suy ra : COIK , DO’IK là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : K là trung điểm CD

c)     Tính diện tích phần chung của 2 đường tròn theo R

d)    Một cát tuyến bất kì qua A cắt (O) tại M và (O’) tại N . Chứng minh : trung trực MN luôn đi qua 1 điểm cố định khi MN quay quanh A

Bài 109 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) . Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của (O)

a)     Chứng minh : AB . AC = AH . AD

b)    Vẽ BE và CF lần lượt vuông góc với AD ( E và F thuộc AD ) . Chứng minh : ABHE , ACFH là tứ giác nội tiếp

c)     Chứng minh :

d)    Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh : M là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác EHF

Bài 110 : Từ điểm A nằm ở ngoài đường tròn (O ; R ) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (B ; C là các tiếp điểm ) và cát tuyến ADE sao cho D và C nằm ở nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia AO . Gọi H là giao điểm của OA và BC

a)     Chứng minh : . Từ đó suy ra tứ giác OHDE nội tiếp

b)    Tia AO cắt đường tròn (O) tại P và G ( G nằm giữa A và P ) . Chứng minh : GA . PH = GH . PA

c)     Vẽ đường kính BK và DM của (O) . Tia AO cắt EK tại N . Chứng minh : M , N , B thẳng hàng

d)    MK cắt BC tại L . Gọi S là trung điểm của BL . Chứng minh : NS // AB

Bài 111 : Cho ( O ; R ) và một điểm M nằm ngoài đường tròn . Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MA , MC ( A , C là các tiếp điểm ) và cát tuyến MBD đến đường tròn ( B nằm giữa M , D )

a)     Chứng minh : MAOC là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : và AB . CD = AD .  BC

c)     Chứng minh :

d)    Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC , DC lần lượt tại N , P . DN cắt (O) tại E . Chứng minh : A , E , P thẳng hàng

Bài 112 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) . Vẽ đường tròn tâm I có đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại D và E . Gọi H là giao điểm của BD và CE ; AH cắt BC tại F

a)     Chứng minh : ADHE , AEFC là tứ giác nội tiếp

b)    Vẽ đường kính AK , gọi Q là điểm đối xứng của H qua BC . Chứng minh : BCKQ là hình thang cân

c)     Cho biết BC = 2DE . Tính độ dài AH theo R

d)    AH cắt DE tại P ; AK cắt BC tại S . Chứng minh : HI // PS

Bài 113 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) , đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại F và E , BE và CF cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : tại D và DCEH là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : =

c)     Vẽ DM // CF ( M thuộc tia EF ) . Chứng minh :

d)    Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BF ; AO cắt CF tại K . Chứng minh : AM . OB = CK . AI

Bài 114 : Từ điểm A ở ngoài ( O ; R ) , kẻ 2 tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B và C là tiếp điểm )

a)     Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I

b)    Gọi E là trung điểm của AI . BE cắt (O) tại K . Chứng minh : =

c)     Gọi D là trung điểm của BO . Chứng minh : CB là phân giác của

d)    Gọi F là giao điểm của CD và AO ; H là giao điểm của AO và BC . Chứng minh : OF . OE = OH . OI

Bài 115 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R ) , kẻ đường cao AH ( H thuộc BC) . Gọi D , E lần lượt chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB , AC

a)     Chứng minh : ADHE , BDEC là tứ giác nội tiếp

b)    Gọi I là giao điểm chính giữa cung nhỏ BC . Chứng minh : AI là phân giác

c)     Vẽ đường kính AK của đường tròn (O) . Chứng minh :

d)    Vẽ đường tròn ( A ; AH ) cắt đường tròn (O) tại M , N . Chứng minh : M , D , E , N thẳng hàng

Bài 116 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp đường tròn ( O ; R ) có 3 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp AEF

a)     Chứng minh : HE . HB = 2 HI . HD

b)    Chứng minh : DFIC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp

c)     BE cắt DF tại M ; CF cắt DE tại N . Chứng minh :

d)    Cho , . Tính độ dài EF theo R

Bài 117 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp ( O ; R ) đường kính AK . Vẽ các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : AB . AC = AD . AK và

b)    Gọi giao điểm của AH và EF là N , giao điểm của AK và BC là P . Chứng minh : và NP // HK

c)     Gọi I là trung điểm của AH và M là giao điểm của đường thẳng AD với (O) ( M khác A ) . Chứng minh : MFIC là tứ giác nội tiếp và

d)    Đường thẳng KH cắt (O) tại Q ( Q khác K ) . Chứng minh : AQ , EF , CB đồng qui

Bài 118 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) . Đường tròn tam (O) đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại F và E . BE và CF cắt nhau tại H . AH cắt BC tại D

a)     Chứng minh : AEHF là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm S của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF

b)    Đoạn thẳng AD cắt đường tròn tâm O tại M . Chứng minh :

c)     Tiếp tuyến tại M cắt (O) cắt BC tại Q Chứng minh : Q , F , E thẳng hàng

d)    Chứng minh : AM . DM = AD . MH

Bài 119 : Cho đường tròn ( O ; R ) . Từ một điểm M nằm ngoài ( O ; R ) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A , B là hai tiếp điểm ) . Lấy điểm C bất kì trên cung nhỏ AB ( C là khác với A và B ) . Gọi D , E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB , AM , BM

a)     Chứng minh : AECD là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : =

c)     Chứng minh : Gọi I là giao điểm của AC , ED . K là giao điểm của CB và DF . Chứng minh : IK // AB

d)    Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để ( nhỏ nhất . Tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM = 2R

Bài 120 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K ( D thuộc BC ) . Trên AD lấy điểm H sao cho D là trung điểm của KH ; tia BH cắt AC tại E . Đường thẳng qua E vuông góc với OA cắt AB tại F và cắt BC tại S ; SA cắt đường tròn 9O) tại điểm thứ hai là Q . Chứng minh :

a)     Chứng minh : DHEC là tứ giác nội tiếp . Suy ra H là trực tam của tam giác ABC

b)    Chứng minh : CF là đường cao của tam giác ABC

c)     Chứng minh : AO và QH cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn (O)

d)    Chứng minh : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SEC , QFB , QHD cùng nằm trên một đường thẳng

Bài 121 : Cho đường tròn tâm (O) bán kính R và một đường thẳng d cố định không cắt ( O ; R ) . Kẻ OH vuông góc với d . M là một điểm thay đổi trên d ( M không trùng với H ) . Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ ( P , Q là tiếp điểm ) với đường tròn ( O ; R ) . Dây cung PQ cắt OH tại I và cắt OM tại K .

a)     Chứng minh : O , Q , H , M , P cùng nằm trên một đường tròn

b)    Chứng minh : IH . IO = IQ . IP

c)     Chứng minh : khi M thay đổi trên d thì tích IP . IQ không đổi

d)    Giả sử góc PMQ bẳng 60 . Tính tỉ số diện tích hai tam giác MPQ và OPQ

Bài 122 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Các tiếp tuyến tại B và C của (O)  cắt nhau tại S . Vẽ tại D , tại E , tại F

a)     Chứng minh : ADBE là tứ giác nội tiếp và =

b)    ED cắt AB tại H , FD cắt AC tại K . Chứng minh : AHDK là tứ giác nội tiếp

c)     AS cắt (O) và BC lần lượt tại I và N ( I ≠ A) . Chứng minh :

d)    Gọi M là trung điểm của BC . Gọi lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH và tam giác AFK . T là giao điểm thứ hai của . Chứng minh : A , T , M thẳng hàng

Bài 123 : Cho (O ; R ) và điểm A bất kỳ thuộc đưởng tròn . Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn lấy điểm M sao cho MA = 2R . Từ M vẽ tiếp tuyến MB với (O) ( B là tiếp điểm , B khác A ) . AB cắt OM tại H

a)     Chứng minh : MAOB là tứ giác nội tiếp và

b)    Vẽ đường kính BD của (O) ; MD cắt (O) tại E ( E khác D ) . Chứng minh :

c)     Tính

d)    Từ A vẽ cắt ED tại I . Chứng minh : I là trung điểm của AF

Bài 124 : Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BE , CF . Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M . Gọi D là giao điểm của AM và đường tròn (O) , I là giao điểm của AD và EF

a)     Chứng minh : BFEC , BFID là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : AB . CD = AC . BD

c)     Chứng minh : I là trung điểm EF

d)    Gọi K là giao điểm của OM và BC , H là giao điểm của AK và EF . Kẻ ( L thuộc BC ) . Chứng minh : A , I , L thẳng hàng

Bài 125 :  Cho hai đường tròn ( O ; R ) , ( O’ ; R’ ) tiếp xúc ngoài tại C , CA là đường kính của (O) , CB là đường kính của (O’) sao cho CA > CB . Qua trung điểm M của AB , vẽ dây . Đường thẳng DC cắt (O’) tại F

a)     Chứng minh : AEBD là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : B , F , E thẳng hàng

c)     Đường thẳng BD cắt (O’) tại G . Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác MGF

d)    Chứng minh : MF là tiếp tuyến của (O’)

Bài 126 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O ; R ) với AB < AC . Đường cao AD của Tam giác ABC cắt (O) tại E . Trên tia DA lấy điểm H sao cho DH = DE , tia BH cắt AC tại F

a)     Chứng minh : CDHF là tứ giác nội tiếp và H là trực tam tam giác ABC

b)    Vẽ đường kính AK của (O) . Chứng minh : AB . AC = AD . AK . Suy ra

c)     Vẽ tại N , gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh : MD = MN

d)    Tia phân giác B̂ và Ĉ của tam giác ABC cắt (O) lần lượt tại S và T . Dựng đường tròn tâm S tiếp xúc AC , đường tròn tâm T tiếp xúc với AB . Vẽ tiếp tuyến IP của (T)(P là tiếp điểm ) sao cho IP nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng CT chứa tia CB , vẽ tiếp tuyến IQ của (S) (Q là tiếp điểm ) sao cho IQ nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BS chứa tia BC . Gọi I là giao điểm BS và CT . Chứng minh : P , I , Q thẳng hàng

Bài 127 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp (O) . Vẽ đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đường thẳng AH cắt (O) tại N ( N khác A )

a)     Chứng minh : và N đối xứng nhau qua BC

b)    Gọi giao điểm của AN và EF tại K . Chứng minh : BFKN là tứ giác nội tiếp

c)     Gọi I là trung điểm của AH .  Chứng minh :

d)    Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P . Gọi M là trung điểm BC . Đường thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE tại Q (Q khác M ) . Chứng minh : P , H , Q thẳng hàng

Bài 128 : Cho hình vuông ABCD . Trên AB và AD lấy 2 điểm M và N sao cho góc MCN = 45 . BD cắt CM và CN tại E và F

a)     Chứng minh : BCFD và CDNE là tứ giác nội tiếp

b)    MF và NE cắt nhau tại H . Chứng minh : CH cắt MN tại K .

c)     Gọi I là trung điểm MN . Chứng minh : IEFK là tứ giác nội tiếp

d)    Chứng minh : MN = MB + ND

Bài 129 : Cho đường tròn ( O ; R ) và điểm A ở bên ngoài đường tròn . Vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (O)( B , C là tiếp điểm ) . Gọi M là trung điểm của AB

a)     Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này

b)    Chứng minh : AM . AO = AB . AI

c)     Gọi E là trung điểm của AM , K là trung điểm của AC và G là giao điểm của CE và MK . Chứng minh : MG // BC

d)    Chứng minh :

Bài 130 : Cho 3 điểm A , B , C thẳng hàng ( B nằm giữa A và C ) , vẽ đường tròn tâm (O) đường kính BC ; AM là tiếp tuyến vẽ từ A .  Từ tiếp điểm M vẽ đường thẳng vuông góc với BC , đường thẳng này cắt BC tại H và cắt đường tròn (O) tại N .

a)     Chứng minh : AMON là tứ giác nội tiếp và

b)    Từ B kẻ đường thẳng song song MC , đường thẳng này cắt AM ở D và cắt MN tại E . Chứng minh : cân

c)     Chứng minh :

d)    Gọi I là 1 điểm di động trên cung lớn MN của (O) . Tìm vị trí I thuộc (O) để chu vi tam giác IMN  đạt giá trị lớn nhất

Bài 131 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : BEDC , ADHE là tứ giác nội tiếp . Xác định lần lượt tâm M và N của các đường tròn ngoại tiếp

b)    Tứ giác ANMO là tứ giác nội tiếp ? Chứng minh ?

c)     DE cắt BC tại S . AS cắt đường tròn (O) tại K . Chứng minh :

d)    Chứng minh : K , H , M thẳng hàng

Bài 132 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp ( O ; R ) , M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC , OM cắt BC tại D . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của M trên AB , AC

a)     Chứng minh : BEMD , CMDF là tứ giác nội tiếp

b)    Vẽ đường cao AH của tam giác ABC ( H thuộc BC ) và đường kính AK của (O) . Chứng minh : AB . AC = AH . AK

c)     Chứng minh : E , D , F thẳng hàng

d)    Chứng minh : AB . CK + AC . BK = AK . BC

Bài 133 : Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến ABC với (O) . Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D . Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với AO tại H và cắt đường tròn tại E và F ( E nằm giữa D và F ) . Gọi M là giao điểm của OD và BC .

a)     Chứng minh : EMOF là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : AE , AF là hai tiếp tuyến của (O)

c)     Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với OF cắt CF tại P và EF tại Q . Chứng minh : Q là trung điểm của BP

d)    DF cắt BC tại I . Chứng minh :

Bài 134 : Cho tam giác ABC ( AC < AB ) nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R ) . Ba đường AD , BE , CF cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : ACDF là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm J của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACDF

b)    Chứng minh :

c)     Chứng minh : H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

d)    Qua A kẻ tia At vuông góc với AB , tia At cắt cung nhỏ AC tại M . Chứng minh : H , J , M thẳng hàng

Bài 135 : Cho nửa đường tròn (O ; R ) có đường kính BC = 2R và một điểm A trên nửa đường tròn ( A khác B và C ) . Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) . Trên nửa mặt phẳng bờ BC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A , hai nửa đường tròn đường kính HB và HC lần lượt cắt AB và AC tại E và F

a)     Chứng minh : AE . AB = AF . AC

b)    Chứng minh : EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính HB và HC

c)     Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC . Chứng minh : I , A , K thẳng hàng

d)    Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M . Chứng minh : MC , AH , EF đồng qui tại 1 điểm

Bài 136 : Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O ; R ) sao cho SO > 2R , kẻ hai tiếp tuyến SA và SB ( A , B là hai tiếp điểm ) . AB cắt OS tại H

a)     Chứng minh : S , A , H , O cùng thuộc một đường tròn . Xác định tâm M của đường tròn này

b)    MB cắt đường tròn (O) tại C . ( C khác B ) . AC cắt SO tại D . Chứng minh : DC . DA = DO . DM

c)     Gọi K là giao điểm của CH và (O) , E là giao điểm của BD và (O) . Chứng minh : K , E , S thẳng hàng

d)    Gọi I là giao điểm của AB và SK . Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BK và BD lần lượt tại P và Q . Chứng minh : I là trung điểm PQ

Bài 137 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) , có H là giao điểm hai đường cao BM và CN . Tia AH cắt đường tròn (O) tại E . Kẻ đường kính AF

a)     Chứng minh : BEFC là hình thang cân và H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

b)    Vẽ tại I . Chứng minh : H , I , F thẳng hàng và AH = 2OI

c)     Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại D và K . Chứng minh :

d)    Giả sử tam giác AHO cân tại A . Tính BH . BM + CH . CN theo R

Bài 138 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao AD , BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : BCEF là tứ giác nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp

b)    Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M và cắt đường tròn (O) tại K và T ( K nằm giữa M và T ) . Chứng minh : MK . MT = ME . MF

c)     Chứng minh : IDKT là tứ giác nội tiếp

d)    Đường thẳng vuông góc với IH cắt I cắt các đường thẳng AB , AC , AD lần lượt tại N , S , P . Chứng minh : P là trung điểm của NS

Bài 139 : Cho tam giác ABC có Â = 45 ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) . Đường tròn tâm I đường kính BC cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại D , E ; BE và CD cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : và tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm K của đường tròn đó

b)    Chứng minh : O thuộc đường tròn (I) và tính độ dài BC theo R

c)     Chứng minh : OH , DE , IK đồng qui tại 1 điểm

d)    Tính diện tích giới hạn của cung DE và dây DE của đường tròn (I) theo R

Bài 140 : Cho tam giác ABC nhọn . Đường tròn (O ; R ) đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại F , E . BE cắt CF tại H .

a)     Chứng minh : AFHE là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHE và chứng minh : tại D

b)    Chứng minh : IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c)     Trên đường trung trực của đoạn AH , lấy điểm O’ sao cho IO’= R và O’ nằm trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm C có bờ AH . Gọi M là điểm đối xứng với H qua O’ . Chứng minh : AMCB là hình bình hành . Suy ra O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC

d)    Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC cắt đường tròn (O) tại K . Gọi N là giao điểm của AH và CK . Chứng minh : F , N , E thẳng hàng

Bài 141 : Cho đường tròn ( O ; R ) . Từ điểm A nằm ở ngoài đường tròn ( OA > 2R ) vẽ hai tiếp tuyến AB , AC . Gọi H là giao điểm của OA và BC .

a)     Chứng minh : tại H

b)    Chứng minh : ABOC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm và bán kính

c)     Vẽ cát tuyến ADE không qua O sao cho D nằm giữa A và E . Chứng minh :

d)    Chứng minh : BE . DN + BD . EN = BN .DE

Bài 142 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) . Đường tròn tâm 0 đường kính BC cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại F và E . Gọi H là giao điểm của BE và CF . Tia AH cắt BC tại D

a)     Chứng minh : AEHF , DOEF là tứ giác nội tiếp

b)    Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF . Chứng minh :

c)     Gọi I là giao điểm của AD với đường tròn (O) . Chứng minh : SI là tiếp tuyến của (O)

d)    Từ A kẻ tiếp tuyến AK đến đường tròn (O) ( K là tiếp điểm ) . Chứng minh : S , H , K thẳng hàng

Bài 143 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R ) . Cca1 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC

a)     Chứng minh : ACKB là tứ giác nội tiếp

b)    Kẻ đường kính AM của (O) . Chứng minh :

c)     Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh : H , I , M thẳng hàng

d)    Gọi G là trong tâm tam giác ABC . Chứng minh :

Bài 144 : Cho AB là đường kính của đường tròn (O ; R ) , vẽ tiếp tuyến Ax . Lấy điểm C trên Ax sao cho AC = 2R . Qua C vẽ cát tuyến CDE ( D nằm giữa C , E ) . Gọi H là trung điểm của DE

a)     Chứng minh :

b)    Chứng minh : AOHC là tứ giác nội tiếp

c)     BC cắt đường tròn (O ; R ) tại K . Tính diện tích hình quạt AOK theo R ?

d)    Đường thẳng CO cắt tia BD và BE lẩn lượt tại M và N . Chứng minh : O là trung điểm của MN

Bài 145 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) (OM ≠ 2R ) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với (O) ( A , B là các tiếp điểm ) . Gọi I là trung điểm của MA . Đoạn thẳng IB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D . Gọi H là giao điểm của OM và AB

a)     Chứng minh : MAOB là tứ giác nội tiếp và

b)    Chứng minh :

c)     Chứng minh : và MD = 2 ID

d)    Vẽ dây cung DE đi qua H . Chứng minh : ODME là tứ giác nội tiếp . Suy ra MO là tia phân giác của

Bài 146 : Qua điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O , bán kính R ta vẽ hai tiếp tuyến SA và SD ( A , D là các tiếp điểm ) và cát tuyến SBC ( B nằm giữa S và C ) . Gọi M là trung điểm của BC

a)     Chứng minh : S , A , O , M , D cùng thuộc một đường tròn . Xác định tâm và bán kính của đường tròn này

b)    Đường thẳng DM cắt đường tròn (O ; R ) tại E . Chứng minh : AE // SB

c)     Gọi K , I , H lần lượt là hình chiếu của D trên AB , BC , AC . Chứng minh : K , H , I thẳng hàng

d)    Chứng minh : . Từ đó xác định vị trí của D trên cung BC để đạt GTNN

Bài 147 : Cho đường tròn ( O ; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R . Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với (O) ( B , C là hai tiếp điểm )

a)     Chứng minh : đều . Tính độ dài các cạnh của theo R

b)    Gọi H là giao điểm của OA và BC . Chứng minh : OH . AH = BH . CH

c)     Vẽ đường kính BD của (O) . AD cắt (O) tại E , cắt BC tại S .  Gọi I là trung điểm của DE . Chứng minh : A , B , O , C , I cùng nằm trên một đường tròn và

d)    Đường thẳng BE cắt AC tại P và đường thẳng CE cắt AB tại Q . Chứng minh :

Bài 148 : Cho đường tròn (O) , đường kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B . Gọi M là trung điểm của AB . Dựng dây cung DE vuông góc với AB tại M . Từ B vẽ đường thẳng BF vuông góc với DC ( F trên DC)

a)     Chứng minh : BMDF là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : B , E , F thẳng hàng

c)     BD và MS cắt nhau tại S ; CS lần lượt cắt DA , DE tại R , K . Chứng minh :

Bài 149 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O ; R ) và 2 đường cao BE , CF cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : BCEF là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b)    Tia EF và CB cắt nhau tại K . Chứng minh : KE . KF = KB . KC

c)     Vẽ đường kính AQ của ( O ; R ) , tia AH cắt AI tại M . Chứng minh : Q , I , H thẳng hàng và E , F , H , M cùng nằm trên một đường tròn

d)    Trường hợp . Tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác EFHM

Bài 150 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R ) , hai điểm B và C cố định . Hai đường cao BE , CF cắt nhau tại H . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của BC , AH

a)     Chứng minh : AEHF , BCEF là tứ giác nội tiếp

b)    Từ B kẻ các tiếp tuyến của (O) cắt tia OI tại M . AM cắt (O) tại D . Từ O kẻ tại L . Chứng minh : L , O , M , C , B cùng thuộc một đường tròn

c)     Qua D kẻ đường thẳng song song với BM cắt BC , AB lần lượt tại T , S . Chứng minh : TD = TS

d)    Hai đường tròn (O) và (K) cắt nhau tại N . Hai tia MB , MC cắt đường thẳng EF lần lượt tại P , Q . Chứng minh : hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác BENP và CQNF cùng đi qua 1 điểm cố định

Bài 151 : Từ điểm A ờ ngoài đường tròn ( O ; R ) vẽ các tiếp tuyến AB , AC và cát tuyến ADE ( D và E thuộc (O) và D nằm giữa A và E ) . Đường thẳng qua D vuông góc với OB cắt BC , BE lần lượt tại H , K . Vẽ tại I

a)     Chứng minh : B , I , O , C cùng thuộc một đường tròn

b)    Chứng minh : IA là phân giác của

c)     Chứng minh : và IHDC là tứ giác nội tiếp

d)    Gọi S là giao điểm của BC và AD . Chứng minh :

Bài 152 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AH là đường cao , M là điểm chính giữa cung nhỏ BC

a)     Chứng minh : tại E và AM là phân giác của

b)    Vẽ dây MN // AB , tại F , MN cắt AC tại G . Chứng minh : MEFC , AOGN là tứ giác nội tiếp

c)     AM cắt BC tại D . Chứng minh :

d)    BN cắt AC tại I . Chứng minh :

Bài 153 : Cho ( O ; R ) , dây BC cố định , điểm A bất kỳ thuộc cung lớn BC sao cho AB < AC . Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H ( D , E , F thuộc các cạnh của tam giác ) . Tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại M

a)     Chứng minh : BFEC là tứ giác nội tiếp (I) , BOCM là tứ giác nội tiếp (J) . Tìm I , J

b)    Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với tia AO tại N , tia AO cắt (O) tại K . Chứng minh : CN // EF và CK là phân giác của

c)     Chứng minh : tam giác IDN là tam giác cân

d)    Cho OM = 2R . Chứng minh : trực tâm H của tam giác ABC luôn đi qua một một điểm cố định khi A chạy trên cung lớn BC . Tính bán kính đường tròn đó theo R

Bài 154 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC tại điểm thứ hai là D . Gọi E là trung điểm của OB . Qua D kẻ đường thẳng vuông góc DE cắt AC tại F

a)     Chứng minh : AFDE là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : =

c)     Chứng minh :

d)    Vẽ dây AN // BD , tia BN cắt tia CA tại M . Chứng minh : MNDC là tứ giác nội tiếp

Bài 155 : Cho đường tròn (O ; R ) và một điểm M ờ ngoài đường tròn ( O ; R ) . Trên đường thẳng vuông góc với OM tại M lấy một điểm N bất kỳ . Từ N vẽ hai tiếp tuyến NA , NB đến đường tròn (O) ( A ; B là các tiếp điểm )

a)     Chứng minh : O , A , B , M , N cùng nằm trên một đường tròn

b)    Gọi I là giao điểm của AB và OM . Tính tích OM . OI theo R

c)     Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt (O) tại K . Chứng minh : MK là tiếp tuyến của (O)

d)    AM cắt đường tròn (O) tại C ( C khác A ) . Chứng minh : O , I , A , C cùng nằm trên một đường tròn

Bài 156 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) , có các tia AB , DC cắt nhau tại M , các tia DA , CB cắt nhau tại N . Tia phân giác cắt BC tại E . Tia phân giác cắt AB , ME , MD lần lượt tại F , G , H . Trên đoạn thẳng MN lấy điểm S sao cho :

a)     Chứng minh : MA . MB = MS . MN

b)    Chứng minh :

c)     Chứng minh : và HE // BD

d)    Gọi K , L lần lượt là trung điểm của AC , BD . Chứng minh : K , G , L thẳng hàng

Bài 157 : Cho đường tròn (O ; R ) , có OM là bán kính . Vẽ trung trực của OM cắt (O) tại B và C . A là một điểm trên cung lớn BC , sao cho tam giác ABC nhọn . Gọi AD , BE , CF là ba đường cao cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : BOCM là hình thoi

b)    Chứng minh : BHOC là tứ giác nội tiếp và tính số đo góc

c)     Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHO

d)    KH = KC . Chứng minh : EFDK là tứ giác nội tiếp

Bài 158 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O ; R ) . Hai đường cao BS và CQ cắt nhau tại H . Gọi I và K theo thứ tự là giao điểm của CQ và BS với (O)

a)     Chứng minh : BQCS , AQHS là tứ giác nội tiếp

b)    Chứng minh : H lần lượt là điểm đối xứng của I và K theo thứ tự qua AB và AC

c)     Lấy điểm P thuộc cung nhỏ BC của (O) . Gọi N , M , Z lần lượt là hình chiếu của P trên AB , AC , BC . Chứng minh : N , Z , M thẳng hàng

d)    Gọi D , E , F lần lượt là điểm đối xứng của P qua AB , AC , BC . Chứng minh : D , H , F , E cùng nằm trên một đường thẳng và MN qua trung điểm của HP

Bài 159 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) . Cca1 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H .

a)     Chứng minh : BCEF là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn trên

b)    Đường thẳng EF cắt BC tại M , cắt (O) tại K , T ( K nằm giữa M và T ) . Chứng minh : MK . MT = ME . MF

c)     Chứng minh : IDKT là tứ giác nội tiếp

d)    Đường thẳng vuông góc với IH tại I cắt các đường thẳng AB , AC , AD lần lượt tại N , S , Q . Chứng minh : Q là trung điểm NS

Bài 160 : Cho đường tròn (O) , từ điểm A nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC ( B , C là hai tiếp điểm ) . Vẽ cát tuyến AEF ( E , C nằm ở hai nửa mặt phẳng bờ OA )

a)     Chứng minh :

b)    Cho H là trung điểm của EF . Chứng minh : A , B , H , O , C cùng nằm trên một đường tròn . Suy ra

c)     Gọi D là điểm đối xứng của B qua O . Các tia DE , DF cắt AO tại M , N . Chứng minh :

d)    Chứng minh : OM = ON

Bài 161 : Từ điểm K nằm ngoài đường tròn (O) , kẻ hai tiếp tuyến KB , KD và cát tuyến KAC đến (O) ( KA < KC ; AD < AB ) . Gọi E là trung điểm AC

a)     Chứng minh : K , B  , O , E , D cùng thuộc một đường tròn

b)    Chứng minh : AB . CD = AD .BC

c)     Vẽ dây CN // BD . AN cắt BD tại I . Chứng minh : I là trung điểm BD

Bài 162 : Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O . Hai đường cao BE , CE cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : AEHF , BCEF là tứ giác nội tiếp

b)    Đường thẳng EF cắt đường thằng BC tại M . Chứng minh :

c)     Vẽ đường kính AK của (O) . Chứng minh :

d)    Đường thẳng HK cắt (O) tại I ( I khác K ) . Chứng minh : A , I , M thẳng hàng

Bài 163 : Từ điểm M nằm ngoài (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA , MB đến (O) ( A , B là các tiếp điểm và C nằm giữa M , D )

a)     Chứng minh :

b)    Gọi I là trung điểm CD . Chứng minh : M , A , O , I , B thẳng hàng

c)     Gọi H là giao điểm của AB và MO . Chứng minh : CHOD là tứ giác nội tiếp . Suy ra AB là phân giác của

d)    Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) . Chứng minh : A , B , K thẳng hàng

Bài 164 : Cho (O ; R ) . Vẽ dây cung . Trên tia BC lấy điểm N sao cho C là trung điểm của BN . Vẽ tiếp tuyến NA của (O) ( A là tiếp điểm ) . Trong tam giác ABC vẽ các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H

a)     Chứng minh : AFDC là tứ giác nội tiếp và BD . BC = BF . BA

b)    Gọi K là điểm đối xứng với H qua D . Đường thẳng NK cắt (O) tại Q . Chứng minh : K thuộc (O) và tính NK .NQ theo R

c)     Chứng minh :

d)    Đường thẳng qua A // với BC cắt FD tại M . Đường thẳng MC cắt AD tại I . Chứng minh : IE // BC

Bài 165 : Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn nội tiếp (O) . Vẽ các đường cao BE , CF cắt nhau tại H . Đường thẳng AH cắt (O) tại N (N khác A )

a)     Chứng minh : và N đối xứng với H qua BC

b)    Gọi giao điểm AN và EF là K . Chứng minh : BFKN là tứ giác nội tiếp

c)     Gọi I là trung điểm của AH . Chứng minh :

d)    Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P . Gọi M là trung điểm BC Đường thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE tại Q ( Q khác M ) . Chứng minh : P , H , Q thẳng hàng

Bài 166 : Từ điểm S nằm ngoài (O ; R ) với SO > 2R , kẻ 2 tiếp tuyến SA , SB ( A , B là hai tiếp điểm ) . OS cắt AB tại H

a)     Chứng minh : SAOB là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm M của đường tròn này

b)    MB cắt (O) tại C ( C khác B) , SO cắt AC tại D . Chứng minh : DA . DC = DM .DO

c)     Gọi K là giao điểm CH và (O) , E là giao điểm của BD và (O) . Chứng minh : K , E , S thẳng hàng

d)    Gọi I là giao điểm của SK và AB . Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BK và BD lần lượt tại P , Q . Chứng minh : I là trung điểm PQ

Bài 167 : Cho tam giác ABC nhọn , nội tiếp (O ; R ) có các đường cao BE , CF . Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S . Gọi M là giao điểm của BC và OS

a)     Chứng minh : SBOC là tứ giác nội tiếp và

b)    Chứng minh : AF . BC = EF . AC

c)     Chứng minh :

d)    AM cắt EF tại N ; AS cắt BC tại P . Chứng minh :

 

 

 

Có thể download miễn phí file .docx bên dưới

Bài tập hình ôn vào 10

Đăng ngày 1/12/2017 7:43:25 PM | Thể loại: tai liệu | Lần tải: 1 | Lần xem: 1 | Page: 1 | FileSize: 0.00 M | File type: docx
1 lần xem

đề thi Bài tập hình ôn vào 10, tai liệu. . tailieuhoctap.com chia sẽ tới cộng đồng thư viện Bài tập hình ôn vào 10 .Để chia sẽ thêm cho các bạn nguồn thư viện tham khảo giúp đỡ cho công tác giảng dạy, học tập và nghiên cứu khoa học, trân trọng kính mời các bạn đang tìm cùng xem , Thư viện Bài tập hình ôn vào 10 trong chuyên mục tai liệu được chia sẽ bởi bạn Tề Nguyễn Văn tới mọi người nhằm mục đích nâng cao kiến thức , tài liệu này được giới thiệu vào chuyên mục tai liệu , có tổng cộng 1 trang, thuộc file .docx, cùng chuyên mục còn có Đề thi Địa lí ,bạn có thể tải về free , hãy giới thiệu cho mọi người cùng tham khảo

http://tailieuhoctap.com/dethitailieu/bai-tap-hinh-on-vao-10.1d6q0q.html

Nội dung

Cũng như các giáo án bài giảng khác được thành viên chia sẽ hoặc do sưu tầm lại và giới thiệu lại cho các bạn với mục đích nghiên cứu , chúng tôi không thu phí từ bạn đọc ,nếu phát hiện nội dung phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho website ,Ngoài giáo án bài giảng này, bạn có thể download giáo án miễn phí phục vụ nghiên cứu Một số tài liệu download mất font không xem được, thì do máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn tải các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

Bạn có thể Tải về miễn phí đề thi này , hoặc tìm kiếm các đề thi khác tại đây : tìm kiếm đề thi tai liệu