III. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 ( 
( Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
B2: Tính  (trong nhiều trường hợp ta cần tính , )
B3: So sánh  với f(x0) và rút ra kết luận.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

4. ( Hàm số đa thức liên tục trên R.
( Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
( Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
( Hàm số y =  liên tục tại x0 nếu g(x0) ( 0.
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ( (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c( (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = , M = .
Khi đó với mọi T ( (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c ( (a; b): f(c) = T.
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a)  b) 
c) d
e)  f) 
g h)
i) k)
Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
a)  b) 
c) 
d) 
e) tại x = 1 f) tại x = 2
g) tại x = 1 h) 
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)  b) 
c)  d) 
Tìm các giá trị của m, n để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
a)  b) 
c) d) 
e) f)
g)  h) 
i)  k) 
Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a)  b)  c) 
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a)  b)  c)  d) x4 – 3x + 1 = 0
Chứng minh rằng phương trình:  có 5 nghiệm trên (–2; 2).
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a)  b) 
c) 
d)  e) 
f)  g) x3 – 3mx2 +4(m-2)x + 1 – m = 0
Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a)  với 2a + 3b + 6c = 0 b)  với a + 2b + 5c = 0
c) 
Chứng minh rằng phương trình:  luôn có nghiệm x (  với a ( 0 và 2a + 6b + 19c = 0.